Matematyka nansowa - 9. Papiery warto±ciowe: akcje I. Akcje: wst¦p
Akcja jest to zbywalny papier warto±ciowy potwierdzaj¡cy udziaª jej posiadacza (akcjonariusza) w kapitale spóªki akcyjnej. Zakup akcji, w przeciwie«stwie do weksla, czy obligacji, nie
jest po»yczk¡ podlegaj¡c¡ zwrotowi w ustalonym terminie, a inwestycj¡ nansow¡.
Nie b¦dziemy si¦ wgª¦bia¢ tutaj w prawne aspekty akcji i ich obrotu, ani w ich podziaª na rodzaje. Z naszego punktu widzenia istotne jest, »e akcje s¡ prawdopodobnie naj- bardziej popularnymi instrumentami nansowymi, wi¦c jest wiele metod wyceny akcji, a nawet wiele caªkowicie ró»nych koncepcyjnie metod podej±cia do tej wyceny. Wynika to z kilku faktów: po pierwsze, na ceny akcji wpªywa olbrzymia ilo±¢ czynników, podczas gdy w odniesieniu do obligacji najwa»niejsza byªa znajomo±¢ stóp procentowych. Dodat- kowo, sporo z tych czynników nie nadaje si¦ do zmatematyzowania, opieraj¡c si¦ niemal wyª¡cznie na ludzkiej psychice.
Po drugie, akcje, jako potencjalnie najbardziej dochodowe z tradycyjnych instrumentów
nansowych, byªy przedmiotem wielkiej liczby bada«, znanych przez inwestorów: by zatem osi¡gn¡¢ dochód ponadstandardowy, inwestor musi u»y¢ równie niestandardowych metod analizy. Dlatego te zaj¦cia nie maj¡ nikogo nauczy¢ jedynie sªusznej metody wyceny akcji, lecz pokaza¢ pewien model wyceny, by da¢ ogólne poj¦cie o tym, na czym tak¡ wycen¦ mo»na opiera¢.
Ocen¡ warto±ci akcji zajmuj¡ si¦ dwie grupy metod: analiza techniczna, która opiera si¦ na szukaniu regularno±ci i prawidªowo±ci w ksztaªtowaniu si¦ historycznych cen akcji i wykorzystywaniu ich do przewidywania zmian trendów oraz analiza fundamentalna, która bada czynniki ekonomiczne wpªywaj¡ce na kondycj¦ spóªki emituj¡cej akcje i sza- cowaniu ich warto±ci na tej podstawie. Podstawy matematyczne analizy technicznej nie s¡ dobrze opracowane, wi¦c nie b¦dziemy si¦ ni¡ w ogóle zajmowa¢. Zajmiemy si¦ tylko pewnymi aspektami analizy fundamentalnej.
II. Wycena akcji - wst¦p
Zanim zaczniemy wycenia¢ akcje - maªe zastrze»enie. Jest kilka znacze«, które mo»na przypisa¢ sformuªowaniu: cena akcji lub warto±¢ akcji.
• Cena nominalna akcji - przypisana ka»dej akcji (dawniej: zapisana na niej), odpowiada cz¦±ci maj¡tku spóªki, do wysoko±ci której wªa±ciciel odpowiada za jej zobowi¡zania. Wyznacza jednocze±nie podstaw¦ do obliczania dywidend i okre±la kapitaª, który nie zostanie wycofany ze spóªki do momentu likwidacji. Warto±¢
nominalna wyemitowanych akcji to kapitaª akcyjny lub zakªadowy.
• Cena emisyjna - cena po której akcje s¡ oferowane na rynku - najcz¦±ciej wy»sza od ceny nominalnej - jest to cena, po której akcje s¡ sprzedawane na rynku po raz pierwszy. Nadwy»ka ceny emisyjnej nad jej warto±ci¡ nominaln¡ tworzy tzw.
rezerw¦ statutow¡ (agio).
• Cena rynkowa (kurs) akcji - to rzeczywista cena akcji na gieªdzie - najcz¦±ciej lu¹no zwi¡zana z ich warto±ci¡ nominaln¡. Suma cen rynkowych wszystkich akcji
rmy to jej warto±¢ rynkowa.
• Warto±¢ bie»¡ca akcji dla inwestora - maksymalna cena, jak¡ inwestor jest skªonny zapªaci¢ za akcj¦, przy ustalonej stopie zwrotu, jakiej poszukuje. To wªa-
±nie j¡ b¦dziemy próbowali wyznaczy¢ w nast¦pnych wzorach. Je±li jest wi¦ksza od ceny rynkowej - inwestor powinien zakupi¢ akcj¦.
Akcje wycenia¢ b¦dziemy zgodnie z reguªami matematyki nansowej, czyli jako inwestycje
nansowe. Nakªadem takiej inwestycji jest cena kupna (zazwyczaj zakªadamy, »e do zakupu dochodzi w chwili 0). Dochody z akcji mog¡ by¢ dwóch rodzajów: po pierwsze - regularnie wypªacane dywidendy (przez które rozumiem nie tylko dywidendy w sensie formalno-prawnym, czyli udziaªy w podziale zysków spóªki, ale wszelkie dochody z tytuªu praw maj¡tkowych zawartych w akcji), a po drugie: dochód wynikaj¡cy ze zmieny ceny akcji tj. ró»nica mi¦dzy cen¡ sprzeda»y, a zakupu.
1
2
Naszym celem jest wyznaczenie warto±ci aktualnej akcji jako zdyskontowanego strumie- nia dochodów z tytuªu posiadania akcji. Gªównym problemem z tak¡ wycen¡ jest to,
»e ani dywidendy z akcji ani potencjalna cena jej sprzeda»y nie s¡ wielko±ciami z góry ustalonymi, a wi¦c inwestor w obliczeniach musi u»ywa¢ ich warto±ci oczekiwanych. Dy- widendy zazwyczaj pªacone s¡ w regularnych okresach, ale ich wysoko±¢ najcz¦±ciej jest wcze±niej nieznana. Jednak renomowane spóªki gieªdowe maj¡ zwyczaj prowadzenia sta- bilnej polityki dywidend, wi¦c ich wielko±¢ mo»na w najbli»szej przyszªo±ci przewidzie¢.
Trafne prognozowanie dochodu wynikaj¡cego ze zmiany cen akcji jest du»o bardziej skom- plikowane, a na gruncie ±ci±le naukowym praktycznie niemo»liwe.
We wszystkich zadaniach zwi¡zanych z akcjami istotne b¦d¡ nast¦puj¡ce wielko±ci i ozna- czenia:
• Pt - warto±¢ akcji w momencie jej przyszªej sprzeda»y w momencie t.
• Dn - warto±¢ n-tej dywidendy w czasie posiadania akcji. OP to czas pomi¦dzy wypªatami dywidend. Przez D0 oznaczamy warto±¢ ostatniej dywidendy przed zakupem akcji.
• r∗ = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK∗ = OP.
• N - liczba okresów kapitalizacji do momentu sprzeda»y akcji (N ≤ t).
• P - obecna warto±¢ akcji (cena, po której inwestor jest skªonny j¡ zakupi¢).
Zauwa»my, »e z punktu widzenia matematyki nansowej wycena akcji dziaªa praktycznie tak samo jak wycena obligacji kuponowych - technicznie, zamiast regularnej wypªaty kuponów mamy regularn¡ wypªat¦ dywidend, a zamiast warto±ci nominalnej obligacji w dniu jej zapadalno±ci otrzymujemy cen¦ akcji w dniu jej sprzeda»y. Te ró»nice s¡ czysto techniczno-prawne, a nie matematyczne, wi¦c liczymy tak samo.
Jedyn¡ ró»nic¡ jest, »e data sprzeda»y nie musi by¢ skoordynowana z czasem wypªaty ostatniej dywidendy. St¡d wynika, »e maksymalna cena, jak¡ jest skªonny wypªaci¢
inwestor, jest sum¡ zaktualizowanych na moment zakupu dochodów z akcji. Obliczymy t¦ cen¦ na pocz¡tek okresu pªatno±ci dywidend (w razie czego, mo»emy t¦ cen¦ przesuwa¢
w czasie).
Twierdzenie 1 (Cena akcji o znanym czasie i cenie sprzeda»y).
P =
N
X
j=1
Dj(1 + r∗)−j + Pt(1 + r∗)−t.
III. Model zdyskontowanych dywidend
Najsªabszym punktem otrzymanego przed chwil¡ wzoru jest konieczno±¢ wyznaczenia ceny, po której w przys»ªo±ci zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemo»liwe.
By omin¡¢ problem zgadywania ceny sprzeda»y, zakªada si¦, »e kolejni kupuj¡cy t¦ akcj¦
inwestorzy, kieruj¡ si¦ tym samym sposobem wyceny akcji. Wtedy mo»emy efektywnie odsun¡¢ w niesko«czono±¢ moment sprzeda»y akcji i korzysta¢ z modelu zdyskonto- wanych dywidend (formalnie prawdziwego dla akcji trzymanych bezterminowo). We wzorach skróconych b¦dziemy korzysta¢ z dodatkowego zaªo»enia, »e wewn¦trzne stopy zwrotu dla kolejnych inwestorów s¡ takie same - natomiast zaªo»enie to jest ªatwo uchyli¢.
Twierdzenie 2 (Model zdyskontowanych dywidend).
P =
∞
X
j=1
Dj(1 + r∗)−j.
Ten model jest dokªadny, je±li rozwa»amy tylko jednego inwestora, który nie planuje sprzedawa¢ akcji.
IV .Modele szczegóªowe
Jak wspominaªem wcze±niej, wysoko±¢ przyszªych dywidend nie jest znana, ale dla reno- mowanych spóªek gieªdowych polityka ich wypªaty jest do±¢ stabilna. Dlatego mo»na je wycenia¢ na podstawie dodatkowych zaªo»e« takich jaki:
3
• Model staªej dywidendy;
• Model Gordona-Shapiro;
• Model dwufazowy i ogólne modele wielofazowe.
We wzorach poni»szych zakªada si¦, »e do wypªaty nast¦pnej dywidendy ma upªyn¡¢
peªny okres pªatno±ci (ostatni¡ wypªacono przed chwil¡). Je±li tak nie jest, wzór trzeba zaktualizowa¢ (tak jak w wypadku obligacji).
Model staªej dywidendy zakªada, »e wszystkie przyszªe dywidendy b¦d¡ miaªy staª¡ wy- soko±¢ D = D0 - tak¡ jak ostatnio wypªacona dywidenda. Wtedy warto±¢ aktualna tej akcji jest po prostu warto±ci¡ aktualn¡ renty wieczystej z doªu o staªych ratach D. St¡d:
Twierdzenie 3 (Model staªej dywidendy).
P = D r∗.
Model Gordona-Shapiro jest podstaw¡ wszelkich bardziej skomplikowanych modeli.
Opiera si¦ na nast¦puj¡cych zaªo»eniach:
• wska¹nik wypªaty dywidendy jest staªy, tj. spóªka utrzymuje staª¡ proporcj¦
podziaªu zysku na zysk zatrzymany i przeznaczony na dywidendy;
• stopa zwrotu z zysków zatrzymanych jest staªa;
• caªo±¢ wzrostu spóªki pochodzi z reinwestycji zysku zatrzymanego.
Przy tych zaªo»eniach dywidendy wzrastaj¡ o staª¡ stop¦ g = r0f, gdzie r0 jest stop¡
zwrotu z inwestycji zysku zatrzymanego, a f jest wska¹nikiem zatrzymania (czyli cz¦±ci¡
zysku, któr¡ stanowi zysk zatrzymany).
W tym modelu zatem, warto±¢ aktualna akcji jest warto±ci¡ aktualn¡ renty geometrycznej o j-ej racie D0(1 + g)j (gdzie D0 jest wysoko±ci¡ ostatniej renty przed zakupem). Zatem:
Twierdzenie 4 (Model Gordona-Shapiro).
P = D0(1 + g) r∗ − g .
Najcz¦±ciej w ksi¡»kach ten wzór si¦ pojawia w postaci: P = r∗D−g, gdzie D oznacza najbli»sz¡ wypªacan¡ dywidend¦ po zakupie (a nie ostatni¡ przed zakupem - jak u mnie).
Oczywi±cie wzory te daj¡ te same wyniki, bo u mnie po prostu najbli»sza wypªacana dywidenda wynosi D0(1+g). Mój wybór oznaczenia wynika z faktu, »e wysoko±¢ ostatnio wypªaconej dywidendy jest nam znana, a wysoko±¢ dywidendy wypªacanej w przyszªo±ci - formalnie nie.
Nawet je±li dana spóªka akcyjna prowadzi stabiln¡ polityk¦ wypªaty dywidend zgodnie z modelem Gordona-Shapiro, musimy si¦ liczy¢ z tym, »e w przyszªo±ci jej rozwój mo»e zwolni¢ w stosunku do dzisiejszych szacunków (np. ze wzgl¦du na prawo malej¡cych przychodów kra«cowych). Podobnie, jako bufor bezpiecze«stwa warto zaªo»y¢, »e w przyszªo±ci warunki gospodarcze mog¡ si¦ pogorszy¢.
By wzi¡¢ poprawk¦ na taki efekt, u»ywa si¦ modelu dwufazowowego, w którym przez pewien okres (n1 okresów kapitalizacji) dywidendy rosn¡ w szybszym tempie (ze stop¡
g1), a potem ich wzrost jest wolniejszy, ze stop¡ wzrostu g2 < g1. Twierdzenie 5 (Model dwufazowy wyceny akcji).
P = D0(1 + g1) r∗− g1
1 − 1 + g1 1 + r∗
n1
+D0(1 + g1)n1(1 + g2) (r∗− g2)(1 + r∗)n1 .
Podobnie mo»na skonstruowa¢ wzór trójfazowy, w którym przez pewien okres dywidenda ro±nie w szybszym tempie, potem wzrost równomiernie zwalnia, a nast¦pnie przechodzi do staªego wzrostu w ni»szym tempie. Oczywi±cie mo»na te» tworzy¢ modele wielofazowe o wi¦kszej liczbie faz. Jak Pa«stwo si¦ domy±laj¡, wzory w tych przypadkach staj¡ si¦ coraz
pi¦kniejsze, wi¦c nie b¦dziemy ich omawia¢ (cho¢ powinno by¢ jasne jak je wyprowadzi¢
w miar¦ potrzeby).
4
W analogiczny sposób mo»na uchyli¢ jedno z pocz¡tkowych zaªo»e«, »e kolejni odkupu- j¡cy akcj¦ inwestorzy wybieraj¡ t¦ sam¡ stop¦ zwrotu.
