Matematyka Komputerowa (2008/2009)
Lista 2.
1. W jaki sposób z listy [a, b, c] utworzysz listę [a, a, b, b, c, c, b, b, a, a]? Zastosuj tę metodę do listy zawierającej kolejne liczby naturalne od 0 do 10000.
2. Utwórz listę A tysiąca pierwszych liczb pierwszych oraz listę B tysiąca pierwszych liczb postaci 2p−1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Sprawdź czy liczba 3217 jest elementem tych list. Jeśli tak, to podaj pozycję liczby na każdej z list. Wyznacz wszystkie elementy wspólne obu list. Wyznacz zbiór zawierający elementy listy B nie będące liczbami pierwszymi.
3. Ile wśród 100000 pierwszych liczb pierwszych jest liczb postaci n2+ 1?
4. Oblicz:
(a)
n→∞lim
12 + 1 − 1
(1 + 2)! + 22+ 2 − 1
(2 + 2)! + . . . +n2+ n − 1 (n + 2)! ; (b)
Qn
i=1(n + i)
Qn
i=1(2i − 1); (c)
n
X
i=0
n i
!2
;
(d)
∞
X
n=1
(−1)n n xn; (e) sumę pierwszych 10000 liczb pierwszych.
5. Znajdź wzór ogólny na pochodną n−tego rzędu funkcji:
(a) f (x) = xex; (b) g(x) = cosx3.
6. Korzystając ze wzoru Maclaurina oszacuj dokładność wzoru cos2x ≈ 1 − x2, dla |x| ¬ 0.1.
7. Zbadaj przebieg zmienności podanych funkcji:
(a) f (x) = x ln x;
(b) g(x) = arc sin1−x1+x22;
1
(c) h(x) = x2x.
Sporządź wykresy funkcji.
8. Oblicz całki (a) R √
x2− a2dx;
(b) R cos x−sin xcos 2x dx ; (c) R min{x, x2} dx.
9. Korzystając z definicji całki oznaczonej wyznacz granicę:
n→∞lim
1 n
cos π
2n + cos2π
2n + . . . cosnπ 2n
.
Następnie sporządź stosowną ilustrację (por. materiały do wykładu).
10. Oblicz pola obszarów ograniczonych krzywymi (a) y = 2x − x2, x + y = 0;
(b) y = x2, y = x22, y = 3x.
Sporządź ilustracje do obu przykładów (por. materiały do wykładu).
