Efekt Halla Irena Jankowska-Sumara CS4

CS4

Efekt Halla Irena Jankowska-Sumara

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zbadane napięcie Halla w prostopadłościennej próbce półprzewodnika w funkcji natężenia prądu elektrycznego, wartości indukcji pola magnetycznego i położenia czujnika względem linii pola magnetycznego.

Zagadnienia do opracowania

1) Struktura pasmowa półprzewodników.

2) Koncentracja i ruchliwość nośników prądu w półprzewodnikach.

3) Ruch ładunku elektrycznego w polu magnetycznym.

4) Teoria efektu Halla.

5) Efekt Halla w metalach i półprzewodnikach.

6) Hallotrony i ich zastosowanie.

Zalecana literatura

1) S. Szczeniowski, "Fizyka doświadczalna. Cz. 3, Elektryczność i magnetyzm", PWN, Warszawa 1980.

2) C. Kittel,Wstęp do teorii ciała stałego, PWN, wyd. III i IV, Warszawa, 1998 i 2000.

3) Świt S., Półtorak J., Przyrządy półprzewodnikowe, WNT Warszawa 1976I.

4) W .Sawieliew - Kurs fizyki t.2, PWN, W-wa 1989.

5) II Pracownia Fizyczna (praca zbiorowa), Wydawnictwo Naukowe A.P. w Krakowie, 2000.

6) K.W. Szalimowa, Fizyka półprzewodników PWN, Warszawa, 1974.

CS4

Wstęp

Przewodnictwo elektryczne w metalach i półprzewodnikach.

Opis mechanizmów przewodnictwa zawarty jest w opracowaniu ćwiczenia CS6 Zachowanie się cząstki naładowanej w polu elektrycznym

Na cząstkę posiadającą ładunek q i znajdującą się w polu elektrycznym o natężeniu 𝐸⃗ działa siła

𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗ (1)

Jej kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego 𝐸⃗. Siła działa niezależnie od prędkości 𝑣⃗ naładowanej cząstki, nawet wtedy, gdy 𝑣⃗ = 0. Działanie tej siły zmienia energię kinetyczną cząstki, a więc zmienia wartość jej prędkości. Na naładowaną cząstkę poruszającą się z prędkością 𝑣⃗ w polu magnetycznym o indukcji 𝐵⃗ działa siła Lorentza,

𝐹⃗ = 𝑞𝑣⃗ × 𝐵⃗ (2)

której kierunek jest zawsze prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego 𝐵⃗

i prędkości 𝑣⃗. Siła ta działa tylko na cząstkę poruszającą się (czyli gdy 𝑣⃗ ≠ 0) powodując zakrzywienie toru cząstki. Ponieważ siła 𝐹⃗ jest zawsze prostopadła do wektora przesunięcia 𝑑𝑠⃗, to wykonywana przez nią praca:

𝑊 = 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑠⃗ = 0 (3)

W konsekwencji tego nie zachodzi zmiana energii kinetycznej cząstki pod wpływem działania pola magnetycznego. Pole magnetyczne może zmienić kierunek wektora prędkości poruszającej się cząstki, ale nie może zmienić wartości jej prędkości.

W 1879 roku Edwin Hall odkrył zjawisko, nazwane później jego imieniem, będące bezpośrednim efektem oddziaływania pola magnetycznego na poruszające się nośniki ładunku w przewodniku. Rozważmy prostopadłościenną płytkę przewodnika o wymiarach a, b i c, przez którą przepływa prąd o natężeniu I (rysunek.1). Przepływ prądu polega na uporządkowanym ruchu nośników ładunku q. Jeżeli liczba nośników ładunku w jednostce objętości wynosi n, a ich średnia prędkość jest równa v, to gęstość płynącego prądu można opisać równaniem:

𝚥⃗ = 𝑞𝑛〈𝑣⃗〉 (4)

gdzie: 𝚥⃗ oznacza gęstość prądu, e wielkość ładunku elementarnego i 〈𝑣⃗〉 średnią prędkość w czasie tzw. prędkości unoszenia.

Prędkość unoszenia to dodatkowa prędkość, nadana ładunkowi przez pole elektryczne E, ponad prędkość wynikającą z równowagi termodynamicznej w określonej temperaturze.

