Zestaw 04: Siły bezwładno´sci Maciej J. Mrowi´nski 1

Zestaw 04: Siły bezwładno´sci

Maciej J. Mrowi ´nski 1 stycznia 2019

Zestaw do samodzielnego rozwi ˛azania po wykładzie z sił bezwładno-

´sci. Nie jest obowi ˛azkowy i nie oddajecie mi tych rozwi ˛aza ´n. Je ˙zeli kto´s ma problemy/pytania, to oczywi´scie zapraszam na konsultacje.

Pytania

• Jak jest zdefiniowana transformacja Galileusza i jak nale ˙zy j ˛a inter- pretowa´c?

• O czym mówi zasada wzgl ˛edno´sci Galileusza?

• Czy w układach nieinercjalnych spełniona jest druga zasada dyna- miki Newtona?

• Czym s ˛a siły bezwładno´sci? Czy s ˛a to „prawdziwe” siły? Jak mo-

˙zemy wytłumaczy´c ich genez ˛e?

• Jak definiujemy sił ˛e d’Alemberta?

• Jak definiujemy sił ˛e od´srodkow ˛a?

• Jak definiujemy sił ˛e Coriolisa?

Problemy obliczeniowe

• Na skutek awarii winda o masie mwzaczyna spada´c w szybie, którego wysoko´s´c wynosi hs. Załó ˙zmy, ˙ze działa na ni ˛a siła tarcia o stałej warto´sci Tw. Je ˙zeli wysoko´s´c kabiny windy wynosi hw, to z jak ˛a pr ˛edko´sci ˛a pocz ˛atkow ˛a musi podskoczy´c znajduj ˛acy si ˛e w kabinie obserwator, aby przed zderzeniem z dnem szybu dotkn ˛a´c sufitu windy? Załó ˙z, ˙ze obserwator jest punktem materialnym i nie wpływa na ruch windy, a winda w chwili pocz ˛atkowej znajdo- wała si ˛e na szczycie szybu.

Problemy numeryczne

• Na pocz ˛atku spróbujemy zademonstrowa´c mechanizm powsta- wania w układach nieinercjalnych przyspiesze ´n, które nie s ˛a powi ˛azane z ˙zadnymi siłami. Wyobra´zmy sobie, ˙ze na dwuwy- miarowym placu zabaw znajduje si ˛e karuzela, która wiruje wokół własnej osi z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ω0. Dla uproszczenia załó ˙zmy,

˙ze ´srodek karuzeli¹pokrywa si ˛e ze ´srodkiem układu współrz ˛ed- ¹Jej o´s obrotu.

z e s taw 0 4: siły bezwładno ´sci 2

nych. Na karuzeli, po przeciwległych stronach, siedzi dwójka dzieci - jedno dziecko w chwili pocz ˛atkowej znajduje si ˛e w punk- cier~_d= [0,−r_dx], a drugie w punkcie−~r_d. Dziecko znajduj ˛ace si ˛e

„na dole”²rzuca w kierunku dziecka „na górze” piłk ˛e, nadaj ˛ac jej ²Czyli w punkcie~r_d.

pr ˛edko´s´c pocz ˛atkow ˛av~0 = [0, v0x]³. Stwórzcie procedur ˛e⁴, która ³Oczywi´scie wzgl ˛edem karuzeli.

4Napiszcie program, który b ˛edzie generował rysunek albo dane, na podstawie których rysunek zostanie wygenerowany w innym narz ˛edziu.

narysuje z punktu widzenia układu inercjalnego⁵pozycj ˛e dzieci

5Czyli nieruchomego układu zwi ˛azane- go z placem zabaw.

na karuzeli po upływie czasu t oraz, na tym samym obrazku, tor piłki od chwili 0 do t. Nast ˛epnie stwórzcie drug ˛a procedur ˛e, która narysuje ten sam rysunek - czyli pozycj ˛e dzieci i tor piłki, ale z punktu widzenia układu nieinercjalnego, którego ´srodek pokrywa

si ˛e ze ´srodkiem karuzeli, i który wiruje wokół własnej osi⁶z t ˛a sa- ⁶Sił ˛a rzeczy jest to ta sama o´s obrotu, co o´s karuzeli.

m ˛a pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ω₀. To drugie zadanie z pozoru wygl ˛ada na skomplikowane, ale mo ˙zna je wykona´c korzystaj ˛ac jedynie z pro-

stych przekształce ´n algebraiczno-geometrycznych⁷. Podczas robie- ⁷Hint: przypomnijcie sobie, w jaki sposób przechodzili´smy z układu inercjalnego do nieinercjalnego na wykładzie. Jak w tym problemie powi ˛a- zany jest wektor wodz ˛acy w układzie inercjalnym i w nieinercjalnym? Jakie dwie liczby podałby Stefan, gdyby-

´smy go spytali o poło ˙zenie piłki w układzie nieinercjalnym? Znaj ˛ac tor w układzie inercjalnym, mo ˙zna go łatwo przekształci´c w tor w układzie nieinercjalnym - czysta geometria. I wła´snie chciałbym, ˙zeby´scie tak do tego podeszli.

nia rysunków przyjmijcie ω0 = 1 rad/s, r_dx =1 m i v0x =2 m/s.

Bonus za zrobienie animacji przedstawiaj ˛acej ruch piłki. Porównaj- cie tory w obu układach. Czy jeste´scie w stanie wyja´sni´c dlaczego tor piłki wygl ˛ada inaczej dla ró ˙znych obserwatorów⁸?

