ćwiczenia 12. – rozwiązania zadań domowych

Algebra liniowa, WNE, 2018/2019

ćwiczenia 12. – rozwiązania zadań domowych

13 listopada 2018

1. Znaleźć macierz przekształcenia liniowego ϕ : R⁴→ R², ϕ((a, b, c, d)) = (5a − 2b + 3c − d, 3a + 4b + 6d) w bazach A = {(2, 1, 0, 1), (1, 0, 3, 1), (2, 1, 1, 3), (3, 1, 2, 1)}, B = {(5, 2), (3, 1)}.

Rozwiązanie:

A więc:

• ϕ((2, 1, 0, 1)) = (7, 16) = 41(5, 2) − 66(3, 1).

• ϕ((1, 0, 3, 1)) = (13, 9) = 14(5, 2) − 19(3, 1).

• ϕ((2, 1, 1, 3)) = (8, 28) = 76(5, 2) − 124(3, 1).

• ϕ((3, 1, 2, 1)) = (18, 19) = 39(5, 2) − 59(3, 1)

Czyli szukana macierz to: M (ϕ)^B_A=

 41 14 76 39

−66 −19 −124 −59

 .

2. Niech ϕ : R² → R³ będzie przekształceniem liniowym mającym w bazach A = {(−1, −1), (2, 0)}, B = {(1, 1, 1), (1, −1, −1), (4, 3, 2)} macierz

M (ϕ)^B_A=



 1 1 2 1 0 1



.

Znaleźć wzór na ϕ.

Rozwiązanie:

Potrzeba wyliczyć M (ϕ)^st_st = M (id)^st_B · M (ϕ)^B_A· M (id)^A_st. Środkowa macierz jest dana, trzeba wypisać skrajne.

Oczywiście M (id)^st_B =





1 1 4

1 −1 3 1 −1 2



.

Ponieważ (1, 0) =¹₂(2, 0) oraz (0, 1) = −(−1, −1)−¹₂(2, 0), to M (id)^A_st=

 0 −1

1 2 −¹₂



. Pozostaje mnożenie:

M (ϕ)^st_st=





1 1 4

1 −1 3 1 −1 2



·



 1 1 2 1 0 1



·

 0 −1

1 2 −¹₂



=





3 6

−1 3

−1 2



·

 0 −1

1 2 −¹₂



=





3 −6

3 2 −¹₂

1 0





Czyli ϕ((x, y)) = (3x − 6y,³₂x −¹₂y, x).

3. Niech A = {(0, 1, 0), (1, 2, 3), (5, 7, 1)}, B = {(0, 1), (1, 1)}, C = {(2, 1), (1, 0)} oraz niech ϕ : R³→ R²będzie przekształceniem liniowym, którego macierz w bazach A, B wynosi M (ϕ)^B_A=

 1 3 2 2 4 3



, a ψ : R²→ R² będzie przekształceniem liniowym zadanym wzorem ψ((y1, y2)) = (y1− y2, y1+ y2). Znaleźć:

• M (ψ ◦ ϕ)^C_A ,

• wzór na ψ ◦ ϕ.

Rozwiązanie:

Znajdźmy M (ψ)^C_B:

1

• ψ(0, 1) = (−1, 1) = (2, 1) − 3(1, 0),

• ψ(1, 1) = (0, 2) = 2(2, 1) − 4(1, 0),

Czyli M (ψ)^C_B=

 1 2

−3 −4



. W takim razie: M (ψ◦ϕ)^C_A= M (ψ)^C_B·M (ϕ)^B_A=

 1 2

−3 −4



·

 1 3 2 2 4 3



=

 5 11 8

−11 −25 −18

 .

Wyliczmy M (id)^st_C i M (id)^A_st. Oczywiście M (id)^st_C =

 2 1 1 0



. Tymczasem:

• (1, 0, 0) = −¹⁹₁₄(0, 1, 0) −₁₄¹(1, 2, 3) +₁₄³(5, 7, 1),

• (0, 1, 0) = (0, 1, 0),

• (0, 0, 1) = −₁₄³(0, 1, 0) +₁₄⁵(1, 2, 3) −₁₄¹(5, 7, 1).

czyli M (id)^A_st=





−¹⁹₁₄ 1 −₁₄³

−₁₄¹ 0 ₁₄⁵

3

14 0 −₁₄¹



. A zatem:

M (ψ ◦ ϕ)^st_st=

 2 1 1 0



·

 5 11 8

−11 −25 −18



·





−¹⁹₁₄ 1 −₁₄³

−₁₄¹ 0 ₁₄⁵

3

14 0 −₁₄¹



=

 −1 −3 −2

5 11 8



·





−¹⁹₁₄ 1 −₁₄³

−₁₄¹ 0 ₁₄⁵

3

14 0 −₁₄¹



=

 8

7 −1 −⁵₇

−⁴¹₇ 5 ¹⁶₇



Wobec tego ψ ◦ φ(x, y, z) = (⁸₇x − y −⁵₇z, −⁴¹₇x + 5y +¹⁶₇z).

2