PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA POZIOM ROZSZERZONY

PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA POZIOM ROZSZERZONY

Zadanie 1. A.

Zadanie 2. B.

Zadanie 3. B.

Zadanie 4. B.

Zadanie 5. B.

Zadanie 6.

Zadanie 7.

log₇50 = ^log_log¹⁴⁵⁰

147 =^{log14(52∙2)}

log₁₄(¹⁴₂) =_log^{log1452+log142}

1414−log₁₄2 =^{2 log}_1−𝑎^145+𝑎= ^2𝑏+𝑎_1−𝑎 c. n. d.

Zadanie 8.

Przypuśćmy, że liczba rzeczywista a jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Zatem W(a) = a⁴ – 4a³ + 4a² + a² – 8a + 16 = (a² – 2a)² + (a – 4)² = 0.

Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej a: (a² – 2a)² ≥ 0 i (a – 4)² ≥ 0 W(a) = 0 ⇔ [(a² – 2a)² = 0 i (a – 4)² = 0] ⇔ [a(a -2) = 0 i a – 4 = 0] ⇔ [(a = 0 lub a = 2) i a = 4]. Nie istnieje liczba

rzeczywista a, która spełniałaby ostatnią koniunkcję. Wielomian ten nie ma pierwiastków.

Zadanie 9.

Zapiszmy równanie stycznej w postaci ogólnej 2x – y + 1 = 0. Odległość środka okręgu od stycznej jest równa promieniowi, więc r = |2∙(−3)−0+1|

√2²+1² = √5.

Równanie okręgu: (x + 3)² + y² = 5.

Zadanie 10.

Wykorzystajmy wiadomości dotyczące ciągu arytmetycznego, niech a1 = 10 i r = 2.

Obliczmy 𝑆_𝑛 = 2∙10+(𝑛−1)∙2

2 𝑛 = 𝑛²+ 9𝑛. Równanie 𝑛² + 9𝑛 = 300 ma dwa rozwiązania 𝑛₁ = ^{−9−√1281}₂ oraz 𝑛₂ = ^−9+√1281₂ ≈ 13,4 nie są to liczby naturalne dodatnie.

𝑆₁₃= ^20+12∙2₂ ∙ 13 = 286, w ciągu 13 dni Ania przeczyta 286 stron 300 – 286 = 14 .

Ania książkę przeczyta w ciągu 14 dni, ostatniego dnia przeczyta 14 stron.

Zadanie 11.

Napiszmy równanie stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie P.

𝑓^′(𝑥) = 3𝑥² + 4𝑥 − 6, 𝑓^′(1) = 1

zatem szukana styczna ma równanie 𝑦 = 𝑥 − 3.

3 0 0

Wyznaczmy punkty wspólne wykresu funkcji i otrzymanej stycznej. W tym celu rozwiążemy równanie 𝑥³+ 2𝑥²− 6𝑥 + 1 = 𝑥 − 3

𝑥³+ 2𝑥²− 7𝑥 + 4 = 0

(𝑥 − 1)(𝑥²+ 3𝑥 − 4) = 0 to równanie ma dwa różne rozwiązania 𝑥1 = 1, 𝑥₂ = −4.

Zatem styczna w punkcie P ma z wykresem funkcji 𝑓 jeszcze jeden punkt wspólny Q = (−4, −7) c. n. d.

Zadanie 12.

Wprowadźmy oznaczenia na rysunku.

|∡CAD| = 180⁰ – α

trójkąt ACD jest równoramienny (|AC| = |AD|)

|∡ ACD| = ^1800−(180₂ ^0−𝛼)= ^𝛼₂,

analogicznie pokażemy, że |∡BCE| = ^𝛽₂

zatem |∡ECD| = 90⁰+^𝛼₂+^𝛽₂ = 90⁰+^𝛼+𝛽₂ = 90⁰ + 45⁰=135⁰

|ED| = |EB| + |BA| + |AD| = |BC| + |BA| + |AC| = 20 cm niech R – długość promienia okręgu opisanego na trójkącie CDE z twierdzenia sinusów 2𝑅 = _{sin 135}^|𝐸𝐷|₀ = ²⁰_√2

2

, stąd R = 10√2 cm, pole koła opisanego na trójkącie CDE jest równe 200𝜋 cm².

Zadanie 13.

