Analiza matematyczna 2

Analiza matematyczna 2

lista zada« nr 1

caªka riemanna, caªki niewªa±ciwe Rozgrzewka

1. Stosuj¡c denicj¦ caªki Riemanna i obliczaj¡c caªk¦ oznaczon¡

Z 2 1

√1

xdx, wyznacz granic¦

n→∞lim

 1

√

n²+ n+ 1

√

n²+ 2n + ... + 1

√

n²+ n²

 .

Zadanie dodatkowe: analogicznie wyznaczy¢ granic¦ lim_n→∞

„ 1

√n+ 1

√2n+ ... + 1

√ n²

« .

2. Stosuj¡c wzór na caªkowanie przez podstawienie, oblicz caªk¦Z ^π

2

0

cos x 1 + (sin x)³dx.

3. Przypomnij sobie reguª¦ de l'Hospitala i oblicz granic¦ lim

x→∞

π

2 − arctg x
ln x. 4. Wyznacz caªki niewªa±ciwe:

Z ∞ 0

tg(e^−x)e^−xdx,

Z ∞ 1

1

(x + 1)³ dx.

‚wiczenia

1. Wyznacz caªk¦ Z 1 0

1

1 + x² dx. Wykorzystaj wynik do wyznaczenia granic:

n→∞lim

 n

n²+ 1² + n

n²+ 2² + ... + n n²+ n²

 ,

n→∞lim

√ 1 −√

0 n + 1 +

√ 2 −√

1

n + 2 + ... +

√n −√ n − 1 n + n

! .

2. Stosuj¡c wzór na caªkowanie przez podstawienie dla caªek oznaczonych, oblicz warto±¢

Z e² e

1 x ln xdx,

Z ^π

3

π 4

1 + (tg x)² (1 + tg x)² dx,

Z 1 0

r 2 + x 2 − xdx.

3. Niech f(x) = −x ln x dla x > 0, f(0) = 0. Udowodnij, »e f jest ci¡gªa. Wyznacz caªk¦Z 1 0

f (x)dx. 4. Wyznacz caªki niewªa±ciwe

Z ∞ 0

1 x²+ 4dx,

Z ∞ 1

ln x x² dx

Z ∞ 0

1 1 + x³ dx,

Z ∞ 0

x²e^−xdx.

Mateusz Kwa±nicki