################################################################################
Wykłady z mechaniki kwantowej
W. W. Bałaszow, W. K. Dolinow
Tytuł oryginału : „Курс квантовой механики”
Wydawnictwo R&C Moskwa- Iżewsk 2001 Wydanie drugie
********************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2011
Ostatnia modyfikacja : 2019-01-10 Tłumaczenie całości książki.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wprowadzenie.
Książka, której tłumaczenie czytelnik ma przed sobą stanowi wprowadzenie do podstaw MQ ( mechaniki kwantowej ) z użyciem formalizmu przestrzeni Hilberta. Mechanika kwantowa w takim ujęciu stanowi niewątpliwie zwartą i matematycznie elegancką teorię fizyczną. Prawie wszystkie fundamentalne wnioski wypływające z kluczowych eksperymentów wprowadzających pojęcie „kwantu” na teren fizyki i pojęć z nim związanych tj. m.in. wyjaśnienie dyskretnego spektrum promieniowania wzbudzonych atomów, stabilna budowa pierwiastków chemicznych, dualizm korpuskularno-falowy, zasada nieokreśloności, pojęcie spinu, wyjaśnienie zagadnień liczb kwantowych, wyjaśnienie zachowania atomów i molekuł w polach zewnętrznych – elektrycznym i magnetycznym, molekularne widma
spektroskopowe, budowa i własności ciała stałego, zasada Pauliego i statystyki kwantowe – mają swoje odzwierciedlenie w takim właśnie ujęciu matematycznym.
Warto w tym miejscu zacytować fragment wstępny, z praktycznie jedynej dostępnej w języku polskim książki podejmującej konsekwentny wykład mechaniki kwantowej z użyciem wspomnianego formalizmu [ 3, str. 15 ] :
kwantowej.”
Książka, której fragment zacytowano nie jest niestety książką łatwą ( jest bardzo trudna ), zważywszy na zastosowaną w niej wysoce zaawansowaną matematykę. Wydaje się koniecznym, aby przed jej lekturą zapoznać się z MQ, co najmniej na poziomie książek [ 1, 2 ] lub ewentualnie tekstu mojego autorstwa pt. :
„Wprowadzenie do mechaniki kwantowej ( MQ )”.
Książka, która prezentowana jest w niniejszym tłumaczeniu powinna stanowić niejako pomost pomiędzy tymi właśnie pozycjami a wspomnianą książką profesorów - Grabowskiego i Ingardena.
Literatura wstępna i bardziej zaawansowana.
1) „Wstęp do mechaniki kwantowej” - R. L. Liboff ; PWN 1987
2) „Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych - R. Eisberg, R. Resnick ; PWN 1983 jąder i cząstek elementarnych”
3) „Mechanika kwantowa” - R. Shankar ; WN-PWN 2006 4) „Mechanika kwantowa” - L. I. Schiff ; PWN 1987
5) „Mechanika kwantowa. Ujęcie w przestrzeni Hilberta” - M. Grabowski, R. S. Ingarden ; PWN 1989
Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczonym tekście.
MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna A^ , B^, F^ , …. - operatory
A− , B− , F− ,…. - wielkości średnie
A*, B*, F*, … - wielkości sprzężone do wielkości danych
************************************************************************************************
Rozdział 1 Podstawowe postulaty mechaniki kwantowej.
Wykład 1
1. Probabilistyczny (stochastyczny ) opis stanów układów fizycznych. Funkcja falowa.
W MK stan układu fizycznego w dowolnej chwili t jest określony całkowicie poprzez wartości n współrzędnych uogólnionych i n prędkości uogólnionych , gdzie n – jest liczbą stopni swobody danego układu. Przy tym zakładamy, że wszystkie te 2n zmiennych dynamicznych może być zmierzone jednocześnie i dokładnie.
W MQ opis stanu układów fizycznych nosi charakter probabilistyczny. Nie możemy, ogólnie mówiąc wskazać w chwili czasu t dokładnych wartości współrzędnych uogólnionych ξ = { ξ1 , ξ2 , ... , ξn } ≡ { ξi }n
1 charakteryzujących układ , mamy natomiast do czynienia tylko z gęstością ich rozkładu ρ(ξ, t). Znając ρ(ξ, t ) znamy prawdopodobieństwo tego, że mierząc w chwili czasu t zmienną ξ w naszym stanie, otrzymamy wartość w przedziale (ξ , ξ + dξ ) :
dω ( ξ, t ) = ρ(ξ, t )dξ (1.1)
Stany układu fizycznego dzielimy na czyste i mieszane, przy czym te pierwsze możemy rozpatrywać jako przypadek szczególny stanów mieszanych. Wszystkie własności stanu czystego można opisać zadając pewną funkcję zespoloną ψ(ξ, t) – zwaną funkcją falową. Funkcja ta jest zależna od n współrzędnych uogólnionych ( zmiennych dynamicznych ) { ξi }n
1 oraz czasu t, który nie jest zmienną dynamiczną , a rozpatrywany jest jako parametr. Funkcja falowa ( zwana również amplitudą prawdopodobieństwa ) określa gęstość rozkładu zmiennych dynamicznych ξ :
ρ(ξ, t ) = | ψ(ξ, t ) |2 (1.2)
Opis stanów mieszanych jest bardziej złożony i póki, co nie będziemy poruszali tego problemu, ograniczając się w pierwszych sześciu wykładach do rozpatrzenia tylko stanów czystych. ( nie mówiąc za każdym razem, że wyrażenie
„stan” oznacza póki, co stan czysty ).
Całkowite prawdopodobieństwo przyjęło się normować do jedności :
|| ψ ||2 ≡ ∫ | ψ(ξ, t ) |2 dξ = 1 (1.3)
całkowanie prowadzimy względem całego obszaru określoności funkcji ψ(ξ, t).
Zatem funkcja falowa powinna być całkowalna z kwadratem.
Przyjęcie faktu, że tylko takie funkcje opisują realne stany układów fizycznych jest jednym z ważniejszych założeń wstępnych MQ. Jednakże w aparacie MQ często wykorzystuje się również takie stany , które nie są opisywane przez funkcje całkowalne z kwadratem. Takie stany odgrywają rolę wspomagającą , a ich związek ze stanami realnymi należy wyjaśnić w każdym rozpatrywanym przypadku oddzielnie.
