T WIERDZENIA O SIECZNYCH
Twierdzenie 1
Niech będzie dany okrąg o(O, r) oraz punkt P taki, że PO > r. Jeżeli przez punkt P poprowadzimy dwie proste: prostą k styczną do tego okręgu w punkcie A oraz prostą przecinającą okrąg o(O, r) w dwóch różnych punktach B i C, to
CP BP AP2 = ⋅
Dowód
Rozważmy trójkąty PAB i PCA. Kąt APC jest wspólny dla obydwu trójkątów. Ponadto
PCA PAB=∠
∠
Równość ta wynika z twierdzenia:
Kąt DAB między styczną do okręgu DA a cięciwą AB poprowadzoną do punktu styczności (A) jest równy kątowi trójkąta wpisanego w okrąg, którego jednym z boków jest cięciwa AB, a wierzchołek C leży po przeciwnej stronie prostej AB niż punkt D.
1
Zatem z cechy kkk trójkąty PAB i PCA są podobne. Skoro tak, to prawdziwa jest proporcja:
PA PC PBPA = Stąd
PC PB PA2= ⋅
Twierdzenie 2
Niech będzie dany okrąg o(O, r) oraz punkt P taki, że PO > r. Jeżeli przez punkt P poprowadzimy: sieczną k przecinającą dany okrąg w punktach A i B oraz sieczną l przecinającą okrąg w punktach C i D, to
PA · PB = PC · PD .
Dowód 1
Czworokąt ABCD jest wpisany w koło, więc sumy przeciwległych kątów tego czworokąta są równe 180°.
( )
(
β)
βα α β α β α
=
−
°
−
°
=
∠
=
−
°
−
°
=
∠
−
°
=
∠
−
°
=
∠
=
∠
=
∠
180 180
180 180 180 180
ACP PAC DCA BAC DBA BDC
Oznacza to, że trójkąty PAC i PDB są podobne (cecha kkk). Boki są więc proporcjonalne.
PB PD PCPA = Stąd
PD PC PB PA⋅ = ⋅
Dowód 2
Poprowadźmy przez punkt P jakąkolwiek styczną do okręgu. Oznaczmy punkt styczności R. Wykorzystajmy teraz Twierdzenie 1.
2
PB PA PR2= ⋅ Ale również
PD PC PR2= ⋅ Zatem
PD PC PB PA⋅ = ⋅
Więcej na stronie http://www.traugutt.edu.pl/
