– tensor momentu bezwładno´sci

Mechanika o´srodków ci ˛ agłych

Fizyka I (Mechanika)

Wykład X:

• Bryła sztywna

– tensor momentu bezwładno´sci

• Statyka cieczy

• Prawo Bernouliego

Porównanie

Punkt materialny

ruch post ˛epowy

• przesuni ˛ecie ~ x

• pr ˛edko´s´c ~v = d~ x dt

• przyspieszenie ~a = d~v dt

• masa m

• p ˛ed ~ p = m~v

• układ izolowany p = const ~

Bryła sztywna

ruch obrotowy (wzgl ˛edem osi symetrii !)

⇒ k ˛ at obrotu φ ~

⇒ pr ˛edko´s´c k ˛ atowa ~ ω = d~ φ dt

⇒ przyspieszenie k ˛ atowe ~ ε = d~ ω dt

⇒ moment bezwładno´sci I

⇒ moment p ˛edu L = I~ ~ ω

⇒ układ izolowany L = const ~

Porównanie

Punkt materialny

ruch post ˛epowy

• siła F ~

• równania ruchu F = m~a ~ d~ p

dt = ~ F

• praca W =

Z F · d~ ~ x

• energia kinetyczna E _k = ¹ ₂ mv ²

Bryła sztywna

ruch obrotowy (wzgl ˛edem osi symetrii !)

⇒ moment siły M ~

⇒ równania ruchu M = I~ ~ ε

⇒ d~ L

dt = ~ M

⇒ praca W =

Z M · d~ ~ φ

⇒ energia kinetyczna E _k = ¹ ₂ Iω ²

Dla ruchu obrotowego wzgl ˛edem ustalonej osi, pokrywaj ˛ acej si ˛e z osi ˛ a symetrii bryły !!!

Prawa ruchu

Przykład

Dwa klocki na równi poruszaj ˛ ace si ˛e bez tarcia, poł ˛ aczone niewa˙zk ˛ a nici ˛ a przerzucon ˛ a przez wa˙zki bloczek o momencie bezwładno´sci I.

1 2

2

2

1

N 1

I

m

M

Q

N

R

R

α α

β

Q Q

Powierzchnia równi jest wi ˛ezem, który ogranicza ruch klocków do kierunku równoległego do powierzchni równi.

Mo˙zemy zredukowa´c problem do ruchu jednowymiarowego.

W przypadku wa˙zkiego bloczka, je´sli układ nie jest w równowadze, siły napr ˛e˙zenia mog ˛ a by´c ró˙zne!

N ₁ 6= N ₂

Prawa ruchu

Przykład

2 1

2

1

||

||

a a

N m

M

N

Q

I

α α

β β

ε

Q

r

Wybieramy dodatni kierunek przyspieszenia jak na rysunku. Przyspieszenia ciał:

a ₁ = a ₂ = a ε r = a

nierozci ˛ agliwa ni´c nie ´slizga si ˛e po bloczku

Równania ruchu:

M a = Q ^k ₁ − N ₁ = M g sin β − N ₁ ma = N ₂ − Q ^k ₂ = N ₂ − mg sin α

Iε = I a

r = N ₁ r − N ₂ r

Układ trzech równa ´n z trzema niewiadomymi (a, N ₁ i N ₂ ).

Dodajemy stronami dwa pierwsze i pod- stawiamy N ₁ − N ₂ z trzeciego.

Otrzymujemy:

a = g M sin β − m sin α

M + m + _r ^I ₂

Zyroskop ˙

Precesja

zwi ˛ekszone obci ˛ a˙zenie

L M r

ω _p

F

Niezrównowa˙zony moment siły ci ˛e˙zko´sci wzgl ˛edem punktu podparcia O:

M = ~ ~ r × ~ F M = mgr

Pojawia si ˛e moment siły M ~ skierowany prostopadle pionu (~g) i do osi ˙zyroskopu (~ r) Wektor momentu p ˛edu L ⊥ ~ ~ M

⇒ warto´s´c momentu p ˛edu nie ulega zmianie dL

dt = 0

⇒ kierunek momentu p ˛edu zmienia si ˛e ⇒ precesja d~ L

dt = ~ ω _p × ~ L = ~ M ⇒ ω _p = m r g

L

Moment p ˛edu

Do tej pory rozpatrywali´smy wył ˛ acznie ruch obrotowy wzgl ˛edem ustalonej osi.