Zbiór wszystkich funkcji zespolonych, całkowalnych z kwadratem zmiennych rzeczywistych tworzy przestrzeń liniową Hilberta , w matematyce oznaczamy ją symbolem L2. Zatem, w MQ postulujemy, że każdemu stanowi układu
przyporządkowujemy pewien element (wektor) należący do przestrzeni L2. Iloczyn skalarny w tej przestrzeni wprowadzamy za pomocą zależności :
< ψ1| ψ2 > ≡ ∫ ψ*1(ξ, t ) ψ2 (ξ, t ) dξ (1.4)
gdzie : ψ1, ψ2 – dowolne elementy L2 ; gwiazdką oznacza sprzężenie zespolone.
Definicja ta spełnia wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego, w szczególności :
< ψ1| ψ2 > = < ψ2 | ψ1 >* (1.5)
Inne ważne własności przestrzeni L podano w Dodatku 1.
Rozpatrzmy niektóre przykłady układów kwanowo-mechanicznych.
1) Układ k- cząstek. Układ ten posiada 3k stopni swobody. W charakterze współrzędnych uogólnionych {ξi }3k 1 można wybrać współrzędne przestrzenne rj tych cząstek , tj. {ξi }3k
1 = {rj }k 1 Funkcja falowa układu ma postać :
ψ(ξ, t ) = ψ ( r1, r2 , ... , rk , t )
2) Ciało sztywne (bryła sztywna ). Układ ten posiada 6 stopni swobody. W charakterze współrzędnych uogólnionych można wybrać 3 współrzędne środka masy { xi }3
1 oraz 3 kąty Eulera { αi }3
1 , charakteryzujące orientacje ciała sztywnego w przestrzeni. Funkcja falowa ma postać :
ψ(ξ, t ) = ψ ( x1, x2 ,x3 , α1, α2 , α3 , t )
2. Wielkości fizyczne w MQ.
Całkowity opis stanu układu fizycznego w chwili t polega na wskazaniu prawdopodobieństwa tych wartości , które mogą być otrzymane w wyniku pomiaru wszystkich niezależnych wielkości fizycznych, charakteryzujących dany układ.
W punkcie 1 rozpatrzyliśmy to zagadnienie w stosunku do tych wielkości fizycznych, które stanowią argument funkcji falowej. Teraz rozpatrzymy inne wielkości fizyczne.
W MQ postuluje się następujące założenia ( postulaty ) :
Postulat 1. Każdej wielkości fizycznej F przyporządkowany jest pewien liniowy operator hermitowski F^, działający w przestrzeni L2 ( lub w przestrzeni ogólniejszej, zawierającej L2 ). Jawną postać operatorów podstawowych wielkości fizycznych postulujemy. Wielkości fizycznej G, która jest funkcją innej wielkości fizycznej F, przyporządkowujemy operator :
G^ = ½ ( G(F^) + (G(F^))† ) (2.1)
† - sprzężenie hermitowskie.
Powiemy teraz nieco o pewnych pojęciach i oznaczeniach.
Niech ψ1i ψ2 – będą dowolnymi elementami ( wektorami ) w L2. Operator F^† nazywamy sprzężonym hermitowsko względem operatora F^ , jeśli spełnione jest równanie :
< ψ1| F^ψ2 > = < F^†ψ1| ψ2 > (2.2)
Iloczyn skalarny wektorów ψ1i F^ψ2 będziemy również zapisywali w postaci :
< ψ1| F^ψ2 > ≡ < ψ1| F^ | ψ2 > (2.3)
O prawej części tej zależności mówimy, że operator F^ wzięty jest w „okładki” wektorów ψ1 i ψ2. W nowej formie warunek (2.2) przepisujemy w następujący sposób :
< ψ1| F^ | ψ2 > = < ψ2 | F^† | ψ1>* (2.4)
Operator F^ nazywa się hermitowskim lub samosprzężonym, jeśli w L2 spełniona jest zależność :
F^ = F^† (2.5)
tj. dla dowolnych ψ1 i ψ2 należących do L2 jest słuszne :
< ψ1| F^ | ψ2 > ≡ < ψ2 | F^ | ψ1 >* (2.6)
Wszystkie wymagane wnioski dotyczące operatorów liniowych i ich własności przedstawiono w dodatku 2.
Postulat 2. Wielkość fizyczna F w dowolnym stanie kwantowo-mechanicznym może przyjmować tylko te wartości, które należą do spektrum jej operatora F^.
W przypadku ogólnym spektrum operatora F^ reprezentuje sobą połączenie spektrum dyskretnego F1, F2 , ... , Fn , …
i spektrum ciągłego {f }. Każda wartość wielkości fizycznej reprezentowana w stanie ψ(ξ, t) występuje z pewnym prawdopodobieństwem, które to ogólnie mówiąc zmienia się w czasie.
Niech ρ(Fn ) – będzie prawdopodobieństwem tego, że w stanie ψ(ξ, t) w chwili t wielkość fizyczna F ma wartość Fn, niech ρ(f) – będzie odpowiednią gęstością prawdopodobieństwa dla otoczenia punktu f spektrum ciągłego. Będziemy mówili, że zbiór wartości ρ(Fn ) i ρ(f) zadaje rozkład wielkości fizycznej F w stanie ψ(ξ, t). Oczywiście warunek, jaki spełnia taki rozkład jest następujący :
Σ ρ(Fn ) + ∫ ρ(f ) df = 1 (2.7)
n
Jedną z najważniejszych charakterystyk rozkładu wielkości fizycznej w stanie ψ(ξ, t) jest jej wartość średnia ( nadzieja matematyczna ) :
F− = Σ Fn ρ(Fn ) + ∫ f ρ(f ) df (2.8)
n
oraz dyspersja ( drugi moment centralny ) :
DF = Σ ( Fn – F− )2 ρ(Fn ) + ∫ ( f – F− )2 ρ(f ) df (2.9)
n
Zarówno rozkład ρ(Fn ) jak i jego momenty ogólnie mówiąc zmieniają się w czasie.
Postulat 3. Wartości średnie wielkości fizycznej F w stanie ψ(ξ, t) obliczamy według wzoru :
F− = < ψ | F^ | ψ > / < ψ | ψ > (2.10)
Jeśli funkcja falowa jest unormowana do jedności, to otrzymamy :
F− = < ψ | F^ | ψ > (2.11)
Widzimy, że zależność F− od t określona jest poprzez czasową zależność funkcji falowej od operatora F^.
