Powtórka przed kolokwium 2
1 Twierdzenie talesa, jednokładność i podobieństwo
1. W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie |AB| = 7 i ramionach długości |AC| = |BC| = 5 wpisano kwadrat DEF G. Bok DE kwadratu leży na boku AB trójkąta. Obliczyć długość boku tego kwadratu.
2. Oblicz obraz punktu X w jednokładności o środku w punkcie O i skali k, jeśli:
(a) X = (−1, 3), O = (0, 0), k = −52 (b) X = (1, 0), O = (1, 3), k = 3
(c) X = (2, −3), O = (0, −1), k = −43 (d) X = (3, 2), O = (1, 4), k = −2 3. Mając dane długości boków dwóch trójkątów rozstrzygnąć, czy są one podobne:
(a) 7, 5, 13 i 21, 39, 15 (b) 8, 14, 16 i 19, 28, 25
2 Czworokąty wpisane i opisane na okręgu
1. Dane są przekątne rombu |AC| = 8 oraz |BD| = 6. Znajdź promień okręgu wpisanego w ten romb.
2. W trapez prostokątny ABCD o ramionach |AD| = 12 i |BC| = 13 wpisano okrąg. Znajdź podstawy trapezu.
3. Podstawy trapezu równoramiennego są równe |AB| = 24, |CD| = 10, a promień okręgu opisanego wynosi R = 13. Znajdź wysokość trapezu, gdy środek okręgu opisanego leży na zewnątrz trapezu.
3 Twierdzenia sinusów i cosinusów
1. Mając dane długości a, b boków trójkąta ostrokątnego ABC oraz długość R promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, oblicz sinusy kątów oraz długość trzeciego boku trójkąta. Wykonaj obliczenia, gdy a = 6, b = 10, R = 8.
2. . Boki AB i AC trójkata ABC mają odpowiednio długości 4 i 6 i tworzą kąt BAC o mierze 120o. Oblicz długość boku BC tego trójkąta.
3. Znajdź cosinusy kątów w trójkącie ABC, w którym |AB| = 7, |BC| = 11, |CA| = 14. Rozstrzygnij, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny.
4 Przekształcenia wykresu funkcji
1. Wykres funkcji g : R → R otrzymuje się w wyniku kolejnego wykonania nastepujacych przekształcen wykresów funkcji: przesuniecie w lewo o 5, symetria wzgledem osi Oy i odbicie dolnej czesci wykresu wzgledem osi Ox.
Wyrazic wartosc g(x) poprzez wartosc funkcji f w odpowiednim punkcie.
2. Niech funkcje f, g : R → R spełnaja dla kazdego x ∈ Rwarunek g(x) = f (|x| − 4). Wskazac dwa kolejne przekształcenia elementarne wykresów, których złozenie przeprowadza wykres funkcji f na wykres funkcji g.
3. Wykres funkcji g : R → R otrzymuje sie z wykresu funkcji f : R → R w wyniku danego przekształce- nia.Wyrazic wartosc g(x) dowolnym punkcie x ∈ Rprzezwartosc funkcji f w odpowiednm punkcie:
(a) przesunięcie w górę o 7 (b) przesunięcie w lewo o 8
(c) symetria względem osi Ox (d) symetria względem osi Oy
5 Funkcje wymierne, równania i nierówności wymierne
1. Rozwiązać równania:
1
(a) x2−4x−32x−20 +x2−13x+403x−18 = x2x−14−x−20
(b) x324−8 +x2+2x+43 =x2+x−610 (c) x22−4 +x2+6x+81 =x2+3x−106
(d) x2−7x+122x−7 +x23x−3+x−20 =x25x+17+2x−15
(e) x22x−16−4x−5+x25x−10−3x−4 = x2−9x+202x−6 (f) x2−3x+2x−3 +x22x+1+x−6 =x25x−3+2x−3
2. Rozwiązać nierówności:
(a) x−13x−6 ¬ 0 (b) (x−7)(x+4)x−5 < 0
(c) (x+1)(x−2)(x−3)(x−5) 0 (d) (x−11)(x−6)(x+3)(x−4) ¬ 0
6 Równania i nierówności z wartością bezwzględną
1. Rozwiązać równania:
(a) |x − 7| = 1 (b) |x + 4| = 9 (c) |x + 6| = 0
(d) |x − 4| + |x − 7| = 7 (e) |x − 4| + |x + 11| = 15
(f) |x − 3| + |x − 5| + |x − 7| = 5 (g) |x − 1| + |x − 6| + |x + 4| = 12 (h) ||x + 4| − 8| = 1
(i) ||x − 3| − 5| = 5
2. Rozwiązać nierówności:
(a) |x| ¬ 4 (b) |x − 5| < 2
(c) |x + 6| 3
(d) |x + 1| ¬ |x − 9|
(e) |x−3x−6| ¬ 2 (f) |x−2x+1| < 12
7 Równania i nierówności trygonometryczne
1. Rozwiązać równania:
(a) cos 4x = −1 (b) tg x =√
3 (c) sin x + cos x = 0 (d) sin x +√
3 cos x = 0 (e) sin2x − cos2x = 12
(f) √
3 sin x + cos x =√ 2 (g) 1−tg2 tg x2x = 0
(h) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 (i) | sin x| + sin x = 0
2. Rozwiązać nierówności:
(a) sin x > 12 (b) sin x + cos x > 0
(c) tg x <√ 3
(d) cos2x − 5 cos x < 0 (e) | sin x| >
√ 2 2
Źródło wykorzystane do orpacowania materiału: materiały z platformy OLAT
2
