Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2017/18
Kolokwium nr 4: poniedziałek 13.11.2017, godz. 12:15-13:00, materiał zad. 1–174.
Kolokwium nr 5: poniedziałek 20.11.2017, godz. 12:15-13:45, materiał zad. 1–210.
4. Ciągi liczbowe, granica.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach 8,13.11.2017 (grupy 2–5).
Zbadać zbieżność ciągu (an) określonego podanym wzorem; obliczyć granicę, jeśli ciąg jest zbieżny. Wolno skorzystać ze wzoru lim
n→∞qn= 0, gdy |q| < 1.
157. n
n + 7 158. 5n3+ n2− 6
3n4+ 7 159. 5n4+ n2− 6
3n4+ 7 160. 5n5+ n2− 6
3n4+ 7 161.
√3
n2+ n n + 2 162. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... − 2n
√n2+ 2 163. n
1 +√
n 164. nn· (−1)n 165.
√
n + 1 +√ n7 n31 + 7√
n + 2 166. 1 + 2 + 3 + ... + n
n2 167. 30+ 31+ 32+ 33+ ... + 3n 3n
168.
√3n+ 2n
√3n+ 1 169. √
n2+ 3n − n 170. n√
n2+ 7 − n
171.
√n + 1 −√
√ n
n + 7 −√
n 172.
√n4+ 1 − n2
√
n4+ n − n22
173. 7n + (√3 n√6
n)5√ 9n + 1 11n3+ 7n + 3 174. an=
(−1)n· n! dla n ¬ 100
2n
2n+1 dla n > 100 175. 1
(2 + (−1)n)n 176. n√2
n 177. √n n2 178. n3·√
n2+ 1 − n4−n2
2 179.
√8n2+ 1
√2n4+ 1+
√8n2+ 2
√2n4+ 2+
√8n2+ 3
√2n4+ 3+ ... +
√8n2+ 3n
√2n4+ 3n
180. Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica
n→∞lim
3n2+ 2 ·√6 nk+ 1 n2+ 5 ·√3
n7+ 7 + 7 ·√ n5+ 5
istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.
181. Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica
n→∞lim
√n14+ 9n9+ 1 − n7
nk
istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.
Zadania do omówienia na konwersatorium 14.11.2017 (godz. 14-15), 17.11.2017 (godz. 8-10) 182. Obliczyć granicę
n→∞lim
3n4− n2+ 1
5n5− n3+ 1+3n4− 2n2+ 4
5n5− 2n3+ 8+ 3n4− 3n2+ 9 5n5− 3n3+ 27+ ...
... +3n4− kn2+ k2
5n5− kn3+ k3+ ... +3n4− 2n3+ 4n2 5n5− 2n4+ 8n3
!
.
Lista 4 - 11 - Strony 11-14
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2017/18
183. Obliczyć granicę
n→∞lim
5n3+ 3
√n10+ 3+ 5n3+ 6
√n10+ 6+ 5n3+ 9
√n10+ 9+ 5n3+ 12
√n10+ 12+ ... + 5n3+ 6n2
√n10+ 6n2
!
.
184. Obliczyć granicę
n→∞lim
4n2+ 1 n3+√
n6+ 1+ 4n2+ 2 n3+√
n6+ 2+ 4n2+ 3 n3+√
n6+ 3+ 4n2+ 4 n3+√
n6+ 4+ ... + 4n2+ 6n n3+√
n6+ 6n
!
.
185. Obliczyć granicę
n→∞lim n
n3+ n
n3+ 1+ n
n3+ 2+ n
n3+ 3+ n
n3+ 4+ n
n3+ 5+ n
n3+ 6+ ... + n (n + 1)3
!
.
186. Obliczyć granicę
n→∞lim
√k · nk+ 1 n7+ 1 +
√k · nk+ 2 n7+ 4 +
√k · nk+ 3 n7+ 9 +
√k · nk+ 4
n7+ 16 + ... +
√k · nk+ n3 n7+ n6
!
dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru k, aby powyższa granica była dodatnia i skończona.
187. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której granica
n→∞lim
nk·√
n666+ 1 − n333
istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.
188. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której granica
n→∞lim
nk·√4
n888+ 1 − n222
istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.
189. Obliczyć granicę (ciągu)
n→∞lim
√3
k · nk+ 1 n13+ 1 +
√3
k · nk+ 2 n13+ 4 +
√3
k · nk+ 3 n13+ 9 +
√3
k · nk+ 4
n13+ 16 + ... +
√3
k · nk+ n4 n13+ n8
!
dla tak dobranej wartości rzeczywistej dodatniej parametru k, aby powyższa granica była dodatnia i skończona.
190. Obliczyć granicę (ciągu)
n→∞lim
√n3+ 1
√49n7− 1+
√n3+ 2
√49n7+ 1+
√n3+ 3
√49n7− 1+ ... +
√n3+ k
q49n7+ (−1)k
+ ... +
q(n + 1)3
√49n7− 1
.
191. Obliczyć granicę (ciągu)
n→∞lim
n2
√n6+ 1+ n2+ 1
q
(n2+ 1)3+ 1
+ n2+ 2
q
(n2+ 2)3+ 1
+ n2+ 3
q
(n2+ 3)3+ 1
+ n2+ 4
q
(n2+ 4)3+ 1 + ...
... + n2+ k
q
(n2+ k)3+ 1
+ ... + (n + 3)2
q
(n + 3)6+ 1
.
Lista 4 - 12 - Strony 11-14
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2017/18
Przypomnij sobie ze szkoły: Postęp arytmetyczny i geometryczny.
Zadania do samodzielnego rozwiązania.
Pomoc w rozwiązaniu tych zadań można uzyskać na Analizie Matematycznej 1P.
Uwaga: Przyjmujemy, że w postępie geometrycznym wszystkie wyrazy są różne od ze- ra.
192. Obliczyć sumę postępu geometrycznego
1 + 3 + 9 + 27 + ... + 3n. 193. Obliczyć sumę postępu arytmetycznego
223 + 228 + 233 + ... + 778 .
194. Pierwszy, czwarty i dziesiąty wyraz postępu arytmetycznego tworzą (z zacho- waniem kolejności) postęp geometryczny trójwyrazowy. Wyznaczyć iloraz tego postępu geometrycznego.
195. Wyznaczyć pierwszy wyraz postępu arytmetycznego z poprzedniego zadania, jeśli wiadomo ponadto, że jego siódmy wyraz jest równy 21.
196. Jeżeli w poprzednich dwóch zadaniach uzyskałeś odpowiedzi odpowiednio 2 i 7, rozwiąż je ponownie, tym razem poprawnie.
197. Dla których liczb naturalnych n 3 prawdziwe jest następujące twierdzenie?
W dowolnym postępie arytmetycznym n-wyrazowym o sumie 0 co najmniej jeden z wy- razów jest równy 0.
198. Dla których liczb naturalnych n 3 prawdziwe jest następujące twierdzenie?
W dowolnym postępie geometrycznym n-wyrazowym o iloczynie wyrazów rów- nym 1, co najmniej jeden z wyrazów jest równy 1.
199. Dla których liczb naturalnych n 3 dowolny postęp geometryczny n-wyrazowy ma dodatni iloczyn wyrazów?
200. Dla których liczb naturalnych n 3 istnieje postęp arytmetyczny n-wyrazowy o sumie n i jednym z wyrazów równym n ?
201. Dla których liczb naturalnych n podany wzór jest poprawnym wzorem na sumę n-wyrazowego postępu arytmetycznego a1, a2, ..., an ?
a) Sn=a7+ a8+ a12
3 · n
b) Sn=3a11+ a17
4 · n c) Sn=a7+ a8+ an
3 · n
d) Sn=a4+ a7+ an−9+ an
4 · n
Lista 4 - 13 - Strony 11-14
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2017/18
202. Dobrać takie liczby A, B (być może zależne od n), aby otrzymać wzór na sumę n-wyrazowego postępu arytmetycznego a1, a2, ..., an.
a) Sn= Aa1+ Ba2 (n 3) b) Sn= Aa3+ Ba7 (n 7)
203. W dowolnym postępie arytmetycznym n-wyrazowym a1, a2, a3, ..., an o sumie 90, co najmniej jeden z wyrazów jest równy w.
Dla podanej liczby n podać liczbę w, dla której powyższe zdanie jest prawdziwe.
Wpisz NIE, jeśli liczba w o żądanej własności nie istnieje.
a) n = 5, w =... ; b) n = 9, w =... ; c) n = 10, w =... ; d) n = 15, w =... .
204. Dla podanej liczby n podać przykład rosnącego postępu arytmetycznego n-wy- razowego o sumie wyrazów równej n2, w którym występuje wyraz równy 1.
a) n = 3, ... ; b) n = 4, ... ; c) n = 5, ... ; d) n = 7, ... .
205. Zapisać podane sumy w postaci ułamka dziesiętnego z przybliżeniem do 100 miejsc po przecinku:
a)
2015
X
n=1
1
2n b)
2015
X
n=1
1
3n c)
2015
X
n=1
1
4n d)
2015
X
n=1
1
6n e)
2015
X
n=1
(−1)n 9n 206. Uzupełnić zdanie: Dla dowolnego postępu ... a1, a2, ..., an ciąg a1+ 7, a2+ 7, ..., an+ 7 jest postępem ...
207. Uzupełnić zdanie: Dla dowolnego postępu ... a1, a2, ..., an ciąg 7a1, 7a2, ..., 7an jest postępem ...
208. Uzupełnić zdanie: Dla dowolnego postępu ... a1, a2, ..., an ciąg a71, a72, ..., a7n jest postępem ...
209. Uzupełnić zdanie: Dla dowolnego postępu ... a1, a2, ..., an ciąg 7a1, 7a2, ..., 7an jest postępem ...
210. Uzupełnić zdanie: Dla dowolnego postępu ... a1, a2, ..., an o wy- razach dodatnich ciąg log7a1, log7a2, ..., log7an jest postępem ...
Lista 4 - 14 - Strony 11-14
