Funkcje uwikłane, całki iterowane

Funkcje uwikłane, całki iterowane

1. Znaleźć y
i y

dla funkcji uwikłanych podanymi równaniami w podanych punktach:

(i) x²− xy + 2y²+ x − y − 1 = 0, (0, 1), (ii) tg(x + y) − xy − 1 = 0, (0,^π₄),

(iii) 2siny + sinx − 3xy + x − 1 = 0, (0,^π₆), (iv) ^y+2x_y−1 + 3xy − 2 = 0, (0, 2).

2. Znaleźć y
i y

dla funkcji uwikłanych podanymi równaniami:

(i) Ax² + Bxy + Cy²+ Dx + Ey + F = 0, (ii) x − y + lny = 0,

(iii) ln√

x²+ y² = α arc tg^y_x, α = 0, (iv) 1 + xy − ln(e^xy+ e^−xy) = 0.

3. Znaleźć punkty, w których styczna do krzywej x² + y² + 2x − 2y = 2 jest równoległa do osi

(i) Ox, (ii) Oy.

4. Funkcja y(x) jest funkcj¸a określon¸a równaniem x² + y² + 2axy = a, a > 1. Wykazać, że

d²y

dx² = 0; wyjaśnić otrzymany wynik.

5. Znaleźć ekstrema lokalne wszystkich funkcji y = y(x) uwikłanych równaniami:

(i) x³− yx²+ y³− y² = 0, (ii) x²+ 2xy + y²− 4y = ¹₄, (iii) x²+ y²− 8x − 4y + 19 = 0, (iv) x⁵+ y⁴− 4xy² = 0,

(v) x³+ 2xy + x² = 0, (vi) x³+ y³− 12xy = 0.

6. Obliczyć całki:

(i)
₀⁴
₄¹²xy dydx, (ii)
₀^a
₀^bxy dydx, (iii)
₀^π2
_acosθ^a r⁴drdθ,

(iv)
₁^a
₁^a
₁^a(¹_x +¹_y + ¹_z) dxdydz, a > 1, (v)
₀^a
₀^b
₀^cxy dxdydz,

(vi)
₀^2π
₀^a
₀^br³drdtdz.

Arkusz 1