Jak z pęku prostych wybrać prostą styczną do okręgu ?
Dany jest okrąg o promieniu R=5 i punkt P(8,8), napisać równanie stycznej do okręgu przez zadany punkt.
Są trzy sposoby rozwiązanie tego zadania.
1. Napisać równanie pęku prostych przez zadany punkt i rozwiązać z równaniem okręgu przy założeniu jednego rozwiązania tzn. warunek delta równa zero.
2. Zastosować metodę analogiczną do metody konstrukcyjnej tzn napisać równanie okręgu o średnicy SP i rozwiązać układ równań kwadratowych.
Obie te metody są dość pracochłonne – dlatego najlepszy sposób to metoda:
3. Napisać równanie pęku prostych przez zadany punkt i z warunku
odległości środka okręgu od prostej równej promieniowi okręgu określić szukany współczynnik kierunkowy.
Równanie pęku prostych ma postać:
= ⋅ − +
: − ół , , .
Dla danych w zadaniu otrzymamy:
= ⋅ − 8 + 8
Zamienię wyżej wymienione równanie na postać ogólną , aby można było policzyć odległość od niej środka okręgu.
− − 8 + 8 = 0
Wykorzystam teraz wzór na odległość punktu S(-2,3) od prostej.
5 = |−2 − 3 − 8 + 8|
√1 +
5 ⋅ 1 + = | − 10 + 5|
1 + = | − 2 + 1|
Obie strony są nieujemne więc mogę podnieść do kwadratu, co daje:
1 + = 4 − 4 + 1 3 − 4 = 0 ⇒ 3 − 4 = 0
= 0 =4 3 Podstawiam do wyjściowego równania:
