Matematyka nansowa - 7. Papiery warto±ciowe: weksle i bony skarbowe I. Papiery warto±ciowe: wst¦pne uwagi
W ramach tego wykªadu oraz wszystkich nadchodz¡cych b¦dziemy si¦ zajmowa¢ szcze- gólnymi narz¡dziami inwestycyjnymi: papierami warto±ciowymi. S¡ to dokumenty (o mniej lub bardziej ±ci±le okre±lonej przez prawo formie) stwierdzaj¡ce prawa do pewnego maj¡tku (a w szczególno±ci do pewnych pªatno±ci) nale»nego ich posiadaczowi.
Generalnie, pªatno±ci gwarantowane przez ka»dy z papierów warto±ciowych (oraz ich zakup) tworz¡ inwestycj¦ nansow¡, która podlega tym samym sposobom wyceny (np.
przez IRR), co ka»da inna inwestycja nansowa, wi¦c w zasadzie nie potrzebowaliby±my do ich badania »adnych nowych wzorów, a jedynie dokªadnych informacji o wysoko±ci i czasach pªatno±ci. Jednak»e, wi¦kszo±¢ papierów warto±ciowych i zwyczajów zwi¡zanych z handlem z nimi uformowaªa si¦ zanim powstaªy matematyczne podstawy nansów, wi¦c wiele z nich charakteryzuje si¦ prawnymi lub tradycyjnymi oznaczeniami i de nicjami, które niekoniecznie s¡ zgodne z zasadami matematyki nansowej. Dopiero ich znajomo±¢
(i znajomo±¢ zale»no±ci mi¦dzy nimi a poznanymi poj¦ciami) pozwala na swobodn¡ ocen¦
warto±ci tych instrumentów.
O ile nie b¦dzie wyra¹nie powiedziane inaczej, we wszystkich rozwa»anych problemach zakªadamy, »e wszystkie momenty i wysoko±ci przyszªych pªatno±ci s¡ pewne. W kwe- stiach dotycz¡cych papierów warto±ciowych jest to szczególnie delikatne zaªo»enie, gdy»
zazwyczaj gªównym problemem ich poprawnej wyceny jest brak informacji o przyszªo-
±ci (np. o cenie akcji danej rmy w terminie sprzeda»y, lub o tym, czy spóªka, której obligacje wyceniamy nie zbankrutuje do czasu ich zapadalno±ci).
Uchylenie tego zaªo»enia wymaga jednak stosowania bardziej skomplikowanych technik matematyczno-statystycznych i wykracza poza ramy tego kursu (a by¢ mo»e w ogóle poza ramy nauki).
Zaczniemy od zagadnie« zwi¡zanych z wekslami kupieckimi i bonami skarbowymi. Z jednej strony, s¡ to do±¢ proste papiery warto±ciowe, gdy» (przynajmniej w podstawowej formie) opieraj¡ si¦ na modelu pojedynczego nakªadu i pojedynczego przychodu (jak np.
lokaty). Z drugiej strony, jako, »e weksle kupieckie s¡ jednymi z najstarszych papierów warto±ciowych (a bony skarbowe dziaªaj¡ na tej samej zasadzie), reguªy, które nimi rz¡dz¡
s¡ oparte na tradycji, a nie na matematycznej sensowno±ci, wi¦c ich wycena jest najbar- dziej niezgodna z zasadami matematyki nansowej spo±ród wszystkich, które b¦dziemy omawia¢.
W szczególno±ci, narz¦dzia te nie s¡ wyceniane za pomoc¡ znanych nam zasad oprocen- towania zªo»onego, ale raczej dyskonta handlowego prostego.
II. Dyskonto handlowe (proste)
Samo poj¦cie dyskontowania ju» si¦ na tym kursie pojawiªo w sensie aktualizacji warto±ci pewnego kapitaªu na termin wcze±niejszy. Technicznie byªo to oprocentowanie zªo»one kapitaªu w czasie ujemnym - i zazwyczaj w tym sensie b¦dziemy u»ywa¢ sªowa dyskonto.