8W tym wyja´snieniu słowo „siła” nie powinno si ˛e pojawi´c - na oko wida´c, ˙ze tu nie ma ˙zadnych sił.

• W poprzednim podpunkcie pokazali´smy, ˙ze w zakrzywieniu toru piłki w układzie nieinercjalnym nie ma nic mistycznego, a jego odtworzenie wymaga jedynie dwóch prostych rzutowa ´n.⁹Ten sam

9Tak, to był drugi hint!

problem mo ˙zna jednak rozwi ˛aza´c z punktu widzenia obserwatora w układzie nieinercjalnym w sposób bardziej skomplikowany, ale jednocze´snie przy tym bardziej ekscytuj ˛acy - całkuj ˛ac równania ruchu piłki z uwzgl ˛ednieniem sił bezwładno´sci.¹⁰ Podejdziemy

10Tu nale ˙zy jeszcze raz podkre´sli´c, ˙ze nie s ˛a to realne siły, lecz korekty do przyspieszenia wynikaj ˛ace z nieinercjal- no´sci układu.

do tego zagadnienia oczywi´scie nie od strony analitycznej, ale od numerycznej, jednak wcze´sniej musimy jeszcze pokona´c jedn ˛a przeszkod ˛e.

W poprzednim zestawie wprowadzili´smy algorytm velocity Ver- let i wykorzystali´smy go do numerycznego całkowania równa ´n ruchu dla ciał, na które działa siła centralna. Je ˙zeli chcieliby´smy wykorzysta´c ten algorytm równie ˙z i tutaj, to napotkamy na pewn ˛a

trudno´s´c, która zaszyta jest w równaniu 6.¹¹Warto´s´c pr ˛edko´sci ¹¹Oczywi´scie równaniu 6 z poprzednie- go zestawu.

w chwili t+1 okre´slana jest zgodnie z tym równaniem na pod- stawie warto´sci przyspieszenia równie ˙z w chwili t+1. Nie jest to problematyczne, je ˙zeli przyspieszenie zale ˙zy explicite jedynie od

czasu i poło ˙zenia¹², ale je ˙zeli zale ˙zy równie ˙z od pr ˛edko´sci, to sił ˛a ¹²Poło ˙zenie w chwili t+_{1 na tym} etapie ju ˙z znamy.

rzeczy mamy problem. Problem, który musimy jako´s rozwi ˛aza´c, poniewa ˙z w naszym przypadku siła od pr ˛edko´sci w istocie zale ˙zy.

Dlatego skorzystamy ze zmodyfikowanej wersji algorytmu velocity Verlet, która wygl ˛ada nast ˛epuj ˛aco:

v_i+1/2=v_i+¹

2∆t a(t_i, v_i, x_i), (1)

z e s taw 0 4: siły bezwładno ´sci 3

x_i+1=x_i+_{∆t vi+}1/2, (2)

v⁰_i+1=vi+∆t a(ti, vi, xi), (3)

vi+1=vi+¹/2+¹

2∆t a(ti+1, v⁰_i+1, xi+1). (4) Główna modyfikacja polega jak wida´c na dodaniu równania3, w którym wprowadzamy pomocnicz ˛a warto´s´c pr ˛edko´sci w chwili t+1 estymowan ˛a po Eulerowsku na podstawie przyspieszenia w chwili t. Ta estymowana warto´s´c jest nast ˛epnie u ˙zywana do wyznaczenia wła´sciwej warto´sci pr ˛edko´sci w równaniu4. Uzbrojeni w t ˛e poprawion ˛a, działaj ˛ac ˛a równie ˙z w przypadku sił zale ˙znych od pr ˛edko´sci wersj ˛e velocity Verlet, mo ˙zemy w ko ´ncu przej´s´c do kolejnej cz ˛e´sci zadania. Spróbujcie numerycznie roz- wi ˛aza´c równania ruchu dla problemu z poprzedniego podpunktu - czyli takie równania, jakie opisuj ˛a ruch piłki w nieinercjalnym układzie odniesienia zwi ˛azanym z karuzel ˛a. Pami ˛etajcie, ˙ze nale ˙zy uwzgl ˛edni´c zarówno sił ˛e od´srodkow ˛a, jak i sił ˛e Coriolisa. Nanie-

´scie uzyskany tor piłki na rysunek. Czy pokrywa si ˛e on z torem

wyznaczonym geometrycznie?^{13 13}Musi! Je ˙zeli si ˛e nie pokrywaj ˛a, to znaczy, ˙ze gdzie´s jest bł ˛ad.

Rozpatruj ˛ac ruch w rzeczywistych układach nieinercjalnych nie

jeste´smy w stanie rozseparowa´c sił Coriolisa i od´srodkowej¹⁴, ale ¹⁴Czy potraficie wyobrazi´c sobie układ inercjalny poruszaj ˛acy si ˛e w taki sposób, ˙ze wyst ˛epuje w nim tylko jedna z tych sił?

podczas symulacji numerycznej oczywi´scie mo ˙zemy zrealizowa´c ka ˙zdy szalony pomysł, jaki nam tylko wpadnie do głowy. Roz- wi ˛a ˙zcie wi ˛ec z osobna równania ruchu uwzgl ˛edniaj ˛ace tylko jedn ˛a z tych sił. Która z sił ma wi ˛ekszy wpływ na trajektori ˛e ciała?