Trapez jest opisany na okręgu o promieniu r, więc a + b = c + d i h = 2r

ℎ

𝑐 = sin 45⁰, stąd c = h√2

ℎ

𝑑 = sin 30⁰, stąd d = 2h

a+𝑏+𝑐+𝑑

2𝑟 =^2(𝑐+𝑑)_ℎ = ^{2(2ℎ+ℎ√2)}_ℎ = 4 + 2√2 c. n. d.

Zadanie 14.

|AE| = |EC|= √(3a)²+a² = a √10 (a > 0)

|BE| = √(3a)²+(a√2)² = a √11

trójkąty ABE i BCE są przystającymi trójkątami prostokątnymi 𝑃_{Δ𝐴𝐵𝐸} = ¹₂∙ |𝐴𝐵| ∙ |𝐴𝐸| =¹₂∙ |𝐵𝐸| ∙ ℎ

a ∙ a√10 = a√11∙ h stąd h = a√¹⁰₁₁

z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACF otrzymamy (a√2)² = (a√¹⁰₁₁)

2

+ (a√¹⁰₁₁)

2

– 2(a√¹⁰₁₁)

2

cosα,

stąd cosα = −₁₀¹. Zadanie 15.

Dziedziną funkcji 𝑓(𝑥) =^𝑥2_𝑥^−3𝑥+1₂₊₁ jest zbiór liczb rzeczywistych. Sprawdźmy dla jakich 𝑘 ∈ 𝑅 równanie ^𝑥2_𝑥^−3𝑥+1₂₊₁ = 𝑘 ma rozwiązanie w R.

𝑥²− 3𝑥 + 1 = 𝑘𝑥² + 𝑘, stąd (𝑘 − 1)𝑥²+ 3𝑥 + (𝑘 − 1) = 0 1⁰ 𝑘 = 1, równanie ma jedno rozwiązanie 𝑥 = 0,

2⁰ 𝑘 ≠ 1, równanie kwadratowe (𝑘 − 1)𝑥²+ 3𝑥 + (𝑘 − 1) = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy ∆≥ 0

∆= 9 − 4(𝑘 − 1)² ≥ 0 dla 𝑘 ∈ 〈−¹₂;⁵₂〉 \{1}.

Uwzględniając obydwa przypadki wnioskujemy, że zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest 〈−¹₂;⁵₂〉 c. n. d.

Zadanie 16.

Wprowadźmy oznaczenia:

A – wśród wylosowanych liczb będzie liczba 5 B – suma wylosowanych liczb będzie parzysta Mamy obliczyć 𝑃(𝐴|𝐵) =^{𝑃(𝐴∩𝐵)}_𝑃(𝐵) =^{|𝐴∩𝐵|}_|𝐵| .

Zdarzeniu B sprzyjają kombinacje złożone z dwóch liczb parzystych lub dwóch liczb nieparzystych, zatem |𝐵| = (⁷₂) + (⁸₂) = 49.

Zdarzeniu A sprzyjają kombinacje złożone z liczby 5 i liczby nieparzystej, |𝐴 ∩ 𝐵| = 1 ∙ 7 = 7.

𝑃(𝐴|𝐵) = ₄₉⁷ = ¹₇. Zadanie 17.

Wprowadźmy oznaczenia na rysunku. Niech B = (x, 0), gdzie x ∈ (0,2), wtedy A = ( – x, 0), C = (x, 4 – x²), D = (– x , 4 – x²), |AB| = 2x,

|BC| = 4 – x², pole prostokąta P(x) = 2x ∙ (4 – x²) = 8x – 2x³. Rozważmy funkcję f(x) = 8x – 2x³, x ∈ (0,2).

f’(x) = 8 – 6x², x ∈ (0,2)

f’(x) = 0 dla x = ^2√3₃ , f’(x) > 0 dla x (0,^2√3₃ ), f’(x) < 0 dla x ∈ (^2√3₃ , 2).

Zatem funkcja f jest ciągła w przedziale (0,2), jest rosnąca w przedziale (0,^2√3₃ ⟩ i malejąca w przedziale ⟨^2√3₃ , 2), zatem w punkcie x = ^2√3₃

przyjmuje wartość największą. |AB| = ^4√3₃ , |BC| = 4 − (^2√3₃ )²= ⁸₃ zatem przekątna ma długość

√(^4√3₃ )²+ (⁸₃)² = ^4√7₃ .