Na ogół była to o´s symetrii bryły, lub o´s do niej równoległa.

W ogólnym przypadku problem jest du˙zo bardziej skomplikowany

Przykład - dwa wiruj ˛ ace ci ˛e˙zarki Ci ˛e˙zarki w jednej płaszczy´znie ⊥ osi

L

ω

S

O´s obrotu jest osi ˛ a symetrii L k ~ ~ ω

Ci ˛e˙zarki rozsuni ˛ete wzdłu˙z osi obrotu

S ^ω

L

O´s obrotu nie jest osi ˛ a symetrii ⇒ L/|| ~ ~ ω

L ~ _i = m _i ~ r _i × ~v _i ⊥ ~ r _i

Moment p ˛edu

Przykład II

Dysk wiruj ˛ acy wokół osi nachylonej do osi symetrii Pr ˛edko´s´c k ˛ atow ˛ a mo˙zemy rozło˙zy´c na

składow ˛ a równoległ ˛ a i prostopadła do osi symetrii

ω ω ω

~

ω = ~ ω _⊥ + ~ ω _k

Moment bezwładno´sci dysku: (wykład 9) I _⊥ = 1

2 mr ² I _k = 1

4 mr ² = 1 2 I _⊥

Moment p ˛edu dysku

L = ~ ~ L _⊥ + ~ L _k

= I _⊥ ~ ω _⊥ + I _k ~ ω _k

= I _⊥



~

ω _⊥ + 1 2 ~ ω _k



L ω

L L

L/|| ~ ~ ω

Moment p ˛edu

W ogólnym przypadku bryła sztywna mo˙ze nie mie´c ˙zadnej osi symetrii.

Jak wtedy wyznaczy´c moment p ˛edu, znaj ˛ ac pr ˛edko´s´c k ˛ atow ˛ a ~ ω ?

Z definicji momentu p ˛edu:

L = ~ ^X

i

m _i ~ r _i × ~v _i

Z definicji bryły sztywnej:

~v _i = ~ ω × ~ r _i

Otrzymujemy:

L = ~ ^X

i

m _i ~ r _i × (~ ω × ~ r _i ) = ^X

i

m _i ^h ω ~ r _i ² − ~ r _i (~r _i ~ ω) ⁱ

korzystamy z to˙zsamo´sci wektorowej: A × ~ 

B × ~ ~ C 

= ~ B 

A · ~ ~ C 

− ~ C 

A · ~ ~ B 

Kierunek L ~ zale˙zy od kierunku ~ ω jak i poło˙ze ´n poszczególnych elementów bryły ~ r _i .

Moment p ˛edu

Rozpisuj ˛ ac na składowe:

~ r _i = (x _i , y _i , z _i ) ~ ω = (ω _x , ω _y , ω _z ) ⇒ ~ r _i ~ ω = x _i ω _x + y _i ω _y + z _i ω _z

Otrzymujemy (na przykładzie L _x ):

L _x = ^X

i

m _i ^h ω _x r _i ² − x _i (x _i ω _x + y _i ω _y + z _i ω _z ) ⁱ

= ω _x · ^X

i

m _i (r _i ² − x ² _i ) − ω _y · ^X

i

m _i x _i y _i − ω _z · ^X

i

m _i x _i z _i L _x zale˙zy w ogólno´sci od wszystkich skladowych pr ˛edko´sci k ˛ atowej !

Podobnie:

L _y = − ω _x · ^X

i

m _i x _i y _i + ω _y · ^X

i

m _i (r _i ² − y _i ² ) − ω _z · ^X

i

m _i y _i z _i L _z = − ω _x · ^X

i

m _i x _i z _i − ω _y · ^X

i

m _i y _i z _i + ω _z · ^X

i

m _i (r _i ² − z _i ² )

Tensor momentu bezwładno´sci

Wyra˙zenie na składowe L ~ mo˙zemy zapisa´c w postaci macierzowej:

L = ~















L _x L _y L _z















=















P m _i (r ² _i − x ² _i ) − ^P m _i x _i y _i − ^P m _i x _i z _i

− ^P m _i x _i y _i ^P m _i (r ² _i − y _i ² ) − ^P m _i y _i z _i

− ^P m _i x _i z _i − ^P m _i y _i z _i ^P m _i (r _i ² − z _i ² )















