Matematyka Komputerowa (2008/2009)
Lista 3.
1. Wyznacz ∂x∂z oraz ∂z∂y, jeśli z = f (u, v), gdzie u = x2− y2, v = exy.
2. Znajdź ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych z(x, y) = x3 + y3− 9xy.
3. Wyznacz ekstrema warunkowe:
(a) z(x, y) = x + 2y, przy x2+ y2 = 5.
(b) z(x, y) = x2+ y2, przy x2 + y3 = 1.
Zaproponuj odpowiednie ilustracje do obu przykładów.
4. Wyznacz wartości najmniejsze i największe funkcji z(x, y) = x2y na obszarze: x2+y2 ¬ 1.
5. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu figury 12 ¬ x ¬ 4, 0 ¬ y ¬ 2x wokół osi:
(a) Ox;
(b) Oy.
Naszkicuj powstałe bryły.
6. Oblicz RR
D
√a2− x2− y2dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym lemniskatą (x2+
y2)2 = a2(x2− y2) (x 0). Zilustruj obszar całkowania (przyjmując np. a = 1).
7. Oblicz objętość bryły ograniczonej walcami x2+ z2 = a2i y2+ z2 = a2. Zilustruj obszar całkowania (przyjmując np. a = 1).
