Podstawy Automatyki Wykład 8 - Jakość układu regulacji. dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 8 - Jakość układu regulacji.

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2016

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

(2)

Jakość układu regulacji

Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane są dodatkowe wymagania związane z zachowaniem się układu w stanach przejściowych (dynamicznych) i w stanach ustalonych, określane ogólnie jako wymagania dotyczące jakości układu regulacji.

Wymagania odnoszące się do przebiegu procesów przejściowych w ukła- dach regulacji określane są za pomocą szeregu wskaźników, nazywanych ogólnie kryteriami (wskaźnikami) jakości dynamicznej układu regulacji.

Wymagania dotyczące stanów ustalonych formułuje się przez określenie tzw. dokładności statycznej układu regulacji – dopuszczalnych wartości odchyłek regulacji w stanach ustalonych.

(3)

Jakość układu regulacji

Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji.

e(t) = e_z(t) + e_w(t), (1) gdzie

e_z(t) - odchyłka wywołana zakłóceniem,

ew(t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej)

e(t) = ym(t) − w (t), (2)

(4)

Regulatory

(5)

Jakość układu regulacji

Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji.

(6)

Odchyłka zakłóceniowa

Odchyłki statyczne spowodowane zakłóceniem

Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia Gz(s) = ∆ym(s)

z(s) =ez(s)

z(s) = ±Gz(s)Gob(s)

1 + Gob(s)Gr(s) (3) ez(s) = ∆ym(s) = ±Gz(s)Gob(s)

1 + G_ob(s)G_r(s)z(s) (4) Odchyłka statyczna względem zakłócenia:

ezst.= lim

t→∞ez(t) = lim

s→0s · ez(s) (5)

ezst.= lim

s→0s · ±Gz(s)Gob(s)

1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (6)

(7)

Odchyłka nadążania

(8)

Odchyłka nadążania

(9)

Odchyłka nadążania

Odchyłki statyczne spowodowane zmianą wartości zadanej

Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej G_ew(s) = e_w(s)

∆w (s) = −1

1 + Gob(s)Gr(s) (7) ew(s) = −1

1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (8) Odchyłka statyczna względem wartości zadanej

ewst.= lim

t→∞ew(t) = lim

s→0s · ew(s) (9) ewst.= lim

s→0s · −1

1 + G_ob(s)G_r(s)∆w (s) (10)

(10)

Odchyłki - przykład

Wyznaczyć odchyłki statyczne w układzie regulacji pokazanym na rysunku, wywołane zakłóceniem z(t) = 2 oraz zmianą wartości zadanej ∆w (t) = 5, w przypadku zastosowania:

regulatora P regulatora PD regulatora PI

(11)

Odchyłki - przykład

Transmitancja

Gob(s) = k_ob

(Ts + 1)⁴ (11)

Regulator P

G_r(s) = k_p (12)

Regulator PD

Gr(s) = kp(1 + Tds) (13) Regulator PI

Gr(s) = kp

1 + Tds + 1 T_is

(14) Zakłócenie

z(t) = 2 → z(s) = 2

s (15)

Zmiana wartości zadanej

∆w (t) = 5 → ∆w (s) =5

s (16)

(12)

Odchyłki zakłóceniowe (P) - Przykład

Odchyłki zakłóceniowe:

ezst.= lim

s→0s Gob(s)

1 + G_ob(s)G_r(s)z(s) (17) Regulator P

ezst.P = lims→0s G_ob(s) 1 + Gob(s)Gr(s)

2 s =

lims→0

kob

(Ts + 1)⁴· 2 1 + kob

(Ts + 1)⁴kp

= lims→0

kob· 2 (Ts + 1)⁴+ kob· kp

(18)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora P ezst.P = k_ob· 2

1 + kobkp

(19)

(13)

Odchyłki zakłóceniowe (PD) - Przykład

e_zst.= lim

t→∞e_z(t) = lim

s→0s Gob(s)

1 + G_ob(s)G_r(s)z(s) (20) Regulator PD

ezst.PD = lims→0

kob

(Ts + 1)⁴· 2 1 + k_ob

(Ts + 1)⁴kp(1 + Tds)

=

= lims→0

kob· 2

(Ts + 1)⁴+ k_ob· k_p(1 + T_ds)

(21)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PD e_zst.PD= k_ob· 2

1 + kobkp

(22)

(14)

Odchyłki zakłóceniowe (PI) - Przykład

ezst.= lim

s→0s Gob(s)

1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (23) Regulator PI

ezst.PI = lims→0

k_ob (Ts + 1)⁴· 2 1 + kob

(Ts + 1)⁴kp(1 + 1 T_is)

=

= lim_s→0 k_ob· 2

(Ts + 1)⁴+ kob· kp(1 + 1 Tis)

= 0

(24)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PI

ezst.PI = 0 (25)

(15)

Odchyłki zakłóceniowe (podsumowanie) - Przykład

Podsumowanie

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora P e_zst.P = k_ob· 2

1 + kobkp

(26)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PD ezst.PD= k_ob· 2

1 + kobkp

(27)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PI

ezst.PI = 0 (28)

(16)

Odchyłki wymuszeniowe (P) - Przykład

Odchyłki wymuszeniowe:

ewst.= lim

s→0s −1

1 + G_ob(s)G_r(s)∆w (s) (29) Regulator P

e_wst.P = lim

s→0s −1

1 + G_ob(s)k_p 5 s = lim

s→0

−5 1 + kob

(Ts + 1)⁴kp

= −5

1 + k_obk_p (30)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora P e_wst.P = −5

1 + kobkp

(31)

(17)

Odchyłki wymuszeniowe (PD) - Przykład

ewst.= lim

s→0s −1

1 + G_ob(s)G_r(s)∆w (s) (32) Regulator PD

ewst.PD = lims→0s −1

1 + G_ob(s)k_p(1 + T_ds) 5 s

= lim_s→0 −5

1 + k_ob

(Ts + 1)⁴k_p(1 + T_ds)

= −5

1 + kobkp

(33)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PD ewst.PD = −5

1 + kobkp

(34)

(18)

Odchyłki wymuszeniowe (PI) - Przykład

e_wst.= lim

t→∞e_z(t) = lim

s→0s −1

1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (35) Regulator PI

e_wst.PI = lim_s→0s −1 1 + G_ob(s)k_p

1 + 1

Tis

5 s

= lim_s→0 −5

1 + k_ob (Ts + 1)⁴k_p

1 + 1

Tis

= 0

(36)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PI

ewst.PI = 0 (37)

(19)

Odchyłki wymuszeniowe (podsumowanie) - Przykład

Podsumowanie

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora P e_wst.P = −5

1 + k_obk_p (38)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PD ewst.PD = −5

1 + kobkp

(39)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PI

ewst.PI = 0 (40)

(20)

Odchyłki - Przykład

Wnioski:

W układzie z obiektem statycznym i regulatorem o algorytmie P lub PD występują niezerowe odchyłki statyczne zarówno zakłóceniowe jak i nadążania proporcjonalne odpowiednio do wartości zakłócenia lub zmiany wartości zadanej.

Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego regulatora P lub PD zmniejsza wartość odchyłek statycznych. Zmniejszenie odchyłki statycznej przez zwiększenie wzmocnienia jest zwykle ograniczone ze względu na warunki stabilności układu. (Układ z regulatorem PD osiąga granicę stabilności przy większym

wzmocnieniu regulatora niż w przypadku układu z regulatorem P.) Akcja całkująca występująca w regulatorze zapewnia zerowe odchyłki statyczne przy stałych wartościach zakłócenia lub stałych zmianach wartości zadanej

(21)

Jakość dynamiczna

W praktyce wykorzystuje się różne wskaźniki jakości dynamicznej:

wskaźniki dotyczące parametrów odpowiedzi skokowych - wskaźniki przebiegu przejściowego,

wskaźniki dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji - zapasy modułu i fazy,

całkowe wskaźniki jakości.

(22)

Wskaźniki przebiegu przejściowego

Do oceny przebiegów przejściowych wykorzystywane są wskaźniki:

statyczna odchyłka zakłóceniowa: ezst.

statyczna odchyłka nadążania: ewst.

maksymalna odchyłka dynamiczna: e_m- maksymalna wartość odchyłki regulacji po wprowadzeniu zakłócenia skokowego lub skokowej zmiany wartości zadanej.

czas regulacji: t_r - czas od chwili wprowadzenia skokowego zakłócenia lub wymuszenia do chwili, od której odchyłka regulacji nie wykracza poza przedział wartości ±∆e .

przeregulowanie: κ = e2

e₁· 100% - wyrażony w procentach stosunek amplitudy drugiego odchylenia e2od wartości ustalonej do amplitudy pierwszego odchylenia e₁.

(23)

Odpowiedzi oscylacyjne na zakłócenie skokowe

Rysunek :Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

(24)

Odpowiedzi aperiodyczne na zakłócenie skokowe

Rysunek :Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

(25)

Odpowiedzi oscylacyjne na wymuszenie skokowe

Rysunek :Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

(26)

Odpowiedzi aperiodyczne na wymuszenie skokowe

Rysunek :Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

(27)