Prędkość ta rośnie wraz z natężeniem pola elektrycznego, ale wzrost ten jest hamowany przez zderzenia (z defektami, domieszkami, fononami, innymi nośnikami ładunku itd.), aż do

CS4

ustalenia się pewnej wyższej wartości, odpowiadającej równowadze dynamicznej (na którą wpływ ma przyłożone pole elektryczne).

Jeżeli prąd przepływa przez powierzchnię S prostopadłą do kierunku prądu, to natężenie płynącego prądu wynosi I = jS. Dla powierzchni w kształcie prostokąta o bokach d i h mamy S = dh, wiec natężenie prądu można zapisać jako:

I = qvndh (5)

Rys.1. Schemat układu obrazującego efekt Halla. Przez prostopadłościenną próbkę o wymiarach d×h×l umieszczoną w polu magnetycznym o indukcji B płynie prąd o natężeniu I. Napięcie Halla U^H mierzymy w kierunku x, prostopadle do pola magnetycznego, skierowanego wzdłuż osi z i prądu płynącego przez próbkę w kierunku osi y.

Przez prostopadłościenną próbkę półprzewodnika, w kierunku osi y płynie prąd elektryczny o natężeniu I .Ponieważ szerokość próbki wynosi d, a jej grubość h, mamy:

𝑗 = = , (6)

gdzie powierzchnia przekroju poprzecznego próbki wynosi S, a j jest gęstością prądu.

Na ładunek elektryczny q poruszający się z prędkością w polu magnetycznym 𝐵⃗ działa, jak wiadomo, siła Lorentza (2) której kierunek jest prostopadły do wektorów 𝑣⃗ i 𝐵⃗, a zwrot będzie zależał także od znaku ładunku q. Siła ta powoduje odchylanie się nośników ładunku tworzących prąd I w kierunku poprzecznym do kierunku przepływu prądu czyIi prostopadłym do pola magnetycznego 𝐵⃗. Spowoduje to wystąpienie gradientu koncentracji nośników ładunku w tymże kierunku i pojawienie się wywołanego tym gradientem pola elektrycznego.

Ponieważ zarówno wektor prędkości jak i znak ładunku będzie odwrócony dla nośników ujemnych widać, że kierunek tego pola, a zatem także znak związanego z tym pola napięcia, będzie miał dla dziur znak przeciwny niż dla elektronów.

Poprzeczne pole elektryczne EH powstałe wskutek rozdzielenia ładunków dodatnich i ujemnych (np w półprzewodniku typu n będą to poruszające się w pasmie przewodnictwa

h

CS4

elektrony i nieruchome dodatnio naładowane zjonizowane donory, z których pochodzą te elektrony) spowoduje wystąpienie dodatkowej siły działającej na nośniki prądu. W stanie stacjonarnym (równowagi dynamicznej) całkowita poprzeczna siła działająca na nośniki ładunku będzie równa zeru, wobec tego mamy:

𝑞𝐸⃗ = 𝑞𝑣⃗ × 𝐵⃗ (7)

i dalej, ponieważ napięcie pomiędzy dwoma punktami w polu elektrycznym jest równe iloczynowi natężenia tego pola i odległości pomiędzy punktami, a także z geometrii układu (prostopadłość wektorów 𝑣⃗, 𝐵⃗, 𝐸 ⃗ ) mamy:

𝑈 = 𝐸 ∙ 𝑑 = 𝑣 ∙ 𝐵 ∙ 𝑑. (8)

Wyrażając v przez gęstość prądu j, zgodnie ze wzorem (4) otrzymamy dalej:

jBd R neBd

U_H  j  _H (9)

gdzie RH to tzw. stała Halla, która dla elektronów (półprzewodnik typu n, ładunek nośnika - e), będzie równa:

ne

R_H  1 (10)

a dla półprzewodnika typu p:

pe

R_H  1 (11)

gdzie p oznacza koncentrację dziur (ładunek pojedynczego nośnika +e)

H H

R R e n 1









 

(12)

co oznacza, że pomiar przewodnictwa właściwego  i stałej Halla R^H pozwala na wyznaczenie wartości obu parametrów charakteryzujących własności elektryczne materiału, tzn. koncentrację nośników ładunku i ich ruchliwość.

Wykorzystując (5) mamy:

 E U

h d

j I    

    (13)

gdzie U oznacza napięcie przyłożone do próbki (wzdłuż osi y), a I oznacza płynący przez próbkę prąd (też w kierunku osi y). d, h i l oznaczają wymiary próbki, zgodnie z rys. 1.

