Podstawy Automatyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2015

(2)

Wstęp

Stabilność - definicja 1

O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi (rozpatrywanego punktu pracy P) powraca do niej (do pewnego stanu K ) po ustaniu działania czynników (zakłóceń z), które go z tego stanu wytrąciły.

Stabilność - definicja 2

O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie) o ograniczonej wartości jest ograniczona.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

(3)

Wstęp

W przypadku układów liniowych, zachowanie się układu po zaniku oddziaływania, które wytrąciło go ze stanu równowagi, jest cechą charakterystyczną danego układu i nie zależy od przebiegu oddziaływania przed jego zanikiem. (łatwa analiza)

W przypadku układów nieliniowych, ich zachowanie pod wpływem wymuszeń i po ich zaniku może zależeć od punktu pracy układu oraz od rodzaju i wielkości wymuszeń. (trudna analiza)

(4)

Stabilność

Możliwe są trzy rodzaje zachowań układów po wytrąceniu ze stanu równowagi:

1 Układ powraca do stanu równowagi w punkcie pracy zajmowanym przed wytrąceniem go ze stanu równowagi - układ stabilny asymptotycznie,

2 Układ osiąga stan równowagi w innym punkcie pracy niż początkowy - układ stabilny nieasymptotycznie,

3 Układ nie osiąga stanu równowagi - układ niestabilny; szczególnym przypadkiem takiego zachowania jest wykonywanie przez układ oscylacji o stałej amplitudzie - układ na granicy stabilności.

Rysunek 1 : a) niestabilny, b) stabilny asymptotycznie, c) stabilny nieasymptotycznie

(5)

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe

Wymuszenie impulsowe jest najprostszym przypadkiem wymuszenia, pozwalającego określić stabilność liniowego układu dynamicznego.

Impuls - Delta Diraca

x (t) = δ(t) =

0 dla t 6= 0

∞ dla t = 0 (1)

x (s) = 1 (2) Odpowiedź na wymuszenie skokowe wyznacza się korzystając z zależności y (t)|_u(t)=δ= g (t) = L⁻¹{G (s)} (3)

(6)

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe

Wybrane orginały trasformat Laplace’a po wymuszeniu impulsowym, przydatne do dalszej analizy są następujące.

L⁻¹ 1 s

= 1(t) (4)

L⁻¹ 1 s²

= t (5)

L⁻¹

1

s ± α

= e^∓αt (6)

L⁻¹

1

(s ± α)²

= te^∓αt (7) oraz

L⁻¹

As + B s²+ Cs + D

= Ae^C²^tcos(t r

D −C² 4 )+

+ 2B − AC

√4D + C²e^C²^tsin(t r

D −C² 4 )

(8)

jeżeli: C²− 4D < 0.

(7)

Wstęp

Rysunek 2 : Przykładowe odpowiedzi impulsowe układów: 1, 2 – stabilnych nieasymptotycznie, 3, 4 - stabilnych asymptotycznie, 5, 6 – niestabilnych, 7 – układ na granicy stabilności (drgania niegasnące)

(8)

Stabilność

Równanie ruchu liniowego, stacjonarnego układu dynamicznego a_nd⁽ⁿ⁾y (t)

dt⁽ⁿ⁾ + · · · + a₁dy (t)

dt + a₀= b_md^(m)tu(t)

dt^(m) + · · · + b₁du(t)

dt + b₀ (9) Transmitancja

G (s) = Y (s)

U(s) =b_ms^m+ · · · + b₂s²+ b₁s + b₀ ansⁿ+ · · · + a2s²+ a1s + a0

(10)

Odpowiedź impulsowa

y (t)|_u(t)=δ= g (t) = L⁻¹{G (s)} (11)

(9)

Stabilność asymptotyczna

Przypadek 1: Równanie charakterystyczne ma tylko niezerowe pojedyncze pierwiastki rzeczywiste

G (s) = L(s)

a_n(s − s₁)(s − s₂) . . . (s − s_n) (12) Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C1

s − s1

+ C2

s − s2

+ · · · + Cn

s − sn

(13) g (t) = L⁻¹{G (s)} = C1e^s¹^t+ C2e^s²^t+ ... + Cne^sⁿ^t (14)

t→∞lim g (t) = 0 jeżeli s1, . . . , sn< 0 (15)

(10)

Stabliność asymptotyczna

Rysunek 3 : Położenie pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyznie liczb zespolonych s

(11)

Stabilność asymptotyczna

Przypadek 2: Równanie charakterystyczne ma jeden podwójny pierwiastek, a pozostałe są pierwiastki są pojedyncze rzeczywiste niezerowe.

