Podstawy Automatyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2016

(2)

Wstęp

Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p.

turbulencje,

wiele stanów stabilnych, histereza,

straty energii w wyniku tarcia.

W praktyce, dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego zjawiska, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na

charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).

Stosowany aparat matematyczny:

opis zjawiska w postaci równań różniczkowych, linearyzacja modelu,

(3)

Metody opisu działania elementów (układów) liniowych

Podstawowymi formami matematycznego opisu działania elementu (układu) są:

równanie dynamiki, transmitancja operatorowa, równania stanu.

W przypadku elementu (układu) o jednym sygnale wejściowym x (t) i jednym sygnale wyjściowym y (t) równanie dynamiki wyraża związek zachodzący pomiędzy sygnałem wyjściowym y (t) i sygnałem wejściowym x (t).

(4)

Metody opisu działania elementów (układów) liniowych

Rysunek 1 : Proces - przyczynowo-skutkowy ciąg zdarzeń Posługując się przykładami kilku elementów elementów rozważmy pojęcia: sygnał, wielkość wejściowa, wielkość wyjściowa, sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy.

(5)

Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki

Zasada superpozycji:

f (x1+ x2) = f (x1) + f (x2), and f (0) = 0 (1) przestrzeń rozwiązań równania spełniającego zasadę superpozycji (5) jest przestrzenią liniową.

Jednorodność (implikuje niezmienność skalowania):

FInkcja f (x , y ) jest jednorodna w stopniu k jeżeli

f (βx , βy ) = β^kf (x , y ), and f (0) = 0 (2) . gdzie: β - stały współczynnik.

Układ liniowy

Układ opisany funkcją jednorodną, w którym zachowana jest zasada superpozycji.

Układ nieliniowy

Układ, w którym nie jest zachowana jest zasada superpozycji i/lub nie jest opisany funkcją jednorodną.

(6)

Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki

Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:

a_ndⁿy

dtⁿ+ a_n−1dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+ · · · + a₀y = b_md^mx

dt^m + b_m−1d^m−1x

dt^m−1+ · · · + b₀x (3) gdzie: y - sygnał wyjściowy, x - sygnał wejściowy, ai, bi - stałe

współczynniki.

(7)

Elementy bezinercyjne

Rysunek 2 : Element bezinercyjny - dzielnik napięcia

Sygnał wejściowy x (t) - przebieg napięcia U1(t).

Sygnałem wyjściowy y (t) - przebieg napięcia U₂(t).

Równanie dynamiki - zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym systemu:

U2(t) = R₂ R1+ R2

U1(t) (4)

Równanie elementu bezinercyjnego

y (t) = kx (t) (5)

(8)

Elementy inercyjne

Rysunek 3 : Elementy inercyjne - przykłady a) _αRΘ^V ^dp_dt²^(t) + p₂(t) = p₁(t) b) _R^J^{d ω(t)}_dt + ω(t) = _R¹M(t) c) _R^L^dU_dt²^(t) + U₂(t) = U₁(t)

Równanie elementu inercyjnego Tdy (t)

dt + y (t) = kx (t) (6)

(9)

Charakterystyka statyczna

Charakterystyka statyczna Charakterystyka statyczna fst

przedstawia zależność sygnału wyjściowego układu y od sygnału wejściowego x w stanie ustalonym.

Stan ustalony

Stanem ustalonym nazywamy jest stan, w którym wszystkie

pochodne sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego są równe zero

Rysunek 4 : Charakterystyka statyczna układu liniowego.

(10)

Linearyzacja

Tworzenie opisu liniowego na podstawie opisu nieliniowego nazywa się linearyzacją.

Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań algebraicznych nazywa się linearyzacją statyczną. (brak pochodnych)

Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań różniczkowych nazywa się linearyzacją dynamiczną. Metody linearyzacji statycznej

linearyzacja metodą siecznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym w określonym przedziale zmian zmiennej niezależnej.

linearyzacja metodą stycznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym dla określonej wartości zmiennej niezależnej, a więc i określonej wartości zmiennej zależnej.

(11)

Linearyzacja statyczna

Rysunek 5 : Linearyzacja statyczna; a) metoda siecznej, b) metoda stycznej.