·















ω _x ω _y ω _z















L ~ = I ˆ · ω ~

tensor momentu bezwładno´sci Składowe tensora - współczynniki bezwładno´sci

I = ˆ















I _xx I _xy I _xz I _yx I _yy I _yz I _zx I _zy I _zz















ogólna posta´c (u, v = x, y, z)

I _uv = ^X m _i (δ _uv r _i ² − u _i v _i )

lub

I _uv =

Z

dV ρ(~ r)(δ _uv r ² − u v)

delta Kroneckera: δ _uv = 1 dla u = v i 0 dla u 6= v

Tensor momentu bezwładno´sci

Przykład

Cztery masy rozmieszczone w rogach sze´scianu:

X Y

Z

a M Tensor bezwładno´sci

I = ˆ















2 −1 0

−1 2 0 0 0 2















· M a ²

Osie główne

W ogólnym przypadku wszystkie współczynniki bezwładno´sci mog ˛ a by´c ró˙zne od zera (tensor symetryczny ⇒ 6 niezale˙znych wielko´sci)

Okazuje si ˛e jednak, ˙ze w ka˙zdym przypadku mo˙zna tak obróci´c osie układu odniesienia,

˙zeby elementy pozadiagonalne znikały: (diagonalizacja tensora) I _xy = I _xz = I _yz = I _yx = I _zx = I _zy = 0

układ taki definiuje nam osie główne bryły (kierunki własne tensora) Je´sli bryła ma o´s symetrii to b ˛edzie ona jedn ˛ a z osi głównych !

⇒ pozostaj ˛ a tylko 3 współczynniki diagonalne I _xx , I _yy , I _zz (warto´sci własne) L = (L ~ _x , L _y , L _z ) = (I _xx ω _x , I _yy ω _y , I _zz ω _z )

Dla obrotu wokół osi głównej L k ~ ~ ω

np. ~ ω = (ω, 0, 0) ⇒ L = (I ~ _xx ω, 0, 0) = I _xx ~ ω

Osie główne

Przykład

Cztery masy rozmieszczone w rogach sze´scianu:

Z

Y’

X’

M

a Tensor bezwładno´sci

I = ˆ









1 0 0 0 3 0 0 0 2







 · M a ²

Osie X’, Y’ i Z s ˛ a osiami głównymi I ˆ :

• o´s X’ - najmniejszy moment bezwładno´sci

• o´s Y’ - najwi ˛ekszy moment bezwładno´sci

• o´s Z - po´sredni moment bezwładno´sci

Osie główne

Prostopadło´scian

Rakieta tenisowa

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000 000000000

111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111

000 000 000 111 111 111

I _xx 6= I _yy 6= I _zz

Walec

I _xx = I _yy 6= I _zz

Kula

I _xx = I _yy = I _zz

Sze´scian

I _xx = I _yy = I _zz

Tak jak dla kuli !

Osie główne

W przypadku bryły wiruj ˛ acej swobodnie (stała warto´s´c L) ~

stabilny ruch obrotowy (stały kierunek wektora ~ ω) mo˙zliwy jest

tylko wokół osi głównych o najwi ˛ekszym i najmniejszym momencie bezwładno´sci O´s o najwi ˛ekszym I

obrót stabilny

O´s o po´srednim I

obrót niestabilny

O´s o najmniejszym I

obrót stabilny

Osie główne

Energia kinetyczna w układzie osi głównych E _k = 1

2 ω ~ ~ L = 1

2 (I _xx ω _x ² + I _yy ω _y ² + I _zz ω _z ² )

Je´sli nało˙zymy wi ˛ezy narzucaj ˛ ace obrót ciała ze stała pr ˛edko´sci ˛ a k ˛ atow ˛ a ~ ω to przyjmie ono uło˙zenie odpowiadaj ˛ ace maksymalnej energii kinetycznej

⇒ obrót wokół osi o najwi ˛ekszym momencie bezwładno´sci

⇒ maksymalna warto´s´c momentu p ˛edu

Wiruj ˛ acy dysk Wiruj ˛ acy pr ˛et

Osie główne

Wiruj ˛ acy ła ´ncuszek

Przybiera kształt obr ˛eczy

odpowiadaj ˛ acy maksymalnemu momentowi bezwładno´sci

⇒ maksymalnej warto´sci momentu p ˛edu

⇒ maksymalnej energii kinetycznej W układzie obracaj ˛ acym si ˛e

Siła od´srodkowa d ˛ a˙zy do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi obrotu.