Rozpatrzmy teraz postulaty 1- 3 dokładniej.
1. Pokażemy, że z hermitowskości F^ wynika, że wartość średnia F− jest rzeczywista. Z (2.11) otrzymujemy : ( F− )* = < ψ | F^ | ψ >* = < ψ | F^† | ψ > = < ψ | F^ | ψ >
tj. ( F− )* = F− (2.12)
Zauważmy również, że konstrukcja (2.1) zapewnia hermitowskość operatora (2.1).
2. Przypomnijmy, że liczba F nazywa się wartością własną operatora F^, jeśli w obszarze określoności operatora DF istnieje funkcja (wektor ) ψ ≠ 0, należąca L2 dla której spełniona jest równość :
F^ψ = Fψ (2.13)
Funkcja ψ w takim przypadku nazywa się funkcją własną ( wektorem własnym ) operatora F^, odpowiadającą wartości własnej F. Jak pokazuje się w matematyce zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy spektrum dyskretne.
Zbiór wszystkich funkcji własnych operatora hermitowskiego F^ oznaczymy przez {φn }, a zbiór jego wartości własnych przez {Fn } :
F^ φn (ξ ) = Fn φn (ξ ) (2.14)
Jeśli równanie (2.13) spełnia ograniczona funkcja χf (ξ ), nie należąca do przestrzeni L2
F^ χf (ξ ) = f χf (ξ ) (2.15)
to w tym przypadku, jak pokazuje się w matematyce, liczba f należy do spektrum ciągłego operatora F^.
Funkcja χf (ξ ) nazywa się w tym przypadku uogólnioną funkcją własną lub funkcją o spektrum ciągłym.
Zbiór wszystkich uogólnionych funkcji własnych operatora F^ oznaczymy przez {χf }, a zbiór punktów spektrum ciągłego jako { f }. Zbiory spektrum dyskretnego i ciągłego nazywa się spektrum pełnym danego operatora.
W analizie funkcjonalnej dowodzi się, że spektrum pełne {Fn }, {f } operatora hermitowskiego leży na osi rzeczywistej.
Rzeczywistość spektrum operatora dowolnej wielkości fizycznej odpowiada wymogowi rzeczywistości wyniku dowolnego jej pomiaru.
Może się okazać, że różnym funkcjom własnym φn odpowiada jedna i ta sama wartość własna. Taką wartość własną nazywamy zdegenerowaną, a liczbę odpowiadających jej liniowo niezależnych funkcji własnych nazywamy krotnością zdegenerowania danej wartości własnej. Analogiczna sytuacja może wystąpić również w przypadku spektrum ciągłego.
Zawsze można przyjąć ( zobacz Dodatek 2 ), że funkcje własne tworzą zbiór ortounormowany :
< φk | φm > = δkm (2.16 )
W analizie funkcjonalnej pokazuje się, że funkcje spektrum ciągłego zawsze można przyjąć tak, aby spełniony był warunek :
∫ χf* (ξ ) χf’ (ξ ) dξ = δ( f – f ’ ) (2.17) który jest analogiczny do warunku (2.16) ortonormalności funkcji własnych.
( Własności funkcji delty Diraca δ(x) podano w Dodatku 4 )
Oprócz tego, dowolna uogólniona funkcja własna χf jest ortogonalna do dowolnej funkcji własnej φn :
< φn | χf > = 0 (2.18)
Ważną cechą operatora wielkości fizycznej w porównaniu z dowolnym operatorem hermitowskim jest to, że zbiór wszystkich jego funkcji własnych { φn } i uogólnionych funkcji własnych { χf } spełnia równanie :
Σ φn (ξ ) φn* (ξ’ ) + ∫ df χf (ξ ) χf* (ξ’ ) = δ( ξ − ξ’ ) (2.19)
która jest analogiczna do warunku (D1.6), wyrażającego zupełność zbioru wektorów w L2. Zależność (2.19) jest kryterium zupełności zbioru wektorów { φn }, { χf } w L2. Dowolną funkcję ψ ∈ L2 można jednoznacznie przedstawić w postaci :
ψ(ξ ) = Σ an φn(ξ ) + ∫ df af χf (ξ ) (2.20) { Fn } { f }
gdzie sumowanie prowadzimy po wszystkich punktach spektrum dyskretnego, a całkowanie po wszystkich punktach
an = < φn | ψ > , af = < χf | ψ > (2.21) We wzorach (2.19) i (2.20) przyjmujemy, że każdej wartości Fn lub f może odpowiadać kilka liniowo niezależnych funkcji φn (ξ ) i χf (ξ ). Odpowiednie dodatkowe indeksy sumowania i całkowania opuszczamy, aby nie zaciemniać wzoru. Zauważmy, że an i af spełniają warunek normalizacji :
Σ | an |2 + ∫ | af |2 df = 1 (2.22)
n
3. Trzeci postulat pozwala znaleźć rozkład prawdopodobieństwa różnych wyników pomiarów. Podstawiając rozkład (2.20) do (2.11) otrzymujemy :
F− = Σ Fn | an |2 + ∫ f | af |2 df (2.23)
{ Fn } { f }
Z (2.23) wynika, że jeśli Fn – jest niezdegenerowaną wartością własną , to | an |2 jest ρ( Fn ) – prawdopodobieństwem tego, że w wyniku pomiaru wielkości fizycznej F w stanie ψ( ξ, t) zostanie otrzymana wartość Fn.
Jeśli Fn – jest zdegenerowaną wartością własną o krotności zdegenerowania N, to w sumie (2.23) mamy N składowych o jednej i tej samej wartości Fn. Wtedy prawdopodobieństwo tego, że w wyniku pomiaru zostanie otrzymana wartość Fn jest dane przez zależność :
ρ(Fn ) = Σ | an |2 ≡ Σ | < φn | ψ > |2 (2.24)
gdzie sumowanie prowadzimy po wszystkich wartościach n, dla których Fn są jednakowe.
Analogicznie z (2.23) wynika, że gęstość prawdopodobieństwa otrzymania w wyniku pomiaru wartości leżącej w otoczeniu punktu spektrum ciągłego f, jest dana :
ρ(f ) = Σ | af |2 ≡ Σ | < χn | ψ > |2 (2.25)
gdzie tak jak w (2.24) sumowanie uwzględnia zdegenerowanie.
