Matematyka nansowa - 8. Papiery warto±ciowe: obligacje I. Obligacje: wst¦p
Obligacja jest to papier warto±ciowy emitowany w serii, w którym emitent (najcz¦±ciej pa«stwo, samorz¡d lokalny, przedsi¦biorstwo lub inna instytucja nansowa) stwierdza,
»e jest dªu»nikiem obligatariusza (posiadacza obligacji) i zobowi¡zuje si¦ wobec niego do speªnienia okre±lonego ±wiadczenia. Zazwyczaj te ±wiadczenia to: wykup obligacji po cenie nominalnej po upªywie tzw. okresu zapadalno±ci, a czasem tak»e prawo do otrzymywania okresowych pªatno±ci odsetek od tej warto±ci, czyli tzw. kuponów.
W przeciwie«stwie do weksli, s¡ to instrumenty dªugoterminowe, o czasie wykupu od roku do 15 lat.
Obligacje s¡ sprzedawane w seriach (w przeciwie«stwie do weksli) i reprezentuj¡ prawa maj¡tkowe podzielone na okre±lon¡ liczb¦ równych jednostek, co oznacza, i» przyznaj¡
identyczne uprawnienia wszystkim ich posiadaczom. W przeciwie«stwie do akcji, obliga- cje nie daj¡ posiadaczowi »adnych uprawnie« wzgl¦dem emitenta typu wspóªwªasno±¢, dywidenda czy te» uczestnictwo w walnych zgromadzeniach.
Obligacje s¡ bardzo u»ytecznym narz¦dziem: emitentowi daj¡ mo»liwo±¢ zaci¡gni¦cia wysokiej po»yczki na dªugi okres u wielu wierzycieli, a obligatariuszowi w miar¦ bez- piecznej i pªynnej do zbycia inwestycji.
To zaªo»enie podkre±lam przy okazji ka»dego omawianego rodzaju inwestycji, ale szcze- gólnie wa»ne jest w przypadku dªugoterminowych papierów warto±ciowych. W poni»- szych analizach b¦dziemy pomija¢ mo»liwo±¢ bankructwa emitenta, która jest istotna dla wyceny w dªugim horyzoncie czasowym, a doprowadziªaby do braku spªat warto±ci nominalnej i kuponów od pewnego momentu. W zastosowaniach praktycznych, trzeba uwzgl¦dni¢ prawdopodobie«stwo takiego zdarzenia w znany z innych przedmiotów sposób (warto±¢ oczekiwana itp.). Nie jest to jednak element arytmetyki nansowej.
Z punktu widzenia inwestycji nansowej obligacje mo»na podzieli¢ na trzy typy:
• Obligacje zerokuponowe - jedynym zobowi¡zaniem emitenta jest zapªata warto±ci nominalnej w terminie zapadalno±ci. Nie s¡ wypªacane kupony.
• Obligacje kuponowe - poza jednorazowym wykupem obligacji, emitent zobowi¡- zuje si¦ w regularnych odst¦pach czasu wypªaca¢ odsetki, czyli kupony. Ostatni kupon jest wypªacany w momencie zapadalno±ci.
• Obligacje wieczyste, czyli konsole - daj¡ uprawnienie do renty wieczystej w po- staci kuponów, ale nigdy nie s¡ wykupywane przez emitenta, wi¦c nie maj¡ war- to±ci nominalnej.
We wszystkich zadaniach zwi¡zanych z dowolnymi obligacjami istotne b¦d¡ nast¦puj¡ce wielko±ci i oznaczenia:
• Wnom - warto±¢ nominalna obligacji, która ma by¢ wypªacona w momencie jej zapadalno±ci.
• r∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK∗.
• N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalno±ci obligacji.
• P - obecna warto±¢ obligacji (cena, po której inwestor jest skªonny j¡ zakupi¢).
II. Obligacje zerokuponowe
Inwestycja w obligacj¦ zerokuponow¡ jest bardzo prost¡ inwestycj¡ nansow¡. Skªada si¦
z jednego nakªadu P w chwili 0 i jednego przychodu Wnom w chwili N. Zatem:
Twierdzenie 1 (Wycena obligacji zerokuponowych).
P = Wnom(1 + r∗)−N.