Stabilny jest stan odpowiadaj ˛ acy minimum energii potencjalnej (siły od´srodkowej) F ~ _i = m _i ω ² ~ r _i⊥ ⇒ E _p,i = − 1

2 m _i ω ² r _⊥ ² E _p = ^X

i

E _p,i = − 1

2 ω ^{2 X}

i

m _i r _⊥ ² = − 1

2 ω ² I = −E _k Minimum energii potencjalnej odpowiada maksimum energii kinetycznej.

W układzie laboratoryjnym ⇒ masa “oddala si ˛e” od osi zgodnie z zasad ˛ a bezwładno´sci

Mechanika płynów

Płyn

Substancja, która mo˙ze dowolnie zmienia´c swój kształt w zale˙zno´sci od naczynia, w którym si ˛e znajduje, a tak˙ze swobodnie si ˛e przemieszcza´c (przepływa´c)

pod wpływem przyło˙zonych sił (ci´snie ´n).

W tej ogólnej definicji do płynów zaliczamy zarówno ciecze jak i gazy!

Mikroskopowo płynem nazwiemy substancje, której molekuły moga swobodnie przemieszcza´c si ˛e wzgl ˛edem siebie (w odró˙znieniu od molekuł w kryształach).

Przy czym w cieczach molekuły pozostaj ˛ a zwi ˛ azane wzajemnymi oddziaływaniami, a w gazie nie s ˛ a ze sob ˛ a zwi ˛ azane.

Płyn doskonały (idealny)

Płynem doskonalym nazwiemy ciecz nie´sci´sliw ˛ a, w której nie wyst ˛epuj ˛ a opory ruchu

(poza bezwładno´sci ˛ a cieczy).

Poj ˛ecia podstawowe

G ˛esto´s´c

Definiujemy jako stosunek masy do obj ˛eto´sci (tak jak dla ciał stałych):

ρ = lim

∆V →0

∆m

∆V

W przypadku płynu doskonałego ρ = const. W ogólym przypadku ρ = ρ(x, y, z, t).

Pr ˛edko´s´c przepływu

Definiujemy jako granic ˛e ´sredniej pr ˛edko´sci niewielkiej obj ˛eto´sci płynu.

~v = lim

∆V →0

∆~ p

∆m

W ogólnym przypadku, tak˙ze dla płynu doskonałego, zale˙zy od poło˙zenia i czasu: ~v = ~v(x, y, z, t).

∆ m ∆ p

v

Przepływ stacjonarny: niezale˙zny od czasu, ~v = ~v(x, y, z)

Poj ˛ecia podstawowe

Równanie ci ˛ agło´sci

W przypadku przepływu stacjonarnego, zmiana pr ˛ed- ko´sci przepływu wzdłu˙z lini pr ˛ adu wi ˛ a˙ze si ˛e ze zmian ˛ a przekroju poprzecznego: przepływ masy przez kolejne powierzchnie musi by´c taki sam

S ₁ v ₁ ρ ₁ = S ₂ v ₂ ρ ₂ Dla płynu idealnego:

S v = const

Ci´snienie

Siła działaj ˛ aca na jednostk ˛e powierzchni elementu płynu ze strony płynu lub ´scianek naczynia

p = | ~ F |

∆S

S

S

v

v

∆ S

F

Statyka

Prawo Pascala

Sformułowane w połowie XVIIw. przez Blaise’a Pascala

Je˙zeli na ciecz lub gaz w zbiorniku zamkni ˛etym wywierane jest ci´snienie zewn ˛etrzne, to ci´snienie wewn ˛ atrz zbiornika jest wsz ˛edzie jednakowe i równe ci´snieniu zewn ˛etrznemu.

Prawo to obowi ˛ azuje w przypadku statycznym (płyn nie porusza si ˛e). Nie uwzgl ˛ednia te˙z wpływu oddziaływania grawitacyjnego (ci´snienienia hydrostatycznego).