Przepisujemy równanie (12) i otrzymujemy następującą relację:

h U I d 

  (14)

CS4

którą możemy zweryfikować doświadczalnie i wykorzystać do wyznaczenia parametru σ.

W tym celu wystarczy zmierzyć wartości natężenia prądu płynącego przez próbkę dla kilku różnych wartości przyłożonego napięcia (uwaga na dopuszczalny prąd maksymalny, płynący przez próbkę!) i przedstawić uzyskane wyniki na wykresie I(U). Przez otrzymane punkty prowadzimy prostą i wyznaczamy współczynnik nachylenia kierunkowego tej prostej.

Wartość tego współczynnika może być wykorzystana do wyliczenia przewodnictwa właściwego, po uwzględnieniu wymiarów próbki.

By wyznaczyć eksperymentalnie wartość stałej Halla wykorzystamy równanie (10):

I h B Bd R h d R I jBd R

U_{H H H}  ^H  

 

 (15)

które sugeruje odpowiednie postępowanie. Mierzymy wartość napięcia Halla dla różnych wartości indukcji magnetycznej B i różnych wartości prądu płynącego przez próbkę I i przestawiamy uzyskane wyniki na wykresie UH=UH(𝐵 ∙ 𝐼). Współczynnik nachylenia prostej, przechodzącej przez punkty, będzie, z dokładnością do grubości próbki h, równy stałej Halla RH.

Znajomość obu parametrów, RH i σ pozwala na wyznaczenie koncentracji nośników ładunku n i ich ruchliwości μ, zgodnie z równaniami (12).

Halotrony i ich zastosowania

Hallotron to inaczej czujnik pola magnetycznego wykorzystujący efekt Halla. Ten efekt polega w skrócie na występowaniu różnicy potencjałów w przewodniku znajdującym się w polu magnetycznym.

Hallotron zwykle wykonuje się w postaci cienkiej, prostopadłościennej płytki lub warstwy półprzewodnikowej ulokowanej na cienkim podłożu ceramicznym, epoksydowym lub z miki.

Rys. 2. Uproszczony schemat hallotronu i przykładowy moduł czujnika hallotronu.

Obszar półprzewodnikowy hallotronu jest zaopatrzony w cztery elektrody, dwie rozciągające się na całą długość krawędzi bocznych (prądowe) i dwie punktowe, umieszczone w środku pozostałych krawędzi. Materiałem wyjściowym do produkcji hallotronów jest zwykle jeden ze związków półprzewodnikowych (InSb, InAs, InAsP, HgSe) w postaci poli- lub

CS4

monokryształu. Najczęściej z kryształu półprzewodnika wycina się obszar roboczy hallotronu.

Stosuje się również technikę naparowywania materiału półprzewodnikowego na podłoże mikowe lub ceramiczne. Elektrody rozciągające się na całej krawędzi bocznej obszaru roboczego hallotronu służą do wytworzenia w nim odpowiedniej gęstości prądu, elektrody punktowe zaś służą do odbioru napięcia wyjściowego napięcia Halla.

Hallotrony znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, a przede wszystkim jako czujniki pola magnetycznego: w miernictwie wielkości magnetycznych, w badaniach właściwości magnetycznych materiałów, w badaniach maszyn elektrycznych, w pomiarach wielkości elektrycznych: indukcja magnetyczna, natężenie prądu, moc, opór, w pomiarach wielkości nieelektrycznych, np. kąta obrotu, przesunięcia, drgań itp. w układach wykonujących operacje matematyczne i logiczne, jako kompas

Zastosowanie hallotronu umożliwiło budowę bezszczotkowych silników prądu stałego z dokładną regulacją obrotów używanych np. do napędzania wentylatora radiatora procesora w komputerach. Silnik taki jest wykonany jako silnik prądu stałego i charakteryzuje się brakiem komutatora, co znacznie wpływa na podniesienie niezawodności i żywotności oraz obniżenie poziomu hałasu generowanego podczas pracy. Wirnik silnika jest magnesem, natomiast cewki stojana są zasilane poprzez układ elektroniczny. Hallotron wykrywa położenie magnesu i tak steruje załączaniem poszczególnych uzwojeń, aby nadać wirnikowi ruch obrotowy o określonej ilości obrotów na minutę.

