Funkcje uwikłane

Odwzorowania z

do

.

1. Dla funkcji f :R² →R² znaleźć pochodne pierwszego oraz macierz pochodnej (macierz Jaco- biego), obliczyć jakobian i pochodne drugiego rzedu:

(i)f(x, y) = (arctg(x − y), e^x2+y2), (ii) f(x, y) = (x², ln(x²+y²+ 1)), (iii) f(x, y) = (2xy,_x2¹+1),

(iv) f(x, y) = (sin(x + y), cos(x − y)).

2. Czym bedzie macierz drugiej pochodnej dla funkcji f :
R^k →R^l, k, l > 2.

3. Obliczyć pochodne funkcji u(t) = f (x(t), y(t)), gdzie funkcje f : ^R2 → R, x, y : R → R

dane sa przez:

(i)f(x, y) = e^x+y, x(t) = cos(t), y(t) = t⁴, (ii) f(x, y) = arctg(xy), x(t) = √

t, y(t) = sin(t), (iii) f(x, y) = arc sin(^x_y),x(t) = t⁶+t³, y(t) = e^t+5.

4. Obliczyć pochodne czastkowe funkcji z(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)), gdzie funkcje f :
R² → R, x, y :R² →Rdane sa przez:

(i)f(x, y) = x²+y², x(u, v) = u − v, y(u, v) = 2u + 3v, (ii) f(x, y) = e^x2+y2, x(u, v) = 2u − 3v, y(u, v) = u + v,

(iii) f(x, y) = x²− y², x(u, v) = sin(u) + v, y(u, v) = cos(u)v⁴, (iv) f(x, y) = x^y, x(u, v) = u²+v²+ 1, y(u, v) = e^uv.

5. Wykorzystując reguły różniczkowania obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu wzglę- dem x i y funkcji:

z = f(u, v, w) = arc sin_v+w^u , gdzieu = e^xy,v = x²+y², w = 2xy.

6. Sprawdzić, czy odwzorowanie f : ^R2 → ^R2 jest lokalnie odwracalne w otoczeniu punktu (0, 0) (czy można coś powiedzieć o globalnej odracalności?)

(i)f(x, y) = (x + x²+y², x²+y²+y), (ii) f(x, y) = (x²− y²− x, y),

(iii) f(x, y) = (2x + y, x − y), (iv) f(x, y) = (x + 2y, 2x + 4y), (v) f(x, y) = (x², y).

Arkusz 1

Funkcje uwikłane

7. Znaleźć y
i y

dla funkcji uwikłanych podanymi równaniami w podanych punktach:

(i)x²− xy + 2y²+x − y − 1 = 0, (0, 1), (ii) tg(x + y) − xy − 1 = 0, (0,^π₄),

(iii) 2siny + sinx − 3xy + x − 1 = 0, (0,^π₆), (iv) ^y+2x_y−1 + 3xy − 2 = 0, (0, 2).

8. Znaleźć y
i y

dla funkcji uwikłanych podanymi równaniami:

(i)Ax² +Bxy + Cy²+Dx + Ey + F = 0, (ii) x − y + lny = 0,

(iii) ln√

x²+y² =α arc tg ^y_x,α = 0, (iv) 1 +xy − ln(e^xy+e^−xy) = 0.

9. Znaleźć punkty, w których styczna do krzywej x² +y² + 2x − 2y = 2 jest równoległa do osi

(i)Ox, (ii) Oy.

10. Funkcja y(x) jest funkcj¸a określon¸a równaniem x² +y² + 2axy = a, a > 1. Wykazać, że ^d_dx^2y₂ = 0; wyjaśnić otrzymany wynik.

11. Znaleźć ekstrema lokalne wszystkich funkcji y = y(x) uwikłanych równaniami:

(i)x³− yx²+y³− y² = 0, (ii) x²+ 2xy + y²− 4y = ¹₄, (iii) x²+y²− 8x − 4y + 19 = 0, (iv) x⁵+y⁴− 4xy² = 0,

(v) x³+ 2xy + x² = 0, (vi) x³+y³− 12xy = 0.

Arkusz 2