G (s) = L(s)

a_n(s − s₁)²(s − s₃) . . . (s − s_n) (16) Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C1

s − s1

+ C2

(s − s1)²+ C3

s − s3

+ · · · + Cn

s − sn

(17)

g (t) = L⁻¹{G (s)} = C₁e^s¹^t+ C₂te^s¹^t+ C₃e^s³^t+ ... + C_ne^sⁿ^t (18)

t→∞lim g (t) = 0 jeżeli s₁, . . . , s_n< 0 (19) ponieważ (przy s1< 0 funkcja wykładnicza e^s¹^t maleje szybciej niż rośnie zmienna t)

(12)

Stabliność asymptotyczna

(13)

Stabilność nieasymptotyczna

Przypadek 3: Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek zerowy i pozostałe pierwiastki ma niezerowe pojedyncze rzeczywiste

G (s) = L(s)

a_n(s)(s − s₂) . . . (s − s_n) (20) Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C1

s + C2

s − s2

+ · · · + Cn

s − sn

(21) g (t) = L⁻¹{G (s)} = C1+ C2e^s²^t+ ... + Cne^sⁿ^t (22)

t→∞lim g (t) = C1jeżeli s2, . . . , sn< 0 (23)

(14)

Stabliność nieasymptotyczna

(15)

Brak stabilności

Przypadek 4: Równanie charakterystyczne ma dwa (lub więcej) pierwiastki zerowe i pozostałe pierwiastki niezerowe pojedyncze rzeczywiste.

G (s) = L(s)

a_n(s)²(s − s₃) . . . (s − s_n) =C1

s + C2

(s)² + C3

s − s₃ + · · · + Cn

s − s_n (24) Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = L(s)

an(s)²(s − s3) . . . (s − sn) =C₁ s + C₂

(s)² + C₃ s − s3

+ · · · + C_n s − sn

(25) g (t) = L⁻¹{G (s)} = C1+ C2t + C3e^s³^t+ ... + Cne^sⁿ^t (26)

t→∞lim g (t) = ∞ układ jest niestabilny (27)

(16)

Brak stabilności

(17)

Stabilność asymptotyczna (oscylacje)

Przypadek 5: Równanie charakterystyczne ma niezerowe pojedyncze pierwiastki rzeczywiste i pierwiastki zespolone sprzężone - o ujemnych częściach rzeczywistych

x1= a + jb, x2= a − jb (28)

G (s) = L(s)

an(s²− 2as + a²+ b²)(s − s3) . . . (s − sn) (29) po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C1s + C2

(s²− 2as + a²+ b²)+ C3

s − s₃+ · · · + Cn

s − s_n (30) g (t) = L⁻¹{G (s)} = C1e^atcos(bt)+C2+ aC1

b e^atsin(bt)+C3e^s³^t+...+Cne^sⁿ^t (31)

t→∞lim g (t) = 0 jeżeli a < 0, i Re(s3), . . . , Re(sn) < 0 (32)

(18)

Stabilność asymptotyczna (oscylacje)

(19)

Brak stabilności (granica stabliności)

Przypadek 6: Równanie charakterystyczne ma niezerowe pojedyncze pierwiastki rzeczywiste i pierwiastki zespolone sprzężone o zerowych częściach rzeczywistych

x₁= jb, x₂= −jb (33)

G (s) = L(s)

(s²+ b²)(s − s3) . . . (s − sn) (34) po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) = C₁s + C₂ (s²+ b²)+ C₃

s − s3

+ · · · + C_n s − sn

(35)

g (t) = L⁻¹{G (s)} = C₁cos(bt) +C₂

b sin(bt) + C₃e^s³^t+ ... + C_ne^sⁿ^t (36) Jeżeli s3, . . . , sn < 0, to układ jest na granicy stabilności i ustalają się drgania niegasnące.