Zatem, z postulatu o wartości średniej wielkości fizycznej wynika, że rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów wielkości w pewnym stanie ψ określony jest poprzez współczynniki (2.21) rozkładu ψ na funkcje własne operatora tej wielkości fizycznej.
Z definicji wartości średniej (2.10) wynika, że wartość średnia nie zmienia się przy pomnożeniu wektora stanu ψ na dowolną liczbę zespoloną o module jednostkowym postaci eiδ ( δ – dowolna liczba rzeczywista ). Taka
niejednoznaczność posiada zasadniczy charakter i nie może zostać wyeliminowana. Jednakże nie jest ona istotna, dlatego, że jak wynika z (1.1), (2.24) i (2.25) nie wpływa ona na rozkład wielkości fizycznych w danym stanie.
Zatem, funkcja falowa układu fizycznego charakteryzuje w sposób zupełny wyniki pomiarów wszelkich możliwych wielkości fizycznych , tj. daje zupełny opis danego stanu. Stochastyczny charakter takiego opisu stanowi odbicie istoty praw fizycznych, które spełniają układy kwantowe.
3. Operatory podstawowych wielkości fizycznych.
W MQ postuluje się, że operatorem przestrzennej współrzędnej cząstki r = { x, y, z } jest operator mnożenia przez r tj. :
r^ = r (3.1)
Operatorem pędu cząstki p = { px , py , pz } jest operator :
p^ = – iħ∇ (3.2)
gdzie : ∇ = { ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z }
ħ = h/2π = 1,054 • 10-27 [ erg s ] (3.3)
(* ħ – nazywane jest często stałą Diraca *)
Operator A^B^ nazywamy iloczynem operatorów A^, B^. Jego obszarem określoności jest zbiór wszystkich tych ψ ∈ DB^ , dla których B^ψ ∈ DA^. Operator A^B^ przeprowadza wektor ψ w wektor :
A^B^ψ ≡ A^( B^ψ )
Operatory A^B^ i B^A^ są ogólnie mówiąc różne, co wynika z faktu, że może nie zachodzić równość : A^B^ψ = B^A^ψ
Oprócz tego, ogólnie mówiąc operatory A^B^ i B^A^ mogą mieć różne obszary określoności.
Operator :
[ A^, B^ ] = A^B^ − B^A^ (3.4)
nazwiemy komutatorem ,jeśli obszary określoności operatorów A^B^ i B^A^ są jednakowe. Jeśli [ A^, B^ ] = 0, to mówimy, że operatory A^, B^ komutują. Jak przekonamy się dalej, komutatory operatorów wielkości fizycznych odgrywają ważną rolę w matematycznym aparacie MQ.
Łatwo sprawdzić, że komutator operatorów r^ i p^ jest następujący :
[ r^m , p^k ] = iħδmk ; m, k = 1, 2, 3 (3.5)
Pokażemy np. , że :
[ x^ , p^x ] = iħ (3.6)
Dla dowolnej funkcji różniczkowalnej ψ(r ) ∈ L2 mamy :
[x^ , p^x ] ψ(r ) = – iħ ( x ∂/∂x ψ(x, y, z) − ∂/∂x xψ(x, y, z ) ) = –iħ ( x ∂ψ/∂x − ψ(x, y, z ) − x ∂ψ/∂x ) = iħψ(r ) tj. :
[x^ , p^x ] ψ(r ) = –iħψ(r )
co jest równoważne zależności (3.6).
W charakterze operatora wielkości fizycznej f (r, p ) przyjmuje się zgodnie z (2.1) operator :
f^ = ½ ( f (r^, p^) + f†(r^, p^ ) ) (3.7)
Przykładowo operator energii kinetycznej cząstki o masie µ ma postać :
T^ = p^2 /2µ = – iħ2∇2/2µ = – ( iħ2/2µ ) ( ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 ) (3.8) Operator energii potencjalnej cząstki ma postać :
V^ = V(r^, t ) (3.9)
Zatem, dla operatora energii całkowitej w polu potencjalnym mamy :
H^ = T^ + V^ = - ( iħ2∇2/2µ ) + V(r^, t ) (3.10)
Operator energii całkowitej danego układu nazywa się hamiltonianem.
Łatwo zauważyć, że momentowi pędu cząstki L = r × p = { Lx , Ly , Lz } odpowiada operator :
L^x = y^p^z − z^p^y = − iħ ( y ∂/∂z – z ∂/∂y ) (3.11)
L^y = z^p^x − x^p^z = − iħ ( z ∂/∂x – x ∂/∂z ) (3.11)
L^z = x^p^y − y^p^x = − iħ ( x ∂/∂y – y ∂/∂x ) (3.11)
Zależności te można zapisać w zwartej postaci : 3 3
L^i = Σ eikm x^k p^m = − iħ Σ eikm xk ∂/∂xm (3.12)
k, m=1 k, m= 1
gdzie { x, y, z } ≡ {x1 , x2 , x3 } , eikm – antysymetryczny tensor jednostkowy trzeciego rzędu o składowej e123 = 1.
Wszystkie wprowadzone powyżej operatory są hermitowskie w przestrzeni L2. Sprawdźmy np. hermitowskość operatora pędu :
ponieważ :
lim ψ(x, y, z) = 0 jeśli ψ ∈L2 x→±∞
Otrzymaliśmy zatem :
< ψ1 | p^x | ψ2 > = < ψ2 | p^x | ψ1 >*
z czego, zgodnie z (2.6) wynika, że p^x jest operatorem hermitowskim.
4. Stany o określonych wartościach wielkości fizycznych.
W punkcie 2 pokazano jak znajdować rozkład wielkości fizycznej F w dowolnym stanie ψ.
Czy istnieją jednak takie stany dla których rozkład sprowadza się do jednego punktu, a wynik pomiaru danej wielkości odpowiadającej takiemu rozkładowi może być uzyskany jednoznacznie ?
Oczywiście, że nie są to tylko te stany ψ dla których dyspersja wielkości F jest równa zeru.