Prasa hudrauliczna

Przykład wykorzystania prawa Pascala

p = F ₁

S ₁ = F ₂

S ₂

Statyka

Ci´snienienie hydrostatyczne

Szczególnym przypadkiem oddziaływania na ciecz jest pole grawitacyjne Ziemi. Na element o powierzchni ∆S znajduj ˛ acy si ˛e na gł ˛eboko´sci h wywierane jest zewn ˛etrzne ci´snienie p ₀ oraz do- datkowy nacisk słupa cieczy

N = ∆Q = ρ g h ∆S

Całkowite ci´snienie na gł ˛eboko´sci h wyniesie wi ˛ec:

p = ρ g h + p ₀ ∆ S

p ₀

h

g

ρ

Statyka

Siła wyporu

Prawo Arhimedesa wynika wprost ze wzoru na ci´snienie hydrostatyczne. Dla prostopadlo´scianu za- nurzonego całkowicie w cieczy o g ˛esto´sci ρ:

W = N ₁ − N ₂ = ρ g (h + ∆h) ∆S − ρ g h ∆S

= ρ g ∆h ∆S

= ρ g V

gdzie V jest obj ˛eto´sci ˛ a ciała, czyli obj ˛eto´sci ˛ a wypartej cieczy.

Siła wyporu jest równa co do warto´sci ci ˛e˙zarowi cieczy wypartej przez ciało (ale przeciwnie skierowana)

W = −ρ V ~g ~

p ₀

∆ h

∆ S

Ν ₂

Ν ₁

g ρ

h

Statyka

Siła wyporu

Rozwa˙zmy naczynie z ciecz ˛ a, do którego wkładamy ciało o g ˛esto´sci mniejszej od g ˛esto´sci cieczy.

Nowa wysoko´s´c cieczy w naczyniu (h + ∆h)S = hS + x∆S Zanurzenie x wynika z siły wyporu

g ρ x ∆S = Q

∆ h g

ρ

h

∆ S

S S

h x

Nacisk cieczy na dno naczynia po wło˙zeniu ciała wyniesie

N = g ρ (h + ∆h)S = g ρ h S + g ρ x∆S = g ρ h S + Q

Nacisk zwi ˛eksza si ˛e dokładnie o ci ˛e˙zar pływaj ˛ acego ciała.

Przepływ płynu

Płyn idealny

Dla płynu idealnego nie wyst ˛epuj ˛ a opory ruchu - przepływ odbywa si ˛e bez strat energii.

Płyn idealny jest te˙z nie´sci´sliwy - nie zmienia si ˛e jego energia wewn ˛etrzna (pomijamy zmi- any temperatury). Mo˙zemy wykorzysta´c zasad ˛e zachowania energii do opisu przepływu!

Rozwa˙zmy obj ˛eto´s´c płynu ograniczon ˛ a powierzch- niami S ₁ i S ₂ . W czasie ∆t przesunie si ˛e ona odpowiednio o

∆l ₁ = v ₁ ∆t ∆l ₂ = v ₂ ∆t

Praca sił ci´snienienia działaj ˛ acego na rozwa˙zan ˛ a obj ˛eto´s´c płynu wyniesie

∆W _p = p ₁ S ₁ ∆l ₁ − p ₂ S ₂ ∆l ₂

= p ₁ ∆V − p ₂ ∆V

∆ l ∆ l p ₁

p ₂

v ₁ v ₂

S ₁

S ₂

1 2

gdzie z równania ci ˛ agło´sci: S ₁ ∆l ₁ = S ₂ ∆l ₂ = ∆V

Przepływ płynu

Je´sli przepływ jest stacjonarny to zmian ˛e energii kinetycznej wybranej obj ˛eto´sci cieczy mo˙zemy policzy´c zauwa˙zaj ˛ ac, ˙ze po czasie ∆t obj ˛eto´s´c ∆V poruszaj ˛ ac ˛ a si ˛e z pr ˛edko´s- ci ˛ a ~v ₁ zast ˛epuje obj ˛eto´s´c ∆V poruszaj ˛ aca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a ~v ₂