Jednak na potrzeby tego zestawu slajdów, by unikn¡¢ pomieszania poj¦¢, b¦d¦ nazywaª dyskonto zde niowane w ten sposób dyskontem matematycznym lub rzeczywistym.
De nicja 1. Dyskonto handlowe (bankowe) to opªata za po»yczk¦ obliczona na pod- stawie kwoty, któr¡ dªu»nik zwróci po okre±lonym czasie i zapªacon¡ z góry, czyli w chwili otrzymania po»yczki. Oznaczane jest przez DH.
Dla odró»nienia: odsetki (czyli znany nam ju» sposób opªaty za po»yczenie pieni¦dzy) zale»¡ od kwoty otrzymanej i pªaci si¦ je z doªu, na ko«cu okresu po»yczki (nawet je±li obliczane s¡ w modelu kapitalizacji z góry), ale dyskonto zale»y od kwoty oddawanej i pªaci si¦ je z góry (dªu»nik po prostu dostaje mniejsz¡ kwot¦ ni» ma zwróci¢: Wnom−DH).
Dlatego dyskonto czasem nazywa si¦ procentem pªatnym z góry.
Na kolejnych slajdach omówi¦ szczegóªowo zasady dyskonta handlowego prostego, na któ- rym oparta jest wycena weksli i bonów skarbowych. Dyskonto handlowe zªo»one nie
1
2
jest u»ywane w praktyce (cho¢ pojawia si¦ w niektórych ksi¡»kach), gdy» generalnie in- westycje oparte o dyskonto handlowe nie s¡ powtarzalne. Dlatego te» nie b¦dziemy go omawia¢.
W zadaniach zwi¡zanych z dyskontem handlowym istotne b¦d¡ nast¦puj¡ce wielko±ci i oznaczenia:
• Wnom - warto±¢ nominalna po»yczki, do spªacenia w danym momencie.
• DH - dyskonto handlowe.
• Wakt - warto±¢ aktualna po»yczki, kwota za jak¡ mo»na sprzeda¢ prawa do niej w tym momencie
• d - roczna stopa dyskontowa.
• n - czas do zwrotu po»yczki (zapadalno±ci) w latach.
Uwag¦ zwraca nowy rodzaj stopy: stopa dyskontowa, przy pomocy której oblicza si¦ war- to±¢ dyskonta. Nie nale»y myli¢ jej ze stop¡ procentow¡ (zale»no±¢ mi¦dzy nimi obliczymy pó¹niej). W modelu dyskonta handlowego stopa dyskontowa nie podlega przeliczaniu na inne okresy za pomoc¡ stopy efektywnej, tylko wzgl¦dnej (st¡d dyskonto proste).
Zgodnie z de nicj¡ dyskonta handlowego, je±li Wakt jest warto±ci¡ po»yczan¡ w momencie udzielenia po»yczki to:
Wakt = Wnom− DH; DH = Wnom− Wakt.
Mo»na de nicj¦ dyskonta dzi¦ki temu uogólni¢ na dowolny moment, jako ró»nic¦ po- mi¦dzy warto±ci¡ nominaln¡ a aktualn¡ instrumentu dokumentuj¡cego po»yczk¦. Takie uogólnione dyskonto oblicza si¦ wedªug nast¦puj¡cej zasady:
Twierdzenie 1 (Zasada dyskonta handlowego prostego). Dyskonto handlowe proste jest proporcjonalne do czasu pozostaªego do spªaty po»yczki.
Twierdzenie 2 (Dyskonto handlowe - wzory).
Wakt = Wnom− DH; Wakt = Wnom(1 − dn).
Jako, »e dyskonto z natury jest mniejsze od warto±ci nominalnej po»yczki, DH < Wnom, to musi zaj±¢:
Wnomdn = DH < Wnom⇒ dn < 1 ⇒ n < 1 d.
