Matematyka Komputerowa (2008/2009)
Lista 1.
1. Utwórz nowy plik przy pomocy programu Maple. Przygotuj go do dalszej pracy wprowadzając rozdziały o tytułach: ”Lista 1.”, ”Lista 2.”,..., ”Lista 5.”. Zapisz plik.
2. Korzystając z pakietu numtheory sprawdź czy liczba 1234567 jest pierwsza. Jeśli nie, to znajdź jej rozkład na czynniki pierwsze. Znajdź najmniejszą liczbę pierwszą większą od 1234567.
3. Wykaż, że
q
2√
19549 + 286 =√
173 +√ 113.
4. Podaj przybliżoną wartość πππ (przy domyślnej dokładności Maple’a).
5. Oszacuj różnicę: 112311241125−√
1123 · 1124√
1124 · 1125√
1123 · 1125 przy 8-cyfrowej dokładności.
6. Wyszukaj w systemie pomocy Maple informacje dotyczące operacji na liczbach zespolonych, a następnie wykonaj poniższe zadania:
(a) Oblicz moduł liczby zespolonej √ 7 +√
29i.
(b) Znajdź postać trygonometryczną liczby zespolonej:√ 2 −√
6i.
(c) Liczbę (√1−i
3+i)6 zapisz w postaci algebraicznej.
(d) Korzystając z definicji oblicz pierwiastki:√8 16.
(e) Stosując wzory Eulera podane funkcje wyraź w postaci sum sinusów lub cosinusów wielokrotności kąta x: (i) sin6x; (ii) cos11x.
7. Znajdź rozwiązania równania: x4 + 8x2+ 15 = 0.
8. Wyznacz iloczyn wielomianów: P (x) = x4+ 8x2+ 15, Q(x) = x2+ x − 1.
9. Wielomiany:
(a) 4x5− 6x4− 10x3+ 26x2− 18x + 4, (b) x4+ 6x2 + 5,
(c) x4− x2+ 1
przedstaw w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych.
10. Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłóż na rzeczywiste ułamki proste:
(i) x4x−12 ; (ii) (x2+4)(xx3−8x−42+x+3)3.
Wskazówka. Skorzystaj z pomocy nt. parfrac.
11. Uprość następujące wyrażenia:
1
(a) 2 cos2x − cos 2x, (b) e2x+2xeex+xx+x2,
(c)
√x−y x−y2.
12. Użyj Maple’a do sprawdzenia tożsamości:
(a) tg x + tg y = cos x cos ysin (x+y), (b) sinh 2x = 21−tghtgh x2x,
(c) arc sin x + arc cos x = π2 dla x ∈ [−1, 1].