∆E _k = ∆V ρ v ₂ ²

2 − ∆V ρ v ₁ ² 2

Zmiana energii kinetycznej wynika z pracy wykonanej przez siły ci´snienia

∆ l ∆ l p ₁

p ₂

v ₁ v ₂

S ₁

S ₂

1 2

∆W _p = p ₁ ∆V − p ₂ ∆V = ∆V ρ v ₂ ²

2 − ∆V ρ v ₁ ²

2 = ∆E _k

dziel¡ przez

∆V p ₁ − p ₂ = ρ v ₂ ²

2 − ρ v ₁ ² 2

Ale powierzchnie S ₁ i S ₂ mogli´smy wybra´c dowolnie. Musi wi ˛ec by´c spełnione p + ρ v ²

2 = const

Prawo Bernouliego

Je´sli przepływ odbywa si ˛e w polu grawitacyjnym g to dodatkowo trzeba uwzgl ˛edni´c zmian ˛e energii potencjalnej:

∆E _p = ∆V ρ g y ₂ − ∆V ρ g y ₁

Z zachowania energii mamy wtedy:

∆W _p = ∆E _k + ∆E _p

Co prowadzi do ostatecznego wzoru:

p + ρgy + ρ v ²

2 = const zwanego prawem Bernouliego

∆ l

∆ l p ₁

p ₂ g

x y

v ₁

2

S ₂

1

v ₂

S 1

Prawo Bernouliego

Przykład

Z jak ˛ a pr ˛edko´sci ˛ a wypływa ciecz z naczynia, je´sli otwór znajduje si ˛e h poni˙zej poziomu cieczy?

Stosuj ˛ ac prawo Bernouliego do punktów A i B:

p _o + ρgh = p _o + ρ v ² 2

⇒ v = ^q 2gh

p ₀

h g ρ

v A

B

Tak jak przy spadku swobodnym lub wahadle! Zaniedbujemy opory!

Dysza Venturiego

Przyrz ˛ ad słu˙z ˛ acy do pomiaru pr ˛edko´sci cieczy lub gazu

∆p = ρgh = ρ

2 (v ₂ ² − v ₁ ² ) = ρv ₁ ² 2





A ₁ A ₂

! ₂

− 1





Ruch w o´srodku

Siła no´sna

Prawo Bernouliego tłumaczy tak˙ze powstawanie siły no´snej w przypadku ciał (na przykład skrzydła samolotu) poruszaj ˛ acych si ˛e w o´srodku.

Ci´snienie jest mniejsze w obszarze wiekszych pr ˛edko´sci opływania (p + ^ρv ₂ ² = const)

⇒ ciało jest “wci ˛ agane” w obszar wiekszych pr ˛edko´sci

Ale mo˙zna na to spojrze´c te˙z z punktu widzenia praw Newtona! Siła no´sna jest sił ˛ a

reakcji! Ciało wymusza zmian ˛e kierunku ruch cz ˛ asteczek o´srodka, pcha go “w dół”...

Ruch w o´srodku

Zjawisko Magnusa

Walec wiruj ˛ acy w przepływaj ˛ acej poprzecznie

do osi obrotu cieczy lub gazie. zgodne kierunki pr ˛edko´sci:

⇒ pr ˛edko´s´c przepływu wzrasta

⇒ przyspieszenie do´srodkowe ro´snie

⇒ ci´snienie maleje

przeciwne kierunki pr ˛edko´sci:

⇒ pr ˛edko´s´c przepływu maleje

⇒ przyspieszenie do´srodkowe maleje

⇒ ci´snienie wzrasta

⇒ wypadkowa siła no´sna F ~ _N ⊥ ~v

Lepko´s´c

Ciało poruszaj ˛ ace si ˛e po powierzchni cieczy:

V F

d

S

Warstwa cieczy przylegaj ˛ aca do ciała porusza si ˛e wraz z nim.

Warstwa cieczy przylegaj ˛ aca do dna spoczywa.

“tarcie wewn ˛etrzne” pomi ˛edzy warstwami cieczy poruszaj ˛ acymi si ˛e z ró˙znymi pr ˛edko´sciami.