Ta nierówno±¢ wyja±nia dlaczego dyskonta u»ywa si¦ generalnie tylko dla po»yczek krót- koterminowych. W praktyce prawie zawsze n < 1. Dlatego w zadaniach rozwi¡zywanych za pomoc¡ dyskonta handlowego warto pami¦ta¢ o stosowaniu reguªy bankowej co do czasu (ka»dy miesi¡c=30 dni, rok=52 tygodnie=360 dni).
III. Weksle kupieckie: podstawowe informacje
De nicja 2. Weksel (kupiecki) jest to zobowi¡zanie do zapªaty okre±lonej kwoty w okre±lonym terminie i ma form¦ dokumentu (uregulowanego prawnie, acz ogólnego wzoru w Polsce nie ma od 2007 roku). Musi zawiera¢ warto±¢ nominaln¡ (sum¦) weksla - czyli wysoko±¢ udzielonej po»yczki - oraz termin zapadalno±ci (termin wykupu) - czyli czas, w którym t¦ kwot¦ trzeba spªaci¢.
Cz¦sto zawiera te» stop¦ dyskontow¡, wedªug której byªa obliczona warto±¢ pocz¡tkowa we- ksla lub te» warto±¢ aktualn¡ weksla w pewnym dniu (zazwyczaj dokonywania transakcji), na podstawie której t¦ stop¦ dyskontow¡ mo»na obliczy¢.
Warto±ci¡ aktualn¡ weksla jest warto±¢ obliczona na podstawie jego warto±ci nominal- nej, stopy dyskontowej, dnia na który t¦ warto±¢ obliczamy i modelu dyskonta handlowego.
Weksle najcz¦±ciej s¡ u»ywane jako forma rozliczenia handlowego. Jest to po prostu wygodny sposób na sformalizowanie odroczenia terminu pªatno±ci za zakupione dobra np.
sklep, który nie mo»e pozwoli¢ sobie na natychmiastow¡ zapªat¦ gotówkow¡ w wysoko±ci Wakt za jaki± towar, wystawia weksel na kwot¦ Wnom> Wakt pªatny za jaki± czas i liczy,
»e do tego czasu sprzeda towar z zyskiem, co pozwoli spªaci¢ weksel w terminie.
3
Weksel mo»e te» w gospodarce peªni¢ inne funkcje - np. za zgod¡ stron, prawa do niego mog¡ by¢ przeniesione na inn¡ osob¦, wi¦c mo»e by¢ u»ywany jako zapªata w transakcjach handlowych.
Na podstawie de nicji, dla wyceny weksli obowi¡zuj¡ wzory dotycz¡ce dyskonta handlo- wego. Wycena warto±ci aktualnej weksla za pomoc¡ modelu kapitalizacji prostej rodzi ró»ne problemy. Do±¢ ªatwo mo»na skonstruowa¢ przykªad weksli takich, »e weksel A ma wi¦ksz¡ warto±¢ aktualn¡ ni» weksel B w jednym momencie, a w innym momencie weksel B ma wi¦ksz¡ warto±¢ aktualn¡ ni» weksel A. Takie paradoksy byªyby niemo»liwe przy stosowaniu dyskonta zªo»onego, jak w rozdziale 3a. Je±li dwa weksle miaªyby warto±¢
x w momencie t1, to przy dowolnej stopie procentowej zgodnej r (OK=OS=1) miaªyby warto±¢ x(1 + r)t2−t1, a wi¦c te» równ¡. Podobnie zachowane byªyby nierówno±ci pomi¦- dzy ich warto±ciami aktualnymi. Jakie s¡ zatem powody stosowania tak niepor¦cznego modelu dyskonta?
• Weksel jest instrumentem jednorazowym o ustalonej warto±ci i nie daje si¦ ska- lowa¢ jako inwestycja. Mo»liwo±¢ reinwestowanie zysków z weksla w weksel o do- kªadnie takiej samej procentowej stopie zwrotu jest skrajnie nieprawdopodobna.