Zadania do wykonania

1) Wyznaczyć charakterystykę UH= f() 2) Wyznaczyć charakterystykę UH= f(IH) 3) Wyznaczyć charakterystykę UH= f(Iel) 4) Wyznaczyć charakterystykę UH= f(d)

5) Badanie rozkładu pola magnetycznego między nabiegunnikami elektromagnesu przy pomocy hallotronu

Sposób realizacji ćwiczenia

1. Przeanalizować układ przedstawiony na rysunku 3.

CS4

Rys. 3. Układ pomiarowy.

2. Wyznaczyć charakterystykę UH= f()

W celu wyznaczenia charakterystyki UH= f() zmieniać kąt obrotu hallotronu co 10⁰ w zakresie 0 - 360⁰.

W czasie pomiaru utrzymywać stałe wartości:

1) prądu płynącego przez hallotron, 2) prądu płynącego przez elektromagnes, 3) odległości nabiegunników elektromagnesu,

4) wysokości umieszczenia hallotronu między nabiegunnikami elektromagnesu.

3. Wyznaczyć charakterystykę UH= f(IH)

W celu wyznaczenia charakterystyki UH= f(IH) zmieniać wartość prądu płynącego przez hallotron od 0 do 10 mA.

W czasie pomiaru utrzymywać stałe wartości:

1) kąta ustawienia hallotronu (kąt przy którym wartość napięcia Halla UH jest bliska wartości maksymalnej),

2) prądu płynącego przez elektromagnes, 3) odległości nabiegunników elektromagnesu,

4) wysokości umieszczenia hallotronu między nabiegunnikami – elektromagnesu.

4. Wyznaczyć charakterystykę UH= f(Iel)

W celu wyznaczenia charakterystyki UH= f(Iel) zmieniać wartość prądu płynącego przez elektromagnes od 0 do 1,5 A.

W czasie pomiaru utrzymywać stałe wartości:

1) kąta ustawienia hallotronu (kąt przy którym wartość napięcia Halla UH jest bliska maksymalnej wartości),

2) prądu płynącego przez hallotron,

3) odległości nabiegunników elektromagnesu,

4) wysokości umieszczenia hallotronu między nabiegunnikami elektromagnesu.

CS4

5. Wyznaczyć charakterystykę UH = f(d)

W celu wyznaczenia charakterystyki UH = f(d) zmieniać odległość nabiegunników elektromagnesu od 2 do 4 cm.

W czasie pomiaru utrzymywać stałe wartości:

1) kąt ustawienia hallotronu (kąt przy którym wartość napięcia Halla UH jest bliska maksymalnej wartości),

2) prądu płynącego przez hallotron, 3) prądu płynącego przez elektromagnes,

4) wysokości umieszczenia hallotronu między nabiegunnikami elektromagnesu.

Uwaga:

Przed zmianą odległości nabiegunników każdorazowo zmniejszać wartość prądu płynącego przez elektromagnes do zera, a po zmianie odległości ustawić poprzednią wartość prądu płynącego przez elektromagnes.

6. Badanie rozkładu pola magnetycznego między nabiegunnikami elektromagnesu przy pomocy hallotronu

W celu wyznaczania rozkładu pola magnetycznego w płaszczyźnie równoległej do powierzchni nabiegunników elektromagnesu należy zmieniać wysokość umieszczenia hallotronu od 1 do 30 cm.

W czasie pomiaru utrzymywać stałe wartości:

1) kąta ustawienia hallotronu (kąt przy którym wartość napięcia Halla UH jest bliska wartości maksymalnej),

2) prądu płynącego przez hallotron, 3) prądu płynącego przez elektromagnes, 4) odległości nabiegunników elektromagnesu.

CS4

7*. Korzystając z tabeli cechowania elektromagnesu oraz przyjmując liniową zależność pomiędzy Iel oraz B (B=µonIel, gdzie µo przenikalność magnetyczna próżni, n ilość zwojów cewki elektromagnesu) wyznaczyć zależność UH=UH(𝑩 ∙ 𝑰), a następnie wyznaczyć stałą Halla (wzór (15)).

Uwaga: w tym celu można wykorzystać charakterystyki z punktów 4 i 3

Należy utrzymywać hallotron na osi pomiędzy nabiegunnikami elektromagnesu i prostopadle do linii pola magnetycznego.

TABELA CECHOWANIA ELEKTROMAGNESU

Odległość nabiegunników elektromagnesu

Natężenie prądu magnesującego

Indukcja pola magnetycznego

d [mm] Iel [A] B [T]

1 10 1,91

4 10 1,71

10 10 1,37

20 10 1,1

30 10 0,9

40 10 0,74