(20)

Brak stabilności (granica stabliności)

(21)

Stabilność

Reasumując można stwierdzić, że:

Układ jest stabilny asymptotycznie, jeżeli jego równanie charakterystyczne układu ma pierwiastki rzeczywiste ujemne lub zespolone o ujemnych częściach rzeczywistych.

Układ ten jest stabilny nieasymptotycznie jeżeli jego równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków rzeczywistych ujemnych lub o ujemnych częściach rzeczywistych ma jeden pierwiastek zerowy.

Układ ten jest niestabilny jeżeli jego równanie charakterystyczne ma więcej niż jeden pierwiastek zerowy lub pierwiastki rzeczywiste dodatnie lub zespolone o dodatnich częściach rzeczywistych.

Układ jest na granicy stabilności (generuje drgania niegasnące) jeżeli równanie charakterystyczne układu nie ma więcej niż jednego pierwiastka zerowego i nie ma pierwiastków rzeczywistych dodatnich lub zespolonych o dodatnich częściach rzeczywistych, natomiast ma pierwiastki zespolone o zerowych częściach rzeczywistych.

(22)

Stabilność - zadania

Określić stabilność elementów o transmitancjach operatorowych G (s) = 1

2s + 1 (37)

G (s) = 1

2s − 1 (38)

G (s) = 1

2s²+ 3s + 1 (39)

G (s) = kp

1 + 1

Tis

(40) oraz układu o schemacie

(23)

Stabilność - kryteria stabilności

Do oceny stabilności układów liniowych wystarczy znajomość rozkładu pierwiastków równania charakterystycznego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

Problemy, które się pojawiają przy tej metodzie

obliczanie pierwiastków równań wyższych rzędów nie jest łatwe, nie zawsze znane jest równanie charakterystyczne układu.

Inne metody określania stabilności – tzw. kryteria stabilności, które nie wymagają wyznaczania wartości pierwiastków równania

charakterystycznego:

kryteria analityczne (Hurwitza, Routha),

kryteria graficzne (kryterium Michajłowa, metoda Evansa),

kryteria graficzno–analityczne (kryterium Nyquista, metoda rozkładu D).

(24)

Kryterium Hurwitza

Kryterium Hurwitza umożliwia sprawdzenie, czy równanie algebraiczne dowolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki ujemne lub o częściach rzeczywistych ujemnych. Zastosowanie jego ograniczone jest do stacjonarnych liniowych układów o parametrach skupionych (LTI) i transmitancji danej w postaci analitycznej.

Równanie algebraiczne stopnia n o stałych rzeczywistych współczynnikach

an

d⁽ⁿ⁾y (t) dt⁽ⁿ⁾ + an−1

d⁽ⁿ⁻¹⁾y (t)

dt⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a1

dy (t)

dt + a0 (41) ma wszystkie pierwiastki ujemne, lub o ujemnych częściach rzeczywistych, jeżeli są spełnione dwa warunki, zwane warunkami Hurwitza.

1 WARUNEK I: Wszystkie współczynniki a0, a1, . . . , an, tego równania są różne od zera i są jednakowego znaku,

2 WARUNEK 2: Wszystkie wyznaczniki minorów głównych tzw.

macierzy Hurwitza ∆_nsą większe od zera

(25)

Kryterium Hurwitza

Macierz Hurwitza

Macierz Hurwitza ma następującą postać

∆n=

an−1 an 0 − 0 0 0

an−3 an−2 an−1 − 0 0 0 a_n−5 a_n−4 a_n−3 − 0 0 0

− − − − − − −

0 0 0 − a₂ a₃ a₄

0 0 0 − a₀ a₁ a₂

0 0 0 − 0 0 a₀

_n×n

(42)

(26)

Kryterium Hurwitza

Przykład: wyznaczyć macierz Hurwitza dla równania czwartego stopnia a₄s⁴+ a₃s³+ a₂s²+ a₁s + a₀= 0 (43)

∆₄=

a₃ a₄ 0 0 a1 a2 a3 a4

0 a0 a1 a2

0 0 0 a0

(44)

Jego podwyznacznikami głównymi są:

∆₂=

a3 a1

a4 a2

(45)

∆₃=

a₃ a₁ 0 a₄ a₂ a₀

0 a₃ a₁

(46)

(27)

Kryterium Hurwitza - przykład H1

Wyznaczyć zakres wartości wzmocnienia kp, zapewniający stabilną pracę układu.