• Taka wycena weksla jest zapisana w prawie bankowym.
Generalnie nie zajmujemy si¦ subtelnymi techniczno-prawnymi aspektami ró»nych ro- dzajów weksli, ale warto wiedzie¢, »e legalnie zapisany weksel mo»e by¢ odsprzedany bankowi komercyjnemu. Wi¦kszo±¢ banków ±wiadczy usªugi wykupu weksli po zadanych przez siebie stopach dyskontowych, gdy» mog¡ natychmiast dokona¢ redyskonta weksla po korzystniejszej stopie w banku centralnym. Stopa redyskontowania weksli jest jedn¡
ze stóp procentowych, o których wysoko±ci decyduje bank centralny. Niestety, zwykªy obywatel nie mo»e bezpo±rednio dyskontowa¢ weksli po tej stopie w banku centralnym.
IV .Równowa»no±¢ weksli i ich portfeli
De nicja 3. Portfel weksli to zbiór weksli b¦d¡cych w posiadaniu jednej osoby, najcz¦-
±ciej wystawionych przez tego samego dªu»nika. Warto±¢ aktualna portfela weksli jest sum¡ warto±ci aktualnych wszystkich weksli w porfelu.
Typowym zagadnieniem rachunku weksli jest odnowienie weksla lub portfela weksli, czyli jego zamiana na tzw. równowa»ny weksel/portfel weksli.
De nicja 4. Dwa weksle (dwa portfele weksli, weksel i portfel weksli) s¡ równowa»ne dla zadanej stopy dyskontowej d i w zadanym dniu, je±li ich warto±ci aktualne obliczone na ten dzie« przy tej stopie s¡ równe.
Oczywi±cie, weksle lub ich portfele równowa»ne dla danej stopy dyskontowej niekoniecznie s¡ równowa»ne dla innej. To byªo te» prawd¡ dla kapitaªów aktualizowanych ró»nymi stopami procentowymi, wi¦c to nie stanowi problemu. Niestety, ze wzgl¦du na archaiczny sposób obliczania warto±ci aktualnej weksli, weksle sobie równowa»ne jednego dnia mog¡
nie by¢ równowa»ne innego dnia.
V. Stopa procentowa i stopa zwrotu z weksli
Odsetki i dyskonto handlowe s¡ ró»nymi rodzajami opªat za po»yczk¦, obliczanymi od- powiednio wedªug stopy procentowej i dyskontowej. Przykªadowo, sytuacj¦, gdy osoba A po»ycza osobie B kwot¦ x na czas n i po tym czasie otrzymuje kwot¦ y mo»na opisa¢
na 2 sposoby. Albo x jest kwot¡ po»yczan¡, a y − x to odsetki od tej kwoty naliczane wedªug nominalnej rocznej stopy procentowej r (przy OK = n), albo y jest warto±ci¡
nominaln¡ po»yczki, a y −x jest dyskontem handlowym naliczonym wedªug rocznej stopy dyskontowej d. Jaka jest zale»no±¢ mi¦dzy tymi warto±ciami d i r opisuj¡cymi t¦ sytuacj¦?
De nicja 5 (Równowa»no±¢ stopy dyskontowej i procentowej). Mówimy, »e roczna stopa dyskontowa d i nominalna roczna stopa procentowa r s¡ równowa»ne w czasie n, je±li dyskonto oraz odsetki obliczone przy tych stopach dla tej samej po»yczki s¡ równe.
4
Twierdzenie 3 (Równowa»no±¢ stopy dyskontowej i procentowej). Roczna stopa dyskon- towa d i nominalna roczna stopa procentowa r s¡ równowa»ne w czasie n je±li:
r = d
1 − dn; d = r 1 + nr.
Czy jednak stopa r, któr¡ w ten sposób otrzymali±my jest roczn¡ stop¡ zwrotu z weksla?
Na pewno mo»emy powiedzie¢, »e nr jest stop¡ zwrotu z weksla w okresie n lat.