Ponieważ w automatyce rozważa się zachowanie układów w otoczeniu określonego punktu pracy, w dalszych rozważaniach przydatna jest linearyzacja metodą stycznej.

(12)

Linearyzacja metodą stycznej

Przeprowadzony proces linearyzacji metodą stycznej polega na : zastąpieniu krzywej, reprezentującej nieliniową zależność y = f (x ) styczną do niej w punkcie pracy,

przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy, zastąpieniu w modelu matematycznym zmiennych absolutnych x i y odchyleniami tych zmiennych od punktu pracy - zmiennymi

przyrostowymi ∆x i ∆y .

Charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie równania zlinearyzowanego względem określonego punktu pracy jest funkcją liniową. Można ją także wyznaczyć linearyzując charakterystykę rzeczywistą względem tego samego punktu pracy

(13)

Linearyzacja statyczna

Przykład

Wyznaczyć zlinearyzowaną funkcję określającą zależność strumienia masy Q cieczy przepływającej przez zawór od ciśnień p1 i p2 oraz od odległości x grzybka od gniazda zaworu.

Rysunek 6 : Przykład układu - linearyzacja statyczna.

(14)

Linearyzacja dynamiczna

Przykład równania różniczkowego, będącego nieliniową zależnością pomiędzy funkcjami x (t) i y (t) i ich pochodnymi.

F [y (t), ˙y (t), ¨y (t), . . . , y⁽ⁿ⁾(t), x , ˙x (t), ¨x (t), . . . , x^(m)(t)] = 0 (7) Podczas linearyzacji dynamicznej funkcje x (t) i y (t) jak i ich pochodne traktuje się analogicznie jak zmienne funkcji uwikłanej.

n

X

i =0

( ∂F

∂y^{(i )}

y₀^{(i )}

∆y^{(i )} )

+

m

X

j =0

( ∂F

∂x^{(j )}

x^{(j )}₀

∆x^{(j )} )

= 0 (8)

gdzie:

∆y = y (t) − y0, ∆ ˙y = d ∆y

dt , . . . , ∆y⁽ⁿ⁾= dⁿ∆y dtⁿ

∆x = y (t) − x0, ∆ ˙x =d ∆x

dt , . . . , ∆x^(m)=d^m∆x dt^m

(15)

Linearyzacja dynamiczna - przykład

Funkcja niejednorodna

y = mx + b (9)

Przyjmując punkt pracy - {x0, y0}, y0= f (x0) Rozwinięcie w szereg Taylora w punkcie pracy

y = f (x ) = f (x0) +df dx|x =x₀

(x − x0) 1! +d²f

dx²|x =x₀

(x − x0)²

2! + ... (10) prosta styczna (pierwsza pochodna) w punkcie pracy jest dobrą

aproksymacją w małym zakresie zmian argumentu funkcji (wielkości wejściowej).

Tak więc

y = f (x₀) +df

dx|_{x =x}₀(x − x₀) = y₀+ m(x − x₀) (11) i ostatecznie

y − y0= m(x − x0) → ∆y = m∆x (12)

(16)

Przekształcenie Laplacea

Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową, przejście z dziedziny czasu rzeczywistego t na dziedzinę zmiennej zespolonej s.

f (t) ⇔ f (s), gdzie s = c + j ω (13) gdzie: c - współczynnik części rzeczywistej, ω - współczynnik części urojonej. Przekształcenie Laplace’a

f (s) = L[f (t)] =

∞

Z

0

f (t)e^−stdt (14)

Odwrotne przekształcenie Laplace’a - całka Riemanna – Mellina

f (t) = L⁻¹[f (s)] = 1 2πj

c+j ω

Z

c−j ω

F (s)e^stds (15)

(17)

Przekształcenie Laplacea

Przekształcenie Laplace’a, nazywane też transformatą Laplace’a, wykorzystywana jest w automatyce do analizy układów. Jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna zespolona S , na której mnożenie przez s daje efekt różniczkowania a dzielenie przez s całkowania.

Analiza pierwiastków zespolonych równania liniowego, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu.

(18)

Przekształcenie Laplace’a układów liniowych

Aby można było wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji muszą być spełnione następujące warunki:

f (t) ma w każdym przedziale skończonym wartość skończoną, f (t) ma pochodną ^{df (t)}_dt w każdym przedziale skończonym, istnieje zbiór liczb rzeczywistych C , dla których całka

∞

R

0

e^−ct jest absolutnie zbieżna.

(19)

Przekształcenie Laplace’a układów liniowych

an

dⁿy dtⁿ+an−1

dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+· · ·+a0y = bm

d^mx dt^m+bm−1

d^m−1x

dt^m−1+· · ·+b0x (16) L dⁿy

dtⁿ

= sⁿy (s) − sⁿ⁻¹y (0⁺) − · · · − yⁿ⁻¹(0⁺) (17) przy zerowych warunkach początkowych

L dⁿy dtⁿ

= sⁿy (s) (18)

Tak więc przekształcenie Laplace’a układu liniowego przy zerowych warunkach początkowych przyjmuje postać

y (s)(a_nsⁿ+a_n−1sⁿ⁻¹+· · ·+a₀) = x (s)(b_ms^m+b_m−1s^m−1+· · ·+b₀) (19)

(20)

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych

y (s)(a_nsⁿ+a_n−1sⁿ⁻¹+· · ·+a₀) = x (s)(b_ms^m+b_m−1s^m−1+· · ·+b₀) (20)

G (s) = y (s)

x (s) =bms^m+ bm−1s^m−1+ · · · + b0

a_nsⁿ+ a_n−1sⁿ⁻¹+ · · · + a₀ (21) przyjmuje się następujące oznaczenia oznaczenia licznik

M(s) = bms^m+ bm−1s^m−1+ · · · + b0 (22) mianownik - tzw. równanie charakterystyczne

N(s) = a sⁿ+ a sⁿ⁻¹+ · · · + a (23)

(21)

Wyznaczanie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej

x₀= lim

t→∞x (t), y₀= lim

t→∞y (t), (24)

na podstawie twierdzenia o wartości końcowej y0= lim

t→∞y (t) = lim

s→0sy (s) = lim

s→0sG (s)x (s) (25) x0= const ⇒ x (s) =1

sx0 (26)

y0

x₀ = lim

s→0G (s) (27)

ostatecznie

y₀=b₀ a0

x₀ (28)

(22)

Właściwości układów

Właściwości dynamiczne

prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej y (t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia x (t)

(23)

Metody wyznaczania odpowiedzi układu dynamicznego

an

dⁿy dtⁿ+an−1

dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+· · ·+a0y = bm

d^mx dt^m+bm−1

d^m−1x

dt^m−1+· · ·+b0x (29) Klasyczna:

Założenie warunków początkowych x (0), y (0) Rozwiązanie równań różniczkowych

Operatorowa:

f (t) = L⁻¹[y (s)] = L⁻¹[G (s)x (s)] (30) W zastosowaniach praktycznych do wykonywania transformacji prostej i odwrotnej, które są podstawowymi operacjami w rachunku

operatorowym, zwykle nie zachodzi potrzeba wykorzystywania wzorów definicyjnych. Najczęściej wystarczy znajomość podstawowych własności przekształceń Laplace’a i tablice transformat typowych funkcji zmiennej rzeczywistej.

(24)

Typowe sygnały wymuszające

Wymuszenie skokowe jednostkowe (funkcja Heaveside’a)

x (t) =

1(t) dla t 0

0 dla t < 0 x (s) =1

s Wymuszenie skokowe o wartość stałą

x (t) =

x_st1(t) dla t 0

0 dla t < 0 x (s) = xst

1 s Impuls - Delta Diraca

x (t) = δ(t) =

0 dla t 6= 0

∞ dla t = 0 x (s) = 1

Wymuszenie liniowo narastające

a

(25)

Transmitancja operatorowa obiektów MIMO

Rysunek 8 : Obiekt MIMO.

Zapis wejść (p) i wyjść (r ) w postaci wektorów

U(s) =





 u₁(s) u₂(s)

... up(s)







p

, Y (s) =





 y₁(s) y₂(s)

... yr(s)







r

(31)

(26)

Transmitancja operatorowa obiektów MIMO

Rysunek 9 : Obiekt MIMO.

GMIMO(s) = Y (s) U(s) =







G₁₁(s) G₁₂(s) . . . G_2p(s) G₂₁(s) G₂₂(s) . . . G_2p(s)

... ... ... ... Gr 1(s) Gr 2(s) . . . Grp(s)







r ×p

(32)

Gij(s) = yi(s)

uj(s), gdzie i = 1, . . . , r , j = 1, . . . , p. (33)

(27)

Współrzędne stanu

Współrzędne stanu to wielkości charakteryzujące zachowanie się układu dynamicznego, opisujące jego stan (np. położenie, prędkość,

przyspieszenie).

Wektor stanu

Wektor stanu układu dynamicznego to minimalny zbiór współrzędnych stanu wystarczający łącznie ze znajomością wielkości wejściowych do określenia zachowania się układu w przyszłości.

Liczba współrzędnych stanu jest równa rzędowi równania różniczkowego opisującego obiekt.

Opis układów we współrzędnych stanu jest trudniejszy do interpretacji fizycznej niż opis w postaci transmitancji i niemożliwy do

bezpośredniego określenia na drodze pomiarowej. Jest jednak wygodniejszy do celów modelowania oraz projektowania wielowymiarowych układów sterowania i regulacji.

(28)

Współrzędne stanu

Współrzędne stanu to wielkości charakteryzujące zachowanie się układu dynamicznego, opisujące jego stan (np. położenie, prędkość,

przyspieszenie).

Wektor stanu

Wektor stanu układu dynamicznego to minimalny zbiór współrzędnych stanu wystarczający łącznie ze znajomością wielkości wejściowych do określenia zachowania się układu w przyszłości.

Liczba współrzędnych stanu jest równa rzędowi równania różniczkowego opisującego obiekt.

Opis układów we współrzędnych stanu jest trudniejszy do interpretacji fizycznej niż opis w postaci transmitancji i niemożliwy do

bezpośredniego określenia na drodze pomiarowej. Jest jednak wygodniejszy do celów modelowania oraz projektowania

(29)

Równania stanu i wyjść

Do wyznaczenia odpowiedzi na określone wymuszenie jednowymiarowego układu opisanego równaniem dynamiki n-tego rzędu, należy zdefiniować początkowy stan układu, czyli n warunków początkowych (n wartości pewnych zmiennych). Pod wpływam wymuszenia wartości tych zmiennych ulegają zmianom, jednoznacznie definiując stan dynamiczny układu w dowolnej chwili.

Ogólna postać równania stanu - zmiany zmiennych stanu z n warunkami początkowymi:







dx₁(t)

dt = f1(x1, x2, . . . , xq; u1, u2, . . . , up; t); x1(t0) = x10

. . .

dxq(t)

dt = f_q(x₁, x₂, . . . , x_q; u₁, u₂, . . . , u_p; t); x_q(t₀) = x_q0

(34)

Ogólna postać równania wyjść







y₁(t) = g₁(x₁, x₂, . . . , x_q; u₁, u₂, . . . , u_p; t) . . .

y_r(t) = g_q(x₁, x₂, . . . , x_q; u₁, u₂, . . . , u_p; t)

(35)

(30)

Zlinearyzowane równania stanu i wyjść

Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego punktu pracy - {x₀, y₀}), równania przyjmują postać:

Zlinearyzowana postać równania stanu











d ∆x1(t) dt =Pq

i =1

_∂f

1(t)

∂x_i

0∆xi+Pp j =1

_∂f

1(t)

∂u_j

0∆uj

. . .

d ∆x_q(t) dt =Pq

i =1

_∂f

q(t)

∂xi

0

∆x_i+Pp j =1

_∂f

q(t)

∂uj

0

∆u_j

(36)

Zlinearyzowana postać równania wyjść











∆y₁=Pq i =1

_∂g

1(t)

∂xi

0

∆x_i+Pp j =1

_∂g

1(t)

∂uj

0

∆u_j . . .

∆yq=Pq i =1

_∂g

q(t)

∂x_i

0∆xi+Pp j =1

_∂g

q(t)

∂u_j

0∆uj

(37)

(31)

Postać macierzowa modelu zmiennych stanu

Macierzowa postać równań stanu i wyjść

X (t) = A˙ _NL(X , U, t)

Y (t) = C_NL(X , U, t) (38)

Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść

X (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t)˙

Y (t) = C (t)X (t) + D(t)U(t) (39) gdzie: A(t) ∈ R^q×q - macierz stanu, B(t) ∈ R^q×p - macierz wejść, C (t) ∈ R^{r ×q} - macierz wyjść, D(t) ∈ R^{r ×p} - macierz przenoszenia (transmisyjna).

Przejście z zapisu macierzowego do zapisu transmitancyjnego G (s) = C [sI − A]⁻¹B + D (40)

(32)

Równania stanu układów liniowych

Układ niestacjonarny

Układ niestacjonarny to układ, którego wyjście zależy wprost od czasu - parametry układu zależą od czasu.

Układ stacjonarny

Układ stacjonarny to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu.

(33)

Przestrzeń stanów

Rysunek 11 : Trajektoria fazowa - przykład

Przestrzeń stanów, przestrzeń fazowa

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X (t) w chwilach t tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową).

trajektoria stanu

Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu (trajektorią fazową).

(34)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Ogólna postać równania transmitancji układu liniowego:

G (s) = b_ms^m+ b_m−1s^m−1+ · · · + b₀ sⁿ+ an−1sⁿ⁻¹+ · · · + a0

, n > m (41)

Dzieląc licznik i mianownik (34) przez sⁿ

G (s) = bms^m−n+ bm−1s^m−1−n+ · · · + b0s⁻ⁿ

1 + an−1s⁻¹+ · · · + a0s⁻ⁿ (42) Wprowadzając zmienną E (s) następująco

G (s) = Y (s)E (s)

E (s)U(s) (43)

Y (s)

E (s) = 1

1 + a_n−1s⁻¹+ · · · + a₀s⁻ⁿ (44) E (s)

= b s^m−n+ b s^m−1−n+ · · · + b s⁻ⁿ (45)

(35)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Otrzymane równania

E (s) = −a₀s⁻ⁿE (s) − · · · − a_n−1s⁻¹E (s) + U(s) (46)

Y (s) = b₀s⁻ⁿE (s) + · · · + b_m−1s^m−1−nE (s) + b_ms^m−nE (s) (47) Przyjmując fazowe zmienne stanu i równania stanu w postaci

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = x3(t) . . .

˙

xn(t) = e(t)











(48)

gdzie

e(t) = L⁻¹[E (s)] (49)

(36)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Po przekształceniu Laplace’a

sx₁(s) = x₂(s) sx₂(s) = x₃(s)

. . . sx_n(s) = E (s)











(50)

Tak więc po uwzględnieniu zapisu w postaci zmiennych fazowych w przestrzeni zmiennych zespolonych S otrzymuje się

E (s) = −a0x1(s) − · · · − an−1xn(s) + U(s) (51)

Y (s) = b0x1(s) + · · · + bm−1xm(s) + bmxm+1(s) (52) odpowiednio w dziedzinie czasu

e(t) = −a0x1(t) − · · · − an−1xn(t) + u(t) (53)

u(t) = b x (t) + · · · + b x (t) + b x (t) (54)

(37)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Równania stanu

˙

x₁(t) = x₂(t)

˙

x₂(t) = x₃(t) . . .

˙

xn(t) = −a0x1(t) − · · · − an−1xn(t) + u(t)











(55)

Macierze równań stanu mają więc postać:

A =







0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

. . .

−a0 −a1 −a2 . . . −an−1







n×n

, B =





 0 0 . . .

1







n×1

(56)

C =

b₀ b₁ . . . b_m . . . 0

1×n, D = [0]_1×1

(38)

Równania stanu - element oscylacyjny

Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω²₀

s²+ 2ξω₀s + ω²₀ (57) lub w dziedzinie czasu

u(t)kω₀²= d²y (t)

dt² +dy (t)

dt 2ξω₀+ y (t)ω₀² (58) Powyższy układ jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x₂(t) = −ω₀x₁(t) − 2ξω₀x₂(t) + u(t) (59) równanie wyjścia

(39)

Równania stanu - element oscylacyjny

Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść dla elementu oscylacyjnego

X (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t)˙

Y (t) = C (t)X (t) + D(t)U(t) (61) gdzie:

X (t) =

x1(t) x2(t)

, Y (t) =

y (t) , U(t) = u(t) (62)

A =

0 1

−ω²₀ −2ξω₀²

, B =

0 1

, C =

kω²₀ 0 , D = [0] (63)

(40)