Dyspersja jest wartością średnią wielkości ( F – F− )2 której zgodnie z ogólną zasadą (2.1) należy przyporządkować operator :
D^F = ( F – F− )2 (4.1)
Wartość średnia tej wielkości w szukanym stanie jest dana :
D^F = < ψ | ( F – F− )2 | ψ > = 0
tj. :
|| ( F^ – F− ) ψ ||2 = 0 Stąd otrzymujemy : ( F^ – F− )ψ = 0
tj. szukanymi są stany, które opisywane są przez wektory własne operatora F^. Naturalnym jest, że w takich stanach wartości średnie są równe jednej z wartości własnych :
F− = Fn
Czy istnieją stany w których wiele wielkości fizycznych ma określone wartości ? Dla odpowiedzi na to pytanie istotne jest następujące twierdzenie ( Dodatek 5 ) :
Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia w L2 ogólnego zbioru zupełnego funkcji własnych dwóch operatorów hermitowskich A^, B^ o spektrach czysto dyskretnych jest ich komutowanie.
Zatem, jeśli operatory pewnych wielkości fizycznych A i B o spektrach czysto dyskretnych komutują ze sobą , to w L2 istnieje nieskończony zbiór stanów liniowo niezależnych φn w każdym z których obie te wielkości mają określone wartości :
A^ φn = An φn , B^ φn = Bn φn (4.2)
Co można powiedzieć o stanach w których więcej niż dwie wielkości fizyczne mają określone wartości ? Ile jest takich wielkości ?
Oczywiście w ogólnym przypadku jest ich tyle ile istnieje wzajemnie komutujących operatorów wielkości fizycznych.
Jednakże nie wszystkie te wielkości będą niezależne – może się okazać, że niektóre z nich będą funkcjami innych.
Zbiór niezależnych wielkości fizycznych będziemy nazywali zupełnym dla danego układu, jeśli operatory wszystkich tych wielkości komutują między sobą i zbiór ten nie może być rozszerzony. Odpowiedni zbiór operatorów
hermitowskich nazwiemy również zupełnym.
5. Relacja nieoznaczoności.
Omówimy teraz przypadek, kiedy dwa operatory wielkości fizycznych nie komutują między sobą :
[ A^, B^ ] ≠ 0 (5.1)
Z twierdzenia przedstawionego w poprzednim punkcie wynika, że nie istnieją stany w których każda z tych wielkości fizycznych posiada określoną wartość, jedynie jako wyjątki takie stany mogą się przytrafić w wyniku „przecięcia”
nieskończenie zupełnych zbiorów funkcji własnych każdego z operatorów A^ i B^. Innymi słowy, w dowolnym stanie w skrajnym przypadku jedna z wielkości A lub B posiada niezerową dyspersje, W MQ duże znaczenie mają zależności ściśle ograniczające od dołu iloczyny dyspersji wielkości fizycznych, którym odpowiadają niekomutujace operatory.
Przykładem takiej zależności jest dobrze znana zależność nieokreśloności Heisenberga dla współrzędnej i pędu cząstki :
∆x ∆p ≥ ½ ħ (5.2)
W dalszej kolejności wyprowadzimy zależność nieokreśloności w ogólnej postaci dla dwóch dowolnych niekomutujących operatorów, a następnie otrzymamy z niej zależność (5.2).
Niech A i B będą dwiema wielkościami fizycznymi. Komutator ich operatorów zawsze można przedstawić w następującej postaci ( zobacz ćwiczenie 1.4 ) :
[ A^, B^ ] = iC^ (5.3)
gdzie : C^ - pewien operator hermitowski ( C† = C^ ).
Wprowadzimy operatory :
∆A^ = A^ − A− ; ∆B^ = B^ − B− (5.4)
gdzie : A− , B− - wartości średnie A, B w stanie ψ.
Operatory te spełniają zależność :
[ ∆A^ , ∆B^ ] = iC^ (5.5)
Dyspersje wielkości A, B w stanie ψ możemy przedstawić w postaci :
D^A = < ψ | ( ∆A^ )2 | ψ > = || ∆A^ ψ ||2 (5.6)
D^B = || ∆B^ ψ ||2 (5.6)
Pokażemy, że normy wektorów ∆A^ ψ i ∆B^ ψ spełniają następującą nierówność :
|| ∆A^ ψ || × || ∆B^ ψ || ≥ ½ | < ψ | C^ | ψ > | (5.7)
Dla dowolnych dwóch wektorów spełniona jest bowiem zależność :
|| f || × || g || ≥ | < f | g > | (5.8)
| < f | g > | ≥ | Im < f | g > | (5.8)
Z drugiej strony otrzymujemy :
Gdzie : C− - jest liczbą rzeczywistą, ponieważ C^ jest operatorem hermitowskim.
Zatem :
D^A D^B ≥ ( ½ C− )2 (5.9)
tj. iloczyn dwóch dyspersji dowolnych dwóch wielkości fizycznych A , B w dowolnym stanie w dowolnej chwili czasu jest ograniczony od dołu przez liczbę ¼ ( C− )2 .
Nierówność (5.9) nazywa się zależnością nieokreśloności dla wielkości A, B.
Szczególnie interesującym przypadkiem jest przypadek, kiedy komutator jest pewną ( czysto urojoną ) stałą, różną od zera :
{ A^, B^ ] = iK , K ≠ 0 (5.10)
wtedy :
D^A D^B ≥ ¼ K2 > 0 tj. D^A > 0 , D^B > 0 (5.11)
Odpowiednio w tym przypadku w L2 nie tylko nie istnieje stan w którym wielkości A , B mają jednocześnie określone wartości ,ale nawet nie istnieje stan w którym choćby jedna z nich miała określoną wartość.
Przykładem takich wielkości są współrzędna x i pęd px cząstki.
Zgodnie z (3.6) komutator operatorów x^ i p^x ma postać :
[ x^ , p^x ] = iħ (5.12)
I odpowiednio :
D^x D^px ≥ ¼ ħ2 > 0 (5.13)
tj. w L nie istnieją stany w których współrzędna cząstki i odpowiadająca jej składowa pędu mogą mieć jednocześnie zerowe dyspersje. Przy tym, im dokładniej lokalizowana jest pewna współrzędna cząstki, tym większa jest minimalna nieokreśloność odpowiadającej jej składowej pędu i na odwrót.
Wprowadzając oznaczenia :
∆x ≡ ( D^x )2 , ∆p ≡ ( D^px )2 Możemy zapisać (5.13) w postaci (5.2).
Ćwiczenia do wykładu 1.
1.1 Niech A^, B^, C^, ..., F^ - będą pewnymi operatorami liniowymi. Udowodnić zależność (D.2.8) : ( A^B^C^...F^ )† = F^† … C^† B^† A^†
1.2 Znaleźć operatory hermitowsko sprzężone do następujących operatorów : a) d/dx , b) x^ d/dx , c) p^x d/dx , d) x^ p^x
1.3 Dowieść unitarności operatora eiA^ , jeśli A^ - operator hermitowski.
1.4 Pokazać, ze komutator dowolnych dwóch operatorów hermitowskich A^, B^ zawsze może być przedstawiony w postaci (5.3) ( C^ - jest pewnym operatorem hermitowskim )
1.5 Pokazać, że iloczyn dwóch operatorów hermitowskich A^, B^ zawsze można przedstawić w postaci : A^B^ = C^ + D^
Gdzie : C^ - operator hermitowski, a D^ spełnia zależność D^† = – D^.
Znaleźć C^, D^.
1.6 Funkcja falowa stanu podstawowego atomu wodoru ma postać : ψ(r) = A exp( -r/a )
gdzie : a = ħ2 / µe2 , µ – masa elektronu, e – ładunek elektronu , A – stała normująca.
Określić A i znaleźć średnią wartość energii potencjalnej oddziaływania elektronu z jądrem V = -e2/r
w tym stanie.
1.7 Dowieść następujących zależności komutacyjnych :
1.8 Uprościć następujące komutatory :
a) [ p^x , f(x, y, z ) ] , b) [ p^x , x^n ] , c) [ x, T^ ] , e) [ p^x , [ f(x, y, z ), p^x ] ]
1.9 Pokazać, że operatory kwadratu momentu pędu L^2 oraz jego rzuty na osie x, y, z we współrzędnych sferycznych mają postać :
1.10 Pokazać, że wartości własne I funkcje własne operatora L^z we współrzędnych sferycznych mają postać : Lz = mħ
ψm (x) = A exp( imφ) gdzie : m = 0, ±1, ±2 , …
Znaleźć współczynnik normujący A.
1.11 Znaleźć wartości własne i funkcje własne operatora L^z2.
*************************************************************************************************
Dodatek 1 Przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem L2.
W punkcie 1 wprowadzono liniową przestrzeń Hilberta L2 , która została zdefiniowana jako zbiór wszystkich zespolonych funkcji , całkowalnych z kwadratem n zmiennych rzeczywistych. Można pokazać, że przestrzeń ta jest nieskończenie wymiarowa , tj. istnieje w niej nieskończenie wiele wektorów liniowo niezależnych.
Ważna własnością przestrzeni L2 jest istnienie w niej zupełnych ortonormalnych zbiorów wektorów {φi }1∞
( < φi | φk > = δik ). Jak wiadomo, zbiór ortonormalnych wektorów nazywamy zupełnym w danej przestrzeni, jeśli nie ma w nim żadnego wektora, różnego od zera i ortogonalnego do wszystkich wektorów tego zbioru.
Zatem, zbiór { φi } nazywamy zupełnym, jeśli z równości < ψ | φi > = 0 , gdzie φi jest dowolnym wektor zadanego zbioru wynika, że ψ = 0. Innymi słowy, zbiór ortonormalny jest zupełny, jeśli nie może on być rozszerzony poprzez dołączenie innych wektorów rozpatrywanej przestrzeni. Zbiór zupełny w L2 zawsze zawiera nieskończoną ilość wektorów.
W punkcie 1 wprowadzono również iloczyn skalarny < ψi | ψk >, określony dla dowolnych dwóch elementów ψi , ψk ∈ L2 . Jedną z własności iloczynu skalarnego jest własność :
< ψi | ψk > ≥ 0 (D1.1)
przy czym znak równości zachodzi tylko wtedy, kiedy ψi = 0.
Własność ta pozwala wprowadzić w L2 normę , w tym celu wykorzystuje się zależność :
|| ψ || = + sqrt ( < ψ | ψ > ) (D1.2)
Ważną własnością przestrzeni L2 jest to, że dowolny zbiór zupełny wektorów ortonormalnych {φi }1∞ tworzy bazę ortonormalną w tej przestrzeni, tj. dowolny wektor ψ ∈ L2 można przedstawić jednoznacznie w postaci :
∞
ψ = Σak φk (D1.3)
k=1 gdzie :
ak = < φk | ψ >
Rozkład ten należy rozumieć w sensie spełnienia zależności : n
lim || ψ − Σ ak φk || = 0 (D1.4)
n →∞ k=1 tj. :
lim ∫ || ψ(ξ ) −Σak φk (ξ ) || = 0
n →∞ k=1
Łatwo sprawdzić, że warunek (D1.4) jest równoważny zależności : ∞
∫ | ψ(ξ ) |2 dξ = Σ| ak |2 (D1.5)
k=1
którą nazywamy równaniem zamkniętości.
Warunki (D1.3) lub (D1.5) są nie tylko warunkami koniecznymi ale i wystarczającymi zupełności zbioru {φi }1∞ . Pokażemy teraz, że warunek (D1.5) jest równoważny następującej zależności :
∞ Σ φk (ξ ) ψk*(ξ’ ) = δ( ξ − ξ’ ) (D1.6)
k=1
gdzie : δ( ξ−ξ’ ) – funkcja uogólniona, którą nazywamy funkcją delta Diraca ( zobacz Dodatek 4 ) Niech warunek (D1.6) jest spełniony , wtedy mamy :
∞ ∞ ∞
Σ | ak |2 = Σ | < ψk | ψ > )2 = ∫ ψ(ξ ) ψ*(ξ’ ) ( Σ φk* (ξ ) φk(ξ’ ) ) dξdξ’ = k=1 k=1 k=1
= ∫ψ(ξ ) ψ*(ξ’ )δ( ξ−ξ’ ) dξdξ’ = ∫ | ψ(ξ ) |2 dξ tj. z (D1.6) wynika (D1.5).
Teraz niech będzie spełniony warunek (D1.5), wtedy :
∞ ∞
Σ | ak |2 = ∫ ψ(ξ ) ψ*(ξ’ ) ( Σ φk* (ξ ) φk(ξ’ ) ) = ∫ | ψ(ξ ) |2 dξ k=1 k=1 Z tej równości wynika, że :
∞
∫ ψ*(ξ’ ) ( Σ φk* (ξ ) φk(ξ’ ) ) dξ’ = ψ*(ξ ) k=1
tj. :
∞ Σ φk* (ξ ) φk(ξ’ ) = δ( ξ − ξ’ ) k=1
czego właśnie należało dowieść.
Zatem, warunek (D1.6) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym zupełności w L2 zbioru ortounormowanego {φi }1∞ .