Rozwa»my weksel o czasie zapadalno±ci n i stopie dyskontowej d. Jest to inwestycja o dwóch pªatno±ciach: Wnom w momencie n oraz −Wnom(1 − dn) w momencie 0. Je±li r∗ = IRR jest roczn¡ wewn¦trzn¡ stop¡ zwrotu z weksla zgodn¡ z de nicj¡ z rozdziaªu 3b, to:
r∗ = (1 − dn)n1 − 1.
Jednak»e ten wzór, cho¢ formalnie prawdziwy, jest zupeªnie niepraktyczny. Weksel jest inwestycj¡ pojedyncz¡, nieskalowaln¡ i niepowtarzaln¡. Je±li, przykªadowo, zainwesto- wali±my w weksel 950 jp i po póª roku otrzymali±my jego warto±¢ nominaln¡ 1000 jp, to nie mo»emy zagwarantowa¢, »e mo»emy kapitaª i odsetki z tej inwestycji reinwestowa¢
dokªadnie z tak¡ sam¡ stop¡ zwrotu tj. nie wiadomo, czy na rynku znajdziemy w tym momencie weksel o warto±ci aktualnej 1000 jp i tej samej rocznej IRR. Dlatego jedynym rozs¡dnym horyzontem czasowym w którym mo»na rozwa»a¢ stop¦ zwrotu z weksla w sensie poznanym dotychczas (czyli IRR) jest jego termin pªatno±ci n. A w tym czasie mamy IRR = nr, gdzie r jest stop¡ procentow¡ równowa»n¡ stopie dyskontowej weksla d w czasie n.
Twierdzenie 4 (Roczna stopa zwrotu z weksla).
r = d 1 − dn.
Czym zatem jest roczna stopa r w tym wzorze? Mo»naby j¡ nazwa¢ roczn¡ stop¡ zwrotu z weksla w tym sensie, »e jest ona stop¡ zwrotu z inwestycji, która polega na tym, »e po okresie zapadalno±ci danego weksla reinwestujemy odzyskany kapitaª w taki sam weksel tj. je±li kupili±my póªroczny weksel o warto±ci nominalnej 1000 jp za 950 jp, to po póª roku kupujemy dokªadnie taki sam weksel za t¦ sam¡ cen¦, a nie reinwestujemy kwoty dyskonta 50 jp, któr¡ nominalnie zarobili±my na tej transakcji. Przez ten brak reinwestowania zysków, stopa zwrotu z weksla ma charakter stopy nominalnej przy kapitalizacji prostej, wi¦c jest ró»na od formalnej stopy IRR.
VI. Bony skarbowe
Innymi narz¦dziami inwestycyjnymi opartymi prawnie na modelu dyskonta handlowego s¡ bony skarbowe (których nie nale»y myli¢ z bonami pieni¦»nymi). S¡ to krótkoter- minowe papiery warto±ciowe emitowane przez skarb pa«stwa (konkretnie Ministerstwo Finansów) jako narz¦dzie krótkoterminowej po»yczki na bie»¡ce wydatki. Oprocento- wanie bonów ma charakter staªy, dyskontowy. Dochodem potencjalnego inwestora jest ró»nica pomi¦dzy cen¡ zakupu, a warto±ci¡ nominaln¡ bonu.
Bony skarbowe s¡ sprzedawane w do±¢ cz¦sto (najcz¦±ciej co tydzie«) organizowanych przetargach. W Polsce warto±¢ nominalna pojedynczego bonu skarbowego to 10000 PLN.
Sprzedawane s¡ w terminach wykupu podawanych w tygodniach: najcz¦±ciej 13 lub 52 tygodnie, czasem 4, 8 lub 26. Rachunek bonów skarbowych, z punktu widzenia zada« z matematyki nansowej, opiera si¦ na dokªadnie takich samych równaniach jak rachunek weksli. eby rozwi¡za¢ takie zadanie, mo»na ka»dy bon skarbowy traktowa¢ jako weksel.
