Zadania z mechaniki kwantowej kurs duży, na poniedziałek 25 października 11. Hamiltonian bezspinowej cząstki w polu magnetycznym (w przybliżeniu liniowym) wynosi

Zadania z mechaniki kwantowej kurs duży, na poniedziałek 25 października

11. Hamiltonian bezspinowej cząstki w polu magnetycznym (w przybliżeniu liniowym) wynosi 𝐻 = 𝑃 ⃗ ²

2𝑚 − 𝛼 ⃗ 𝐵 ⋅ ⃗ 𝐿.

Niech ⃗𝑛 = ^{𝐵 ⃗}

∣ ⃗ 𝐵∣ . Proszę pokazać, że 𝐻, ⃗𝑛 ⋅ ⃗ 𝑃 , ⃗𝑛 ⋅ ⃗ 𝐿 komutują. Jakie współrzędne są dobrze dopasowane do tego problemu (tzn. w jakich współrzędnych stacjonarne równanie Schr¨odingera opisujące tą cząstkę separuje się)?

12. 3-wymiarowy (nie izotropowy) oscylator harmoniczny opisany jest Hamiltonianem 𝐻 = 𝑃 ⃗ ²

2𝑚 + 𝑘 1

2 (𝑋 1 ² + 𝑋 2 ² ) + 𝑘 3

2 𝑋 3 ² .

Proszę znaleźć wartości własne i odpowiadające im stany własne 𝐻. Proszę określić degenerację poziomów energetycznych. Czy 𝐻 komutuje z ⃗ 𝐿?

13. Proszę wypisać, korzystając z ogólnego wzoru na funkcję radialną stanu własnego energii dla atomu wodoropodobnego, jawną postać 𝑅 𝑛𝑙 dla 𝑛 = 1, 2, 3.

14. Proszę pokazać, że (𝑘 ≥ 0):

(a)

[

∂ 𝑟𝑟 + 2

𝑟 ∂ 𝑟 , 𝑟 ^𝑘+1 ∂ 𝑟

]

= 2(𝑘 + 1)𝑟 ^𝑘 (

∂ 𝑟𝑟 + 2 𝑟 ∂ 𝑟

)

+ 𝑘(𝑘 − 1)𝑟 ^𝑘−1 ∂ 𝑟 , [

∂ 𝑟𝑟 + 2 𝑟 ∂ 𝑟 , 𝑟 ^𝑘

]

= 2𝑘𝑟 ^𝑘−1 ∂ 𝑟 + 𝑘(𝑘 + 1)𝑟 ^𝑘−2 . (b)

[ ⃗ 𝑃 ² , 2𝑟 ^𝑘+1 ∂ 𝑟 − (𝑘 − 1)𝑟 ^𝑘 ]

= 4(𝑘+1)𝑟 ^𝑘 𝑃 ⃗ ² −4𝑘𝑟 ^𝑘−2 𝐿 ⃗ ² +ℏ ² 𝑘(𝑘 ² −1)𝑟 ^𝑘−2 (skorzystać z a)).

(c)

[𝐻, 2𝑟 ^𝑘+1 ∂ 𝑟 − (𝑘 − 1)𝑟 ^𝑘 ] = 4(𝑘+1)𝑟 ^𝑘 𝐻+2𝑍𝑒 ² (2𝑘+1)𝑟 ^𝑘−1 − 2 𝑚 𝑘𝑟 ^𝑘−2

(

𝐿 ⃗ ² − ℏ ²

4 (𝑘 ² − 1) )

, gdzie 𝐻 - hamiltonian atomu wodoropodobnego (skorzystać z b)).

(d) Biorąc wartość średnią poprzedniego wyrażenia w stanach 𝜓 𝑛𝑙𝑚 , proszę pokazać że:

𝑘 + 1

𝑛 ² ⟨𝑟 ^𝑘 ⟩ − (2𝑘 + 1)𝑎⟨𝑟 ^𝑘−1 ⟩ + 𝑘

4 [(2𝑙 + 1) ² − 𝑘 ² ] 𝑎 ² ⟨𝑟 ^𝑘−2 ⟩ = 0 (wszystkie średnie liczone w stanie 𝜓 𝑛𝑙𝑚 , 𝑎 = 𝑎 0 /𝑍, 𝑎 0 - promień Bohra).

(e) Korzystając z poprzedniego równania dla 𝑘 = 0, 1, proszę znaleźć ⟨𝑟 ⁻¹ ⟩ 𝜓

i ⟨𝑟⟩ 𝜓

w stanach 𝜓 𝑛𝑙𝑚 .

15. Z własności 𝑌 _𝑙 ^𝑚 wynika że 𝜓 𝑛𝑙𝑚 (−⃗𝑥) = (−1) ^𝑙 𝜓 𝑛𝑙𝑚 (⃗𝑥). Proszę pokazać, że z tego wynika

⟨ ⃗ 𝑋⟩ 𝜓

= 0.

16. Proszę znaleźć jawną postać 𝑅 𝑛,𝑛−1 (𝑟). Korzytając z tego wyniku proszę obliczyć z definicji

⟨𝑟⟩, ⟨𝑟 ² ⟩ oraz Δ 𝜓 (𝑟)/⟨𝑟⟩ 𝜓 w stanch 𝜓 𝑛,𝑛−1,𝑚 .

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/