Formuła empiryczna:

F ~ _L = −~i _V η v S d gdzie: v - pr ˛edko´s´c ciała

S - powierzchnia styku z ciecz ˛ a d - gł ˛eboko´s´c naczynia

η - współczynnik lepko´sci

Lepko´s´c

Typowe warto´sci:

eter 0.0002 N s/m ²

woda 0.001 N s/m ²

gliceryna 1.5 N s/m ² miód 500. N s/m ² wodór 0.000009 N s/m ² powietrze 0.000018 N s/m ² tlen 0.000021 N s/m ²

Lepko´s´c cieczy maleje z temperatur ˛ a Lepko´s´c gazów ro´snie z temperatur ˛ a

ciecz

gaz

Ruch w o´srodku

Opór czołowy

Siły jakie działaj ˛ a na ciało poruszaj ˛ ace si ˛e w o´srodku mo˙zemy podzieli´c na:

• sił ˛e oporu czołowego F ~ _◦ ↑↓ ~v

• sił ˛e no´sn ˛ a F ~ _N ⊥ ~v

V F

F

F

= −V

N

o

c

Z analizy wymiarowej:

F ~ _◦ = −~i _v C

2 ρv ² S

gdzie: v - pr ˛edko´s´c ciała

S - powierzchnia poprzeczna ρ - g ˛esto´s´c cieczy

C -bezwymiarowy współczynnik zale˙zny od kształtu ciała, jego orientacji wzgl ˛edem ~v

oraz bezwymiarowej kombinacji parametrów:

Re = v l ρ η

Re - liczba Reynoldsa, l - wymiar poprzeczny

O.Reynolds (1883): skalowanie przepływów cieczy

Ruch w o´srodku

Opór czołowy

Dla ciała kulistego i Re ≪ 1

istnieje ´scisłe rozwi ˛ azanie problemu:

(G.Stokes 1851)

C = 24 Re

F ~ _◦ = −6πηr ~v

siła oporu proporcjonalna do v

W obszarze du˙zych warto´sci Re C ≈

F _◦ ∼ v ²

Wyniki pomiarów współczynnika C dla kuli:

C ≈ ²⁴ _Re C ≈ ⁴

Re ^0.3 ↑ ↑ C ≈ 0.45

małe pr ˛edko´sci du˙ze pr ˛edko´sci

Ruch w o´srodku

Pr ˛edko´s´c graniczna

πη F = −6 r v _o

Q = m g

W= −m g _p

Równanie ruchu kuli spadaj ˛ acej w cieczy (Re ≪ 1) m ~a = m~g − m _p ~g − 6πηr~v

Rozwi ˛ azanie (ruch w pionie):

v(t) = v _gr + (v ₀ − v _gr ) exp



− 6πηr m t



t

v

v

> v

v

0

= 0 v

v _gr - pr ˛edko´s´c graniczna

Ruch w o´srodku

Pr ˛edko´s´c graniczna

Dla kuli spadaj ˛ acej w cieczy (Re ≪ 1) v _gr = 2

9

r ² g(ρ − ρ _p ) η

Zale˙zno´s´c od kształtu

Kula:

F ~ _◦ = −6π ηr ~v

≈ −18.8 ηr ~v Dysk (⊥ ~v ):

F ~ _◦ = −16 ηr ~v

Dysk (|| ~v):

F ~ _◦ = − 32

3 ηr ~v

Egzamin

Przykładowe pytania testowe:

1. Wektor momentu p ˛edu L ~ jest równoległy do pr ˛edko´sci k ˛ atowej ~ ω

A dla symetrycznego tensora I ˆ B dla diagonalnego tensora I ˆ C zawsze D dla ~ ω k osi głównej

2. Swobodnie wiruj ˛ aca bryła sztywna ma stabilnych osi obrotu przynajmniej

A dwie B sze´s´c C trzy D jedn ˛ a

3. Równanie ci ˛ agło´sci dla przepływu płynów wynika z zachowania

A energii B masy C g ˛esto´sci D p ˛edu

4. Pr ˛edko´s´c z jak ˛ a wypływa woda przez otwór w dolnej kraw ˛edzi beczki, wraz z obni˙zaniem si ˛e poziomu wody w beczce

A jest stała B ro´snie C maleje D zale˙zy od kierunku otworu

5. Siła lepko´sci, działaj ˛ aca na ciało poruszaj ˛ ace si ˛e po powierzchni cieczy, nie zale˙zy od

A powierzchni B g ˛esto´sci cieczy C pr ˛edko´sci ciała D gł ˛eboko´sci naczynia

Projekt współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego