Podstawy Automatyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

(2)

Wstęp

Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p.

turbulencje,

wiele stanów stabilnych, histereza,

straty energii w wyniku tarcia.

W praktyce, dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się li- nearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego zjawiska, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na charaktery- styce statycznej - punkt ten odpowiada najczęściej nominalnym lub uśred- nionym warunkom pracy układu.

Stosowany aparat matematyczny:

opis zjawiska w postaci równań różniczkowych, linearyzacja modelu,

rachunek operatorowy- transmitancja operatorowa.

(3)

Metody opisu działania elementów (układów) liniowych

Podstawowymi formami matematycznego opisu zjawiska (układu) stoso- wanymi w automatyce są:

równanie dynamiki, transmitancja operatorowa, równania stanu.

W przypadku elementu (układu) o jednym sygnale wejściowym x (t) i jed- nym sygnale wyjściowym y (t) równanie dynamiki wyraża związek zacho- dzący pomiędzy sygnałem wyjściowym y (t) i sygnałem wejściowym x (t).

Rysunek 1:Proces - przyczynowo-skutkowy ciąg zdarzeń

(4)

Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki

Zasada superpozycji:

f (x1+ x2) = f (x1) + f (x2), and f (0) = 0 (1) przestrzeń rozwiązań równania spełniającego zasadę superpozycji (1) jest przestrzenią liniową.

Jednorodność (implikuje niezmienność skalowania):

FInkcja f (x , y ) jest jednorodna w stopniu k jeżeli

f (βx , βy ) = β^kf (x , y ), and f (0) = 0. (2) gdzie: β - stały współczynnik.

Układ liniowy

Układ opisany funkcją jednorodną, w którym zachowana jest zasada superpozycji.

Układ nieliniowy

Układ, w którym nie jest zachowana jest zasada superpozycji i/lub nie jest opisany funkcją jednorodną.

(5)

Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki

Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:

an

dⁿy dtⁿ+ an−1

dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+ · · · + a0y = bm

d^mx dt^m + bm−1

d^m−1x

dt^m−1+ · · · + b0x (3) gdzie: y - sygnał wyjściowy, x - sygnał wejściowy, ai, bi - stałe współczyn- niki.

Posługując się przykładami kilku elementów elementów rozważmy pojęcia:

sygnał, wielkość wejściowa, wielkość wyjściowa, sygnał wejściowy, sygnał wyjściowy, równanie dynamiki.

(6)

Elementy bezinercyjne

Rysunek 2:Element bezinercyjny - dzielnik napięcia

Sygnał wejściowy x (t) - przebieg napięcia U1(t).

Sygnałem wyjściowy y (t) - przebieg napięcia U2(t).

Równanie dynamiki - zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym systemu:

U₂(t) = R₂ R1+ R2

U₁(t) (4)

Równanie elementu bezinercyjnego

y (t) = kx (t) (5)

(7)

Elementy inercyjne

Rysunek 3:Elementy inercyjne - przykłady a) _αRΘ^V ^dp_dt²^(t) + p2(t) = p1(t) b) _R^J^{d ω(t)}_dt + ω(t) = _R¹M(t) c) _R^L^dU_dt²^(t) + U2(t) = U1(t) Równanie elementu inercyjnego

Tdy (t)

dt + y (t) = kx (t) (6)

(8)

Charakterystyka statyczna

Charakterystyka statyczna fst przed- stawia zależność sygnału wyjścio- wego układu y od sygnału wejścio- wego x w stanie ustalonym.

Stan ustalony

Stanem ustalonym nazywamy jest stan, w którym wszystkie pochodne sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego są równe zero

Rysunek 4:Charakterystyka statyczna układu liniowego.

(9)

Linearyzacja

Tworzenie opisu liniowego na podstawie opisu nieliniowego nazywa się li- nearyzacją.

Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań algebraicznych na- zywa się linearyzacją statyczną. (brak pochodnych)

Metody linearyzacji statycznej

linearyzacja metodą siecznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym w określonym przedziale zmian zmiennej niezależnej.

linearyzacja metodą stycznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym dla określonej wartości zmiennej niezależnej, a więc i określonej wartości zmiennej zależnej.

Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań różniczkowych nazywa się linearyzacją dynamiczną.

(10)

Linearyzacja statyczna

Rysunek 5:Linearyzacja statyczna; a) metoda siecznej, b) metoda stycznej.

Ponieważ w automatyce rozważa się zachowanie układów w otoczeniu okre- ślonego punktu pracy, w dalszych rozważaniach przydatna jest linearyzacja metodą stycznej.

(11)

Linearyzacja metodą stycznej

Przeprowadzony proces linearyzacji metodą stycznej polega na : zastąpieniu krzywej, reprezentującej nieliniową zależność y = f (x ) styczną do niej w punkcie pracy,

przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy, zastąpieniu w modelu matematycznym zmiennych absolutnych x i y odchyleniami tych zmiennych od punktu pracy - zmiennymi

przyrostowymi ∆x i ∆y .

Charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie równania zli- nearyzowanego względem określonego punktu pracy jest funkcją li- niową.

Można ją także wyznaczyć linearyzując charakterystykę rzeczywistą wzglę- dem tego samego punktu pracy

(12)

Linearyzacja statyczna

Przykład [do samodzielnego rozwiązania]

Wyznaczyć zlinearyzowaną funkcję określającą zależność strumienia masy Q cieczy przepływającej przez zawór od ciśnień p₁i p₂oraz od odległości x grzybka od gniazda zaworu.

Q = απd · xp

2ρ(p1− p2) (7)

Rysunek 6:Przykład układu (zawór).

(13)

Linearyzacja dynamiczna - przykład

Funkcja niejednorodna (nie jest liniowa)

y = mx + b (8)

Przyjmując punkt pracy - {x₀, y₀}, y₀= f (x₀)

Rozwinięcie w szereg Taylora w punkcie pracy ma postać y = f (x ) = f (x0) +df

dx|x =x₀

(x − x0) 1! +d²f

dx²|x =x₀

(x − x0)²

2! + ... (9) Prosta styczna (pierwsza pochodna rozwinięcia) w punkcie pracy {x0, y0} jest dobrą aproksymacją w małym zakresie zmian argumentu funkcji (wiel- kości wejściowej).

Tak więc

y = f (x₀) +df

dx|_{x =x}₀(x − x₀) = y₀+ m(x − x₀) (10) i ostatecznie

y − y0= m(x − x0) → ∆y = m∆x (11)

(14)

Linearyzacja dynamiczna

Przykład równania różniczkowego, będącego nieliniową zależnością pomię- dzy funkcjami x (t) i y (t) i ich pochodnymi.

F [y (t), ˙y (t), ¨y (t), . . . , y⁽ⁿ⁾(t), x (t), ˙x (t), ¨x (t), . . . , x^(m)(t)] = 0 (12) Podczas linearyzacji dynamicznej funkcje x (t) i y (t), oraz ich pochodne traktuje się analogicznie jak zmienne funkcji uwikłanej.

n

X

i =0

( ∂F

∂y^{(i )}

y₀^{(i )}

∆y^{(i )} )

+

m

X

j =0

( ∂F

∂x^{(j )}

x^{(j )}₀

∆x^{(j )} )

= 0 (13)

gdzie:

∆y = y (t) − y0, ∆y⁽¹⁾= d ∆y

dt , . . . , ∆y⁽ⁿ⁾= dⁿ∆y dtⁿ

∆x = x (t) − x0, ∆x⁽¹⁾= d ∆x

dt , . . . , ∆x^(m)= d^m∆x dt^m

(15)

Przekształcenie Laplacea

Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową - przejście z dziedziny czasu rzeczywistego t na dziedzinę zmiennej zespolonej s.

f (t) ⇔ f (s), gdzie s = c + j ω (14) gdzie: c - współczynnik części rzeczywistej, ω - współczynnik części uro- jonej.

Przekształcenie Laplace’a

f (s) = L[f (t)] =

∞

Z

0

f (t)e^−stdt (15)

Odwrotne przekształcenie Laplace’a - całka Riemanna – Mellina

f (t) = L⁻¹[f (s)] = 1 2πj

c+j ω

Z

c−j ω

F (s)e^stds (16)

(16)

Przekształcenie Laplacea

Przekształcenie Laplace’a, nazywane też transformatą Laplace’a, wykorzy- stywana jest w automatyce do analizy układów. Jako narzędzie analizy gra- ficznej wykorzystywana jest płaszczyzna zespolona S , na której mnożenie przez s daje efekt różniczkowania a dzielenie przez s całkowania.

Analiza pierwiastków zespolonych równania liniowego, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu.

(17)

Przekształcenie Laplace’a układów liniowych

Transformatę Laplace’a dla danej funkcji można wyznaczyć, jeżeli są speł- nione następujące warunki:

f (t) ma w każdym przedziale skończonym wartość skończoną, f (t) ma pochodną ^{df (t)}_dt w każdym przedziale skończonym, istnieje zbiór liczb rzeczywistych C , dla których całka

∞

R

0

e^−ct jest absolutnie zbieżna.

(18)

Przekształcenie Laplace’a układów liniowych

Dla ogólnej postaci równania różniczkowego układu liniowego a_ndⁿy

dtⁿ+a_n−1dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+· · ·+a₀y = b_md^mx

dt^m+b_m−1d^m−1x

dt^m−1+· · ·+b₀x (17) wykorzystuje się twierdzenie o transformacie pochodnych:

L dⁿy dtⁿ

= sⁿy (s) − sⁿ⁻¹y (0⁺) − · · · − yⁿ⁻¹(0⁺) (18) której wartość przy zerowych warunkach początkowych przyjmuje postać

L dⁿy dtⁿ

= sⁿy (s) (19)

Tak więc przekształcenie Laplace’a układu (17) przy zerowych warunkach początkowych przyjmuje postać

y (s)(a_nsⁿ+a_n−1sⁿ⁻¹+· · ·+a₀) = x (s)(b_ms^m+b_m−1s^m−1+· · ·+b₀) (20)

(19)

Transmitancja operatorowa

Transmitancja operatorowa G (s) to stosunek transformaty sygnału wyj- ściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych

y (s)(a_nsⁿ+a_n−1sⁿ⁻¹+· · ·+a₀) = x (s)(b_ms^m+b_m−1s^m−1+· · ·+b₀) (21)

G (s) = y (s)

x (s) =b_ms^m+ b_m−1s^m−1+ · · · + b₀ ansⁿ+ an−1sⁿ⁻¹+ · · · + a0

(22) przyjmuje się następujące oznaczenia oznaczenia

Licznik

M(s) = bms^m+ bm−1s^m−1+ · · · + b0 (23) Mianownik - tzw. równanie charakterystyczne

N(s) = ansⁿ+ an−1sⁿ⁻¹+ · · · + a0 (24)

(20)

Wyznaczanie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej

x0= lim

t→∞x (t), y0= lim

t→∞y (t), (25)

na podstawie twierdzenia o wartości końcowej y0= lim

t→∞y (t) = lim

s→0sy (s) = lim

s→0sG (s)x (s) (26) Dla wejścia w postaci skoku jednostkowego

x0= const ⇒ x (s) =1

sx0 (27)

y0

x0

= lim

s→0G (s) (28)

ostatecznie

y0=b0

a₀x0 (29)

(21)

Właściwości układów

Właściwości dynamiczne

prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej y (t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia x (t)

Rysunek 7:Przykładowe postać charakterystyki dynamicznej układu.

(22)

Metody wyznaczania odpowiedzi układu dynamicznego

an

dⁿy dtⁿ+an−1

dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹+· · ·+a0y = bm

d^mx dt^m+bm−1

d^m−1x

dt^m−1+· · ·+b0x (30) Klasyczna:

Założenie warunków początkowych x (0), y (0) Rozwiązanie równań różniczkowych

Operatorowa:

f (t) = L⁻¹[y (s)] = L⁻¹[G (s)x (s)] (31) W zastosowaniach praktycznych do wykonywania transformacji prostej i odwrotnej, które są podstawowymi operacjami w rachunku operatorowym, zwykle nie zachodzi potrzeba wykorzystywania wzorów definicyjnych. Naj- częściej wystarczy znajomość podstawowych własności przekształceń La- place’a i tablice transformat typowych funkcji zmiennej rzeczywistej.

(23)

Typowe sygnały wymuszające

Wymuszenie skokowe jednostkowe (funkcja Heaveside’a)

x (t) =

1(t) dla t 0 0 dla t < 0

x (s) =1 s

Wymuszenie skokowe o wartość stałą

x (t) =

xst1(t) dla t 0 0 dla t < 0

x (s) = xst

1 s

Impuls - Delta Diraca

x (t) = δ(t) =

0 dla t 6= 0

∞ dla t = 0

x (s) = 1

Wymuszenie liniowo narastające

x (t) = at x (s) = a

s²

(24)

Transmitancja operatorowa obiektów MIMO

Rysunek 8:Obiekt MIMO.

Zapis wejść (p) i wyjść (r ) w postaci wektorów

U(s) =





 u1(s) u2(s)

... up(s)







p

, Y (s) =





 y1(s) y2(s)

... yr(s)







r

(32)

(25)

Transmitancja operatorowa obiektów MIMO

Rysunek 9:Obiekt MIMO.

G_MIMO(s) = Y (s) U(s) =







G₁₁(s) G₁₂(s) . . . G_2p(s) G₂₁(s) G₂₂(s) . . . G_2p(s)

... ... ... ... Gr 1(s) Gr 2(s) . . . Grp(s)







r ×p

(33)

G_ij(s) = y_i(s)

uj(s), gdzie i = 1, . . . , r , j = 1, . . . , p. (34)

(26)

Współrzędne stanu (zagadnienie dodatkowe)

Współrzędne stanu

Współrzędne stanu to wielkości charakteryzujące zachowanie się układu dynamicznego, opisujące jego stan (np. położenie, prędkość, przyspiesze- nie).

Wektor stanu

Wektor stanu układu dynamicznego to minimalny zbiór współrzędnych stanu wystarczający łącznie ze znajomością wielkości wejściowych do okre- ślenia zachowania się układu w przyszłości.

Liczba współrzędnych stanu jest równa rzędowi równania różniczkowego opisującego obiekt.

Opis układów we współrzędnych stanu jest trudniejszy do interpretacji fizycznej niż opis w postaci transmitancji i niemożliwy do bezpośredniego określenia na drodze pomiarowej. Jest jednak wygodniejszy do celów mo- delowania oraz projektowania wielowymiarowych układów sterowania i regulacji.

(27)

Równania stanu i wyjść

Do wyznaczenia odpowiedzi na określone wymuszenie jednowymiarowego układu opisanego równaniem dynamiki n-tego rzędu, należy zdefiniować początkowy stan układu, czyli n warunków początkowych (n wartości pew- nych zmiennych). Pod wpływam wymuszenia wartości tych zmiennych ule- gają zmianom, jednoznacznie definiując stan dynamiczny układu w dowolnej chwili.

Ogólna postać równania stanu - zmiany zmiennych stanu z n warunkami początkowymi:







dx₁(t)

dt = f₁(x₁, x₂, . . . , x_q; u₁, u₂, . . . , u_p; t); x₁(t₀) = x₁₀ . . .

dxq(t)

dt = f_q(x₁, x₂, . . . , x_q; u₁, u₂, . . . , u_p; t); x_q(t₀) = x_q0

(35)

Ogólna postać równania wyjść







y1(t) = g1(x1, x2, . . . , xq; u1, u2, . . . , up; t) . . .

yr(t) = gq(x1, x2, . . . , xq; u1, u2, . . . , up; t)

(36)

(28)

Zlinearyzowane równania stanu i wyjść

Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego punktu pracy - {x₀, y₀}), równania przyjmują postać:

Zlinearyzowana postać równania stanu











d ∆x1(t) dt =Pq

i =1

_∂f

1(t)

∂x_i

0∆xi+Pp j =1

_∂f

1(t)

∂u_j

0∆uj

. . .

d ∆xq(t) dt =Pq

i =1

_∂f

q(t)

∂x_i

0

∆x_i+Pp j =1

_∂f

q(t)

∂u_j

0

∆u_j

(37)

Zlinearyzowana postać równania wyjść











∆y1=Pq i =1

_∂g

1(t)

∂xi

0∆xi+Pp j =1

_∂g

1(t)

∂uj

0∆uj

. . .

∆y_q=Pq i =1

_∂g

q(t)

∂x_i

0

∆x_i+Pp j =1

_∂g

q(t)

∂u_j

0

∆u_j

(38)

(29)

Postać macierzowa modelu zmiennych stanu

Macierzowa postać równań stanu i wyjść

X (t) = A˙ NL(X , U, t)

Y (t) = CNL(X , U, t) (39)

Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść

X (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t)˙

Y (t) = C (t)X (t) + D(t)U(t) (40) gdzie: A(t) ∈ R^q×q - macierz stanu, B(t) ∈ R^q×p - macierz wejść, C (t) ∈ R^{r ×q} - macierz wyjść, D(t) ∈ R^{r ×p} - macierz przenoszenia (transmisyjna).

Przejście z zapisu macierzowego do zapisu transmitancyjnego G (s) = C [sI − A]⁻¹B + D (41)

(30)

Równania stanu układów liniowych

Układ niestacjonarny

Układ niestacjonarny to układ, którego wyjście zależy wprost od czasu - parametry układu zależą od czasu.

Układ stacjonarny

Układ stacjonarny to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu.

Rysunek 10:Schemat blokowy układu linowych równań stacjonarnych

(31)

Przestrzeń stanów

Rysunek 11:Trajektoria fazowa - przykład

Przestrzeń stanów, przestrzeń fazowa

Zbiór wszystkich możliwych warto- ści wektora stanu X (t) w chwilach t tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową).

trajektoria stanu

Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajek- torią stanu układu (trajektorią fa- zową).

(32)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Ogólna postać równania transmitancji układu liniowego:

G (s) = b_ms^m+ b_m−1s^m−1+ · · · + b₀ sⁿ+ an−1sⁿ⁻¹+ · · · + a0

, n > m (42)

Dzieląc licznik i mianownik (32) przez sⁿ

G (s) = bms^m−n+ bm−1s^m−1−n+ · · · + b0s⁻ⁿ

1 + an−1s⁻¹+ · · · + a0s⁻ⁿ (43) Wprowadzając zmienną E (s) następująco

G (s) = Y (s)E (s)

E (s)U(s) (44)

Y (s)

E (s) = 1

1 + a_n−1s⁻¹+ · · · + a₀s⁻ⁿ (45) E (s)

U(s) = b_ms^m−n+ b_m−1s^m−1−n+ · · · + b₀s⁻ⁿ (46)

(33)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Otrzymane równania

E (s) = −a0s⁻ⁿE (s) − · · · − an−1s⁻¹E (s) + U(s) (47)

Y (s) = b0s⁻ⁿE (s) + · · · + bm−1s^m−1−nE (s) + bms^m−nE (s) (48) Przyjmując fazowe zmienne stanu i równania stanu w postaci

˙

x₁(t) = x₂(t)

˙

x₂(t) = x₃(t) . . .

˙

xn(t) = e(t)











(49)

gdzie

e(t) = L⁻¹[E (s)] (50)

(34)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Po przekształceniu Laplace’a

sx₁(s) = x₂(s) sx₂(s) = x₃(s)

. . . sx_n(s) = E (s)











(51)

Tak więc po uwzględnieniu zapisu w postaci zmiennych fazowych w przestrzeni zmiennych zespolonych S otrzymuje się

E (s) = −a0x1(s) − · · · − an−1xn(s) + U(s) (52)

Y (s) = b0x1(s) + · · · + bm−1xm(s) + bmxm+1(s) (53) odpowiednio w dziedzinie czasu

e(t) = −a0x1(t) − · · · − an−1xn(t) + u(t) (54)

u(t) = b0x1(t) + · · · + bm−1xm(t) + bmxm+1(t) (55)

(35)

Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia

Równania stanu

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = x3(t) . . .

˙

xn(t) = −a0x1(t) − · · · − an−1xn(t) + u(t)











(56)

Macierze równań stanu mają więc postać:

A =







0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

. . .

−a0 −a1 −a2 . . . −an−1







n×n

, B =





 0 0 . . .

1







n×1

(57)

C =

b₀ b₁ . . . b_m . . . 0

1×n, D = [0]_1×1

(36)

Równania stanu - element oscylacyjny

Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω²₀

s²+ 2ξω0s + ω²₀ (58) lub w dziedzinie czasu

u(t)kω₀²= d²y (t)

dt² +dy (t)

dt 2ξω0+ y (t)ω₀² (59) Powyższy układ jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu

˙

x1(t) = x2(t)

˙

x2(t) = −ω0x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (60) równanie wyjścia

y (t) = kω₀x₁(t) (61)

(37)

Równania stanu - element oscylacyjny

Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść dla elementu oscylacyjnego

X (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t)˙

Y (t) = C (t)X (t) + D(t)U(t) (62) gdzie:

X (t) =

x1(t) x2(t)

, Y (t) =

y (t) , U(t) = u(t) (63)

A =

0 1

−ω²₀ −2ξω₀²

, B =

0 1

, C =

kω²₀ 0 , D = [0] (64)

(38)