Gs =

1 (Ts+1)⁴

1 +_(TS+1)¹ 4

= 1

(Ts + 1)⁴+ k_p (47)

Równanie charakterystyczne układu:

(Ts + 1)⁴+ kp= 0 (48)

(28)

Kryterium Hurwitza - przykład H1

Równanie charakterystyczne układu:

(Ts + 1)⁴+ kp= 0 (49)

czyli

T⁴s⁴+ 4T³s³+ 6T²s²+ 4Ts + 1 + k_p= 0 (50) a₄= T⁴, a₃= 4T³, a₂= 6T², a₁= 4T , a₀= 1 + k_p (51) I. warunek Hurwitza będzie spełniony, jeżeli

a0= 1 + kp> 0, czyli gdy kp> −1 (52)

(29)

Kryterium Hurwitza - przykład H1

Macierz Hurwitza

∆4=

a3 a4 0 0 a1 a2 a3 a4

0 a0 a1 a2

0 0 0 a0

=

4T³ 4T 0 0

4T 6T² 4T³ T⁴ 0 1 + kp 4T 6T²

0 0 0 1 + kp

(53)

II. warunek Hurwitza będzie spełniony, jeżeli det(∆2) = det

4T³ 4T 4T 6T²

> 0 (54)

det(∆3) = det





4T³ 4T 0

4T 6T² 4T³ 0 1 + kp 4T



> 0 (55)

(30)

Kryterium Hurwitza - przykład H1

det(∆2) = 24T⁵− 4T⁵= 20T⁵> 0 (56) det(∆3) = 96T⁶− 16T⁶− 16T⁶kp− 16T⁶= 64T⁶− 16T⁶kp> 0 (57) czyli z II warunku Hurwitza

kp< 4 (58)

I. i II. warunek Hurwitza będą spełnione, jeżeli

−1 < kp< 4 (59)

(31)

Kryterium Hurwitza

Uwagi do kryterium Hurwitz a

UWAGA 1: Możliwość wystąpienia stabilności nieasymptotycznej zachodzi gdy w równaniu charakterystycznym stopnia n

współczynnik a0= 0 (równanie ma jeden pierwiastek zerowy), natomiast pozostałe współczynniki są większe od zera.

Po podzieleniu stron równania przez s, otrzymuje się równanie stopnia n − 1, w odniesieniu do którego należy zastosować kryterium Hurwitza, w celu sprawdzenia znak.u pozostałych pierwiastków.

Jeżeli równanie to spełni warunki Hurwitza to oznaczać będzie, że układ posiada jeden pierwiastek zerowy a pozostałe pierwiastki są ujemne lub mają części rzeczywiste ujemne i sprawdzany układ jest stabilny nieasymptotycznie.

UWAGA 2: Kryterium Hurwitza nie umożliwia badania stabilności układu z opóźnieniami.

(32)

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista umożliwia ocenę stabilności układu zamkniętego na podstawie charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego.

Transmitancja układu zamkniętego

GZ(s) = G1(s)

1 + G₁(s)G₂(s) (60)

Transmitancja układu otwartego

G0(s) = G1(s)G2(s) (61)

(33)

Uproszczone kryterium Nyquista

Uproszczone kryterium Nyquista

W przypadku kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o dodatnich częściach rzeczywistych (może mieć dowolna liczbę pierwiastów zerowych), układ zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu o współrzędnych {–1, j 0}.

’Nie obejmuje’ oznacza, że przy przesuwaniu się wzdłuż charakterystyki w kierunku wzrastających pulsacji, punkt {–1, j 0} pozostaje po lewej stronie charakterystyki

UWAGA: Uproszczone kryterium Nyquista nie obejmuje przypadków kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego, oprócz ujemnych lub zerowych, ma także pierwiastki dodatnie lub o dodatnich częściach rzeczywistych.

(34)

Kryterium Nyquista

Cechy kryterium Nyquista

charakterystyka częstotliwościowa układu otwartego, na

podstawie której określana jest stabilność układu zamkniętego, może być łatwo wyznaczana analitycznie lub doświadczalnie,

kryterium umożliwia nie tylko stwierdzenie faktu stabilności, lecz także umożliwia projektowanie układu o określonych właściwościach dynamicznych,

kryterium umożliwia badanie stabilności układów zawierających elementy opóźniające.

(35)

Kryterium Nyquista

Rysunek 9 : Charakterystyki aplitudowe-fazowe układu otwartego w przypadku 1) stabilnego układu zamkniętego, 2) niestabilnego układu zamkniętego Warunki Nyquista

M(ω_−π) < 1; gdzie ω_−π : ϕ(ω_−π) = −π (62)

(36)

Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk

Rysunek 10 : Przykłady charakterystyk amplitudowo – fazowych układów otwartych, odpowiadających: stabilnym układom zamkniętym - charakterystyka nie obejmuje punktu {−1, j 0}

(37)

Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk

Rysunek 11 : Przykłady charakterystyk amplitudowo – fazowych układów otwartych, odpowiadających: niestabilnym układom zamkniętym - charakterystyka obejmuje punkt {−1, j 0}

(38)

Kryterium Nyquista

(39)

Kryterium Nyquista - charaktersytyki Bodego

Warunki Nyquista dla charakterystyk amplitudowej i fazowej

L(ω_−π) = 20 log M(ω_−π) < 0;

(64) ϕ(ωp) > −π; gdzie L(ωp) = 0 (65)

(40)

Kryterium Nyquista - zapas modułu i zapas fazy

Zapas modułu

∆M = 1

M(ω_−π) (66)

∆L = −20 log M(ω−π) (67) Zapas fazy

∆ϕ = π + ϕ(ωp) (68) Zapas modułu i fazy układu stabilnego ma wartości dodatnie.

PRAKTYKA PRZEMYSŁOWA 30 deg < ∆ϕ < 60 deg (69) 2 ¬ ∆M ¬ 4 → 6dB ¬ ∆L ¬ 12dB

(70)

(41)

Kryterium Nyquista - przykład N1

Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu

G₀(s) = 1

s³+ 3s²+ s + 1 (71)

G₀(j ω) = 1

−i ω³− 3ω²+ j ω + 1 = 1

1 − 3ω²+ j (ω − ω³)

1 − 3ω²− j(ω − ω³ 1 − 3ω²− j(ω − ω³) = 1 − 3ω²

(1 − 3ω²)²+ (ω − ω³)² + j −(ω − ω³) (1 − 3ω²)²+ (ω − ω³)²

(72)

Część rzeczywista i urojona P(ω) = 1 − 3ω²

(1 − 3ω²)²+ (ω − ω³)²; Q(ω) = −(ω − ω³) (1 − 3ω²)²+ (ω − ω³)²

(73)

(42)

Kryterium Nyquista - przykład N1

część rzeczywista

P(ω) = 1 − 3ω²

(1 − 3ω²)²+ (ω − ω³)² (74) część urojona

Q(ω) = −(ω − ω³)

(1 − 3ω²)²+ (ω − ω³)² (75)

ω 0 p1/3 1 ∞

P(ω) 1 0 -0.5 0

Q(ω) 0 -2.6 0 0

(43)

Rzeczywisty kształt charakterystyki - MATLAB

(44)

Kryterium Nyquista - przykład N2

Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu i wyznaczyć zapasy stabilności.

G₀(s) = 10

(0.1s + 1)(0.001s + 1) 1

0.3s (76)

(45)

Kryterium Nyquista - przykład N2

G0(s) = G1(s)G2(s)G3(s)G4(s) (77) czyli

G0(s) = 10 1 0.1s + 1

1 0.01s + 1

1 0.3s

(78) W przypadku połączenia

szeregowego sumuje się charakterystyki Bode’go poszczególnych elementów.

L₀(ω) = L₁(ω) + L_ω+ L₃(ω) + L₄(ω) (79) ϕ₀(ω) = ϕ₁(ω)+ϕ_ω+ϕ₃(ω)+ϕ₄(ω) (80)

(46)