Analiza matematyczna 2
lista zada« nr 4 caªki wielokrotne Rozgrzewka
1. Narysuj w wybranym programie komputerowym wykresy funkcji z ¢wiecze« 1, 2.
Np. w Maximie. Albo dla leniwych tu. Albo dla jeszcze leniwszych tu, tu i tu.
2. Oblicz (poprzez zamian¦ na caªk¦ iterowan¡) caªk¦ podwójn¡ RRDxdxdy, gdzie D jest trójk¡tem ograniczonym prostymi x = 0, x = y, y = 1. Sprawd¹, czy wynikiem jest 13 niezale»nie od tego, w jakiej kolejno±ci wykonuje si¦ caªkowanie.
3. Wyznacz wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci jednorodnego trapezu ograniczonego prostymi x = 0, y = 0, y = 1, x + y = 2.
wiczenia
1. Udowodnij, »e funkcja u : R × R → R dana wzorem u(x, y) = xy2
x2+ y4 gdy x 6= 0 lub y 6= 0, u(0, 0) = 0
jest ci¡gªa wzdªu» ka»dej prostej na pªaszczy¹nie (tzn. dla wszystkich a, b, c, d ∈ R ci¡gªa jest funkcja jednej zmiennej t 7→ u(at + b, ct + d)), ale nie jest funkcj¡ ci¡gª¡.
2. Sprawd¹, czy podane funkcje mo»na rozszerzy¢ do funkcji ci¡gªych na R × R:
f (x, y) = x2− y2
x2+ y2, g(x, y) = x3− y3 x2+ y2 .
3. Zaªó»my, »e f jest ci¡gªa na [a, b]. Zauwa», »e caªka podwójna RR[a,b]×[a,b](f (x) − f (y))2dxdy jest nieujemna. Wykorzystaj ten fakt do udowodnienia, »e
1 b − a
Z b a
f (x)dx
2
≤ 1
b − a Z b
a
(f (x))2dx.
Uwaga: Inny dowód wykorzystuje nierówno±¢ Schwarza dla caªek:“Rb
af (x)g(x)dx”2
≤“Rb
a(f (x))2dx” “Rb
a(g(x))2dx”.
4. Udowodnij twierdzenie o warto±ci ±redniej dla caªki podwójnej: je±li f(x, y) jest ci¡gªa na obszarze D, to istnieje punkt (ξ, η) ∈ D taki, »e
Z Z
D
f (x, y)dxdy = |D|f (ξ, η).
5. Zmie« kolejno±¢ caªkowania w podanych caªkach iterowanych:
Z 1 0
Z
√x
x2
f (x, y)dy
! dx,
Z π
2
−π2
Z 1+cos ϑ
| sin ϑ|
f (r, ϑ)dr
! dϑ.
Uwaga: W drugiej caªce wygodnie jest odpowied¹ zapisa¢ w postaci R01(...) +R2 1(...).
6. Wyznacz pole powierzchni, mas¦ oraz wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci trójk¡tnej pªytki zawartej mi¦dzy prostymi x = 0, y = 0 oraz x + y = 1, której funkcja g¦sto±ci dana jest wzorem %(x, y) = xy.
7. Wyznacz wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci jednorodnej pªytki o ksztaªcie ¢wier¢kola, tj. zbioru D =
(x, y) : x2+ y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 .
Mateusz Kwa±nicki
