Zadania z mechaniki kwantowej dla III r. biofizyki 24 października
1. Stan elektronu opisany jest przez wektor ψ =p2/5 ψ+(~e3) +p3/5 ψ−(~e3).
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru następujących wartości rzutu spinu elektronu na kierunek ~e3: −~/2, ~/4, ~/3, ~/2; ogólnie czy można otrzymać wartość różną od ±~/2
(b) Jaka jest średnia wartość rzutu spinu elektronu na kierunek ~e3 w tym stanie? Czy ta wartość może być wynikiem pomiaru? Jaka jest wariancja rzutu spinu elektronu na kierunek ~e3?
(c) Jaki wynik pomiaru rzutu spinu elektronu na kierunek ~e3jest najbardziej prawdopodobny?
(d) Przyjmijmy, że w wyniku pomiaru rzutu spinu elektronu na kierunek ~e3 otrzymujemy wartość ~/2. Jaki wektor ψ0 opisuje stan elektronu po dokonaniu pomiaru? Jakie wartości rzutu spinu elektronu na kierunek ~e3 moglibyśmy otrzymać w wyniku kolejnych pomiarów przeprowadzanych na tym samym elektronie?
2. Proszę wypisać macierze obrotów wektora ~x =
x1 x2 x3
, dookoła osi ~e1, ~e2, ~e3 o kąt α, w przestrzeni euklidesowej, a następnie sprawdzić (wykonując odpowiednie mnożenia tych macierzy), że
(a) R~e1(α) R~e2(α) R~e1(−α) R~e2(−α) ~x = R~e3(α2) ~x + O (α3) , (b) R~e2(α) R~e3(α) R~e2(−α) R~e3(−α) ~x = R~e1(α2) ~x + O (α3) , (c) R~e3(α) R~e1(α) R~e3(−α) R~e1(−α) ~x = R~e2(α2) ~x + O (α3) ,
czyli obroty dookoła różnych osi nie komutują. Reguły komutacji [Si, Sj] = i~εijkSk są kon- sekwencją powyższych relacji. Rachunki w tym zadaniu proponuje przeprowadzić korzystając z pakietu Mathematica.
3. Proszę pokazać, że dla każdego stanu spinu elektronu ψ istnieje wektor jednostkowy ~n, taki że
~
n · ~S ψ = ~2ψ (tzn. w stanie ψ rzut spinu na kierunek ~n wynosi ~2). Wskazówka: zapisać ψ = α ψ+(~e3) + β ψ−(~e3) i porównać z ω ψ+(~n) = ω cosθ2ψ+(~e3) + sinθ2eiφψ−(~e3), gdzie ω jest pewnym czynnikiem fazowym (|ω| = 1); z tego porównania wyznaczyć cosθ2 a następnie eiφ. 4. Stan elektronu opisany jest przez wektor który, w bazie takiej że Si = ~2σi, ma postać
ψ = λ 1 + i 1 − i
.
Proszę znaleźć λ takie że ||ψ|| = 1. Proszę znaleźć ~n dla którego zachodzi ~n · ~S ψ = ~2ψ.
5. Korzystając z wyniku zadania 8 proszę pokazać, że transformacją unitarną odpowiadającą obrotowi elektronu dookoła dowolnej osi o kąt 2π jest: ψ −→ −ψ.
6. Stosując macierz transformacji transformacji z bazy (ψ+(~e3), ψ−(~e3)) do bazy (ψ+(~e1), ψ−(~e1)) proszę znaleźć macierze operatorów Si w bazie (ψ+(~e1), ψ−(~e1)). Wskazówka: wykorzystać ogólne wzory:
ψ+(~n) = cosθ
2ψ+(~e3) + sinθ
2eiφψ−(~e3) ψ−(~n) = − sinθ
2e−iφψ+(~e3) + cosθ
2ψ−(~e3)
7. Wyobraźmy sobie, że mamy możliwość wstawiania i usuwania przysłon na drodze ’górnej’ lub
’dolnej’ wiązki w omawianej na wykładzie aparaturze Sterna-Gerlacha. Wtedy aparatura staje się filtrem przepuszczającym tylko elektrony o określonym rzucie spinu (albo ’+’ albo ’-’). Przed opuszczeniem aparatury wiązki ’górna’ i ’dolna’ są kolimowane w jedną wizązkę, w taki sposób, że nie zmienia to polaryzacji elektronów (tzn. te elektrony które przeszły ’górą’ są w stanie
’+’, a te które przeszły dołem są w stanie ’-’). Ustawienia aparatury będziemy schematycznie oznaczac w następujący sposób:
+
−
~ n
- przyslona na drodze ’dolnej’ wiązki; filtr przepuszcza tylko elektrony o rzucie ’+’ względem
~n,
+
−
~ n
- przyslona na drodze ’górnej’ wiązki; filtr przepuszcza tylko elektrony o rzucie ’-’ względem ~n,
oraz +
−
~ n
- filtr przepuszcza zarówno elektrony o rzucie ’+’ jaki i elektrony o rzucie ’-’ względem ~n.
Dalej będziemy rozważać układy filtrów ustawionych na drodze wiązki elektronów jeden za drugim tak, że ich osie (wyróżniające kierunki polaryzacji elektronów) leżą w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku ruchu elektronów; umawiamy sie, że na schematach poniżej filtry numerujemy od lewej; wiązka leci od lewej. Proszę odpowiedzieć na następujące pytania.
(a) Dany jest układ filtrów
+
−
~ n
+
−
~ n
Czy wszystkie elektrony, które przeszły przez filtr 1, przejdą również przez filtr 2?
(b) Dany jest układ filtrów
+
−
~ n
+
−
~ n
Czy za filtrem 2 pojawią się elektrony (zakładamy, że są elektrony przechodzące przez filtr 1)?
(c) Dany jest układ filtrów
+
−
~ n1
+
−
~n2
, dla nierównoległych ~n1 i ~n2
Czy wszystkie elektrony, które przeszły przez filtr 1, przejdą również przez filtr 2?
(d) Dany jest układ filtrów
+
−
~n1
+
−
~n2
+
−
~ n1
, dla nierównoległych ~n1 i ~n2
Czy wszystkie elektrony, które przeszły przez filtr 2, przejdą również przez filtr 3 (inaczej:
czy po wyjściu z filtra 2 elektron ’pamięta’, że przed wejściem do filtra 2 był w stanie ’+’
względem ~n1)?
(e) Dany jest układ filtrów
+
−
~ n1
+
−
~ n2
+
−
~n1
, dla nierównoległych ~n1 i ~n2
Czy za filtrem 3 pojawią się elektrony (zakładamy, że są elektrony przechodzące przez filtr 1)? Proszę porównać odpowiedź z odpowiedzią z punktu (b).
(f) W układzie z poprzedniego punktu usuwamy przysłonę w środkowym filtrze i otrzymujemy układ filtrów
+
−
~ n1
+
−
~ n2
+
−
~n1
, dla nierównoległych ~n1 i ~n2
Czy teraz za filtrem 3 pojawią się elektrony (zakładamy, że są elektrony przechodzące przez filtr 1)?
(g) Czy jest różnica w działaniu układów z punktów (b) i (f)?
A. Rostworowski
http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/