Uwaga - formalnie N w tym wzorze nie musi by¢ liczb¡ caªkowit¡.
III. Obligacje kuponowe
W wypadku obligacji kuponowych potrzebne s¡ dodatkowe informacje:
1
2
• OP - okres pªatno±ci kuponów. Stop¦ r∗ zawsze trzeba zmody kowa¢ tak, by OP = OK∗
• r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP .
• m - liczba kuponów wypªacanych w ci¡gu roku.
• Wk - warto±¢ nominalna pojedynczego kuponu - mo»e by¢ podana zamiast stopy r.
Stopa oprocentowania kuponów nie przekªada si¦ bezpo±rednio na stop¦ zwrotu z obli- gacji. Mówi tylko, jakie odsetki od po»yczki (któr¡ jest zakup obligacji) emitent musi zapªaci¢ w regularnych odst¦pach czasowych. Zwi¡zek pomi¦dzy warto±ci¡ kuponu a warto±ci¡ nominaln¡ obligacji dany jest wzorem:
Twierdzenie 2 (Warto±¢ nominalna pojedynczego kuponu).
Wk= Wnom r m.
Zaªó»my, »e chcemy wyceni¢ warto±¢ aktualn¡ obligacji kuponowej na moment rozpocz¦- cia jednego z okresów pªatno±ci kuponów. Jako, »e zaªo»yli±my, »e OP = OK∗ = 1 (to ostatnie mo»emy zaªo»y¢, ustalaj¡c domy±ln¡ jednostk¦ czasu), N jest nie tylko liczb¡
okresów kapitalizacji do zapadalno±ci obligacji, ale te» liczb¡ wypªacanych kuponów.
W tej sytuacji, warto±¢ aktualna obligacji jest sum¡ warto±ci aktualnej renty z doªu o staªej wysoko±ci (raty s¡ kuponami) oraz zaktualizowanej warto±ci nominalnej:
Twierdzenie 3 (Wycena obligacji kuponowej).
P = Wk1 − (q∗)−N
q∗− 1 + Wnom(q∗)−N.
Oczywi±cie, wzór ten obowi¡zuje przy wycenie na pocz¡tek okresu pªatno±ci.
Je±li chcemy wyznaczy¢ cen¦ obligacji kuponowej np. na moment, gdy 1/4 okresu pªatno-
±ci kuponów upªyn¦ªa, nale»y wynik z powy»szego wzoru przesun¡¢ w czasie tj. pomno»y¢
go przez (q∗)14. IV .Konsole
Konsole, czyli obligacje wieczyste, opieraj¡ si¦ na nabyciu prawa do wypªaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadaj¡ warto±ci nominalnej ani terminu zapadalno±ci.
Do ich wyceny wystarczy:
• Wk - warto±¢ pojedynczego kuponu, wypªacanego co OP.
• r∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK∗ = OP.
• P - obecna warto±¢ obligacji (cena, po której inwestor jest skªonny j¡ zakupi¢).
Wycena konsoli na pocz¡tek dowolnego okresu pªatno±ci jest równowa»na obliczeniu war- to±ci aktualnej renty wieczystej z doªu o ratach Wk i stopie zwrotu r∗.
Twierdzenie 4 (Wycena konsoli).
P = Wk r∗ .
Oczywi±cie, tak jak przy obligacji kuponowej, je±li wyceniamy konsol¦ na inny moment ni» pocz¡tek okresu pªatno±ci, wystarczy t¦ wycen¦ przesun¡¢ w czasie.
V. Stopa YTM i IRR
W opisie obligacji w literaturze fachowej i u»ytku potocznym pojawia si¦ jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowno±ci do zapadalno±ci (yield to maturity), ró»na od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewn¦trznej stopy zwrotu z obligacji. Jest to stopa nominalna roczna, która po uzgodnieniu z okresem kapitalizacji równym okresowi pªatno±ci kuponów jest równa wewn¦trznej stopie zwrotu o tym okresie. Formalnie, gdy IRR jest roczn¡ stop¡ zwrotu, to:
3
Twierdzenie 5 (Zale»no±¢ IRR i YTM dla obligacji).
1 + Y T M m
m
− 1 = IRR.
Oczywi±cie, roczne stopy IRR i YTM s¡ równe, gdy kupony s¡ wypªacane raz w roku.
