Matematyka Komputerowa (2008/2009)
Lista 4.
1. Dane są macierze: A = 1 2 3 4 2 4 6 8
, B =
1 2 4 2 3 6 8 4
. Oblicz:
(a) AB, (b) BA,
(c) AATBT.
2. Korzystając z polecenia linsolve rozwiąż następujące równania macierzowe:
(a)
1 6 3
−1 −2 5
· X = 4 3 1 −2
. (b)
X · 1 2 2 8
=
6 3
2 4
5 −3
. 3. Oblicz wyznaczniki następujących macierzy stopnia n :
(a)
1 2 2 . . . 2 2 2 2 2 . . . 2 2 2 2 3 . . . 2 2
. ..
2 2 2 . . . n − 1 2 2 2 2 . . . 2 n
(b)
x y 0 . . . 0 0 0 x y . . . 0 0 0 0 x . . . 0 0
. ..
0 0 0 . . . x y y 0 0 . . . 0 x
dla n = 15 oraz n = 16.
4. Zbadaj istnienie macierzy odwrotnych do macierzy z poprzedniego zadania. Jeśli ma- cierze odwrotne istnieją, znajdź je.
5. Wyznacz rozwiązania układów równań:
(a)
x + 6y − z = 0
−x − 4y + 5z = 6
3x + 17y = 2
2x + 13y + 5z = 8 (b)
x + 2y + z − u = 1
x − z + 2u = 2
6. Oblicz wielomian charakterystyczny, wielomian minimalny, wartości własne oraz odpo- wiadające im podprzestrzenie wektorów własnych endomorfizmu liniowego zespolonej przestrzeni współrzędnych w siebie o następującej macierzy (w bazie wektorów jed- nostkowych):
A =
0 1 0 . . . 0 0
−1 0 1 . . . 0 0 0 −1 0 . . . 0 0
. ..
0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . −1 0
Sprawdź, że macierz spełnia tw. Cayleya-Hamiltona.
7. Czy złożenie przekształceń g i h reprezentowanych przez macierze:
M (g) =
cos φ sin φ 0
− sin φ cos φ 0
0 0 1
, M (h) =
1 0 0
0 cos φ sin φ 0 0 − sin φ cos φ
.
jest przekszałceniem ortogonalnym?
Literatura
[1] A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1979.
[2] S.Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zada- niach, WN-T, Warszawa 1993.