Dodatek 2. Operatory liniowe.
Operator F^ nazywamy liniowym, jeśli : k k
F^ ( Σ ai ψi ) = Σ ai F^ψi (D2.1)
i=1 i=1
gdzie : { φi }1k – dowolne wektory z obszaru określoności DF^ operatora F^ , { ai }1k – dowolne liczby zespolone.
Operator F^-1 – nazywamy odwrotnym w stosunku do operatora F^ , jeśli spełnia on zależność :
F^F–1 = F^–1F^ = I^ (D2.2)
gdzie : I^ - operator jednostkowy.
Operator F^† nazywamy hermitowsko sprzężonym względem operatora F^, jeśli oba te operatory mają jednakowy obszar określoności i spełniona jest zależność :
< F^ ψ1 | ψ2 > = < ψ1 | F^†ψ2 > (D.2.3)
W oznaczeniach :
< ψ1 | A^ | ψ2 > = < ψ1 | A^ψ2 > (D.2.4)
warunek sprzężenia hermitowskiego zapisujemy w postaci :
< ψ1| F^† | ψ2 > = < ψ2 | F^ | ψ1 >* (D.2.5)
Operator F^ nazywa się hermitowskim lub samosprzężonym, jeśli F^† = F^. Operator hermitowski spełnia zatem następującą zależność :
< ψ1| F^ | ψ2 > = < ψ2 | F^ | ψ1 >* (D.2.6)
gdzie : ψ1, ψ2 – dowolne wektory z obszaru określoności F^.
Dwa operatory A^, B^ przyjmujemy jako równe : A^ = B^
Jeśli ich obszary określoności pokrywają się i jeśli na każdym elemencie ψ z ich obszarów określoności wartości tych operatorów są równe :
A^ψ = B^ψ
Dla dowolnych operatorów A^, B^ słuszna jest następująca zależność :
( A^B^ )† = B^† A^† (D.2.7)
Stąd wynika ogólna zależność :
( A^B^C^ … F^ )† = F^† …. C^†B^† A^† (D.2.8)
Operator liniowy F^ nazywamy unitarnym, jeśli :
F^F^† = F^† F^ = I^ (D.2.9)
Zatem, operator unitarny spełnia zależność :
F^† = F^-1 (D.2.10)
Dowiedziemy teraz rzeczywistości spektrum dyskretnego operatora hermitowskiego. Niech φn – będzie funkcją własną operatora hermitowskiego F^, należącą do wartości własnej Fn.
F^φn = Fnφn , φn ≠ 0 Stąd otrzymujemy :
Fn = < φn | F^ | φn > / < φn | φn >
Fn* = <φn | F^ | φn >* / < φn | φn >* = < φn | F^† | φn > / < φn | φn >
tj. Fn* = Fn
Wykorzystaliśmy tutaj własność (D2.6) operatora hermitowskiego.
Pokażemy teraz, że funkcje własne należące do różnych wartości własnych są wzajemnie ortogonalne. Mamy bowiem : F^φn = Fnφn , F^φm = Fmφm , Fn ≠ Fm
Pomnóżmy pierwsze równanie skalarnie przez φm , a drugie przez φn i odejmijmy od pierwszego równania równanie sprzężone do drugiego :
Fn <φn | φn > − Fm* = <φn | φm >* = < φm | F^ | φn > − < φn | F^ | φm >*
Wykorzystując hermitowskość operatora F^ oraz rzeczywistość jego wartości własnych, otrzymujemy : ( Fn − Fm ) < φm | φn > = 0
Ponieważ Fn ≠ Fm to :
< φm | φn > = 0
Wartość własna Fn , której odpowiada kilka niezależnych wektorów φnα ( α = 1, 2, ... , N ) nazywa się zdegenerowana, a liczba N nazywa się krotnością zdegenerowania tej wartości własnej.
Wektory {φnα }α=1N ogólnie mówiąc, nie są wzajemnie ortogonalne, jednak jak wiadomo z algebry liniowej zawsze istnieje takie przekształcenie liniowe {φnα }α=1N , że nowy zbiór { ψnβ }β=1N będzie należał do wartości własnej Fn a wszystkie wektory ze zbioru {ψnβ } będą wzajemnie ortogonalne. Zatem, możemy przyjąć, że wszystkie wektory własne operatora hermitowskiego są wzajemnie ortogonalne. Oprócz tego, wszystkie te wektory można przyjąć jako unormowane do jedności, ponieważ jeśli || ψn || ≠ 1, to w miejsce ψn można rozpatrywać wektor ψ’k = ψk / || ψk ||, który spełnia warunek || ψ’k || = 1.
W dalszej części będziemy przyjmowali, że wszystkie wektory własne operatora hermitowskiego tworzą zbiór ortonormalny :
< φk | φm > = δkm (D2.11)
W matematyce dowodzi się, ze zbiór wszystkich ortonormalnych wektorów własnych operatora hermitowskiego o spektrum czysto dyskretnym jest zbiorem zupełnym w przestrzeni L2 , a zatem jest bazą w tej przestrzeni.
Dodatek 3. Funkcje operatorów.
Niech F^ - będzie operatorem pewnej wielkości fizycznej, posiadającym funkcje własne { φn (ξ ) } oraz uogólnione funkcje własne { χf (ξ )} :
F^φn (ξ ) = Fnφn (ξ ) (D3.1)
F^χf (ξ ) = f χf (ξ ) (D3.2)
Gdzie : { Fn } i { f } – punkty spektrum operatora F^.
Niech p(x) – będzie pewną jednoznaczną funkcją zmiennej x. Wtedy zgodnie z definicją przyjmujemy, że wynik działania funkcji operatorowej p(F^) na funkcje własne i uogólnione funkcje własne operatora F^ zadany jest następującymi wzorami :
p(F^ )φn (ξ ) = p(Fn ) φn (ξ ) (D3.3)
p( F^) χf (ξ ) = p(f) χf (ξ ) (D3.4)
Ponieważ zgodnie z (2.20) dowolną funkcję ψ(ξ ) należącą do L2 można przedstawić w postaci rozkładu względem zbioru zupełnego { φn } , { χf } w postaci :
ψ(ξ ) = Σ an φn (ξ ) + ∫ af χf (ξ ) df (D3.5) { Fn } { f }
an = < φn | ψ > , af = < χf | ψ >
to otrzymujemy :
p(F^ ) ψ(ξ ) = Σ an p(Fn ) φn(ξ ) + ∫ af p(f) χf (ξ ) df (D3.6) { Fn } { f }
Zależność ta pozwala znaleźć wynik działania dowolnej funkcji operatorowej na dowolna funkcję należącą do L2.
Szczególnie prostą postać forma ta przyjmuje w tym przypadku, kiedy funkcja p(x) może być rozłożona w szereg Taylora :
∞
p(x) = Σcm xn (D3.7)
m=0
W tym bowiem przypadku : ∞
p(F^ ) ψ(ξ) = Σcm ( Σan Fnm φn(ξ ) + ∫ af fm χf (ξ ) df ) (D3.8)
{ Fn } { f }
Wykorzystując (D3.1), (D3.2), (D3.5) otrzymujemy : ∞
p(F^)ψ(ξ) = Σ cm F^m ψ(ξ ) m=0
Ponieważ funkcja ψ(ξ) jest dowolna, wynika stąd, że : ∞
p(F^) = Σcm F^m (D3.9)
m=0
Dodatek 4 Funkcja Delta Diraca.
Funkcja delta Diraca ( δ-funkcja ) jest przykładem funkcji uogólnionej i określa się ją jako funkcjonał liniowy na zbiorze funkcji ciągłych S. Niech φ(ξ) – będzie dowolnym elementem zbioru S. Wtedy δ-funkcje definiujemy jako wartość funkcji φ(ξ) w punkcie ξ = 0 , tj. :
δ[ φ(ξ) ] = φ(0) (D4.1)
Zależność tą przyjęło się zapisywać w postaci iloczynu skalarnego pewnej funkcji δ(ξ) i funkcji φ(ξ) :
δ[ φ(ξ) ] = < δ(ξ) | φ(ξ) > = ∫ δ(ξ) φ(ξ) dξ = φ(0) (D4.2)
chociaż łatwo pokazać, że nie istnieje żadna funkcja δ(ξ) , która spełniałaby taką równość.
W matematyce dowodzi się, że δ-funckja może być przedstawiona w postaci granicy łańcucha funkcji { fν (ξ)}1∞ należących do przestrzeni L2.
δ(ξ) = lim fν (ξ) (D4.3)
ν →∞
przy czym granica ta rozumiana jest w następującym sensie :
lim < fν (ξ) | φ(ξ) > = < δ(ξ) | φ(ξ) > = φ(0) (D4.4)
ν →∞
gdzie : φ(ξ) – dowolna funkcja z S.
Najczęściej wykorzystuje się następujące reprezentacje δ-funkcji :
δ(x) = lim (1/π) [ sin(νx)/ x] = lim ( ν/√π) e-ν2x2 = lim (1/π) [ ν /( ν2x2 + 1 ) ] = lim sin2 (νx) / πx2ν (D.4.5) ν →∞ ν →∞ ν →∞ ν →∞
Wykorzystując pierwszą z tych zależności łatwo pokazać, że : ν ∞
δ(x) = lim (1/2π) (1/2π) ∫ eikx dk = (1/2π) ∫ eikx dk (D4.6)
ν →∞ -ν -∞
Funkcja delta spełnia następujące zależności :
δ(-x) = δ(x) (D4.7)
xδ(x) = 0 (D4.8)
δ(ax) = (1/ | a | ) δ(x) , a ≠ 0 (D4.9)
f(x) δ(x – a ) = f(a) δ( x – a ) (D4.10)
n
δ[ f(x) ] = Σ δ( x – xi ) / | df(x) / dx | x = xi | (D4.11)
i=1
gdzie : xi – zera funkcji f(x) , n – liczba zer na całej osi x.
Wszystkie te zależności mają taki sens, że lewa i prawa cześć każdej z równości są równoważne przy wykorzystaniu ich w „iloczynach skalarnych” typu (D4.2)
Poprzez zamianę zmiennych łatwo pokazać, że :
∫ δ(ξ − ξ0 ) ψ(ξ ) dξ = φ(ξ0 ) (D4.12)
W zastosowaniach często wykorzystuje się wzór :
lim ( x – iε )-1 = ℜ (1/x) + iπδ(x) (D4.13)
gdzie symbol ℜ wskazuje na to, że obliczenia całki należy prowadzić w sensie wartości globalnej.
Dodatek 5. Twierdzenie o operatorach komutujących.
Dowiedziemy teraz twierdzenia sformułowanego w paragrafie 4.
Dwa operatory hermitowskie A^, B^ o spektrach czysto dyskretnych mają w L2 ogólny zbiór zupełny funkcji własnych wtedy i tylko wtedy, kiedy ich komutator jest równy zeru
[ A^, B^ ] = 0
Dowód konieczności. Niech { φk }1∞ - będzie zbiorem zupełnym funkcji własnych operatorów A^, B^ , tj. : A^φn = Anφn , B^φn = Bn φn
Wtedy dowolny wektor ψ z obszaru określoności operatorów A^B^ i B^A^ można przedstawić w postaci : ∞
ψ = Σ ak φk
m=0 Dlatego :
[ A^, B^ ]ψ = ( A^B^ − B^A^ ) Σak φk = Σak ( Ak Bk − Bk Ak ) φk = 0 tj. [ A^, B^ ]ψ = 0 co właśnie mieliśmy dowieść.
Dowód warunku wystarczającego. Niech [ A^, B^ ]ψ = 0, gdzie ψ - dowolny wektor z obszaru określoności operatorów A^B^ i B^A^.
Rozpatrzmy zbiór Γ – wszystkich wektorów własnych należących do wartości własnej A, operatora A^ , tj. jeśli φ ∈ Γ, to A^φ = Aφ
Łatwo sprawdzić, że Γ - jest przestrzenią liniową wymiar której jest równy krotności zdegenerowania wartości własnej A. Bowiem, z tego, że ψ1 , ψ2 ∈Γ , wynika :
A^ ( a1φ1 + a2 φ2 ) = a1 A^φ1 + a2 A^ φ2 = a1Aφ1 + a2Aφ2 = A( a1φ1 + a2φ2 ) tj. ( a1φ1 + a2φ2 )∈ Γ
Łatwo sprawdzić również spełnienie wszystkich innych aksjomatów przestrzeni liniowej.
Pokażemy teraz, że operator B^ komutujący z A^ nie wyprowadza wektorów z przestrzeni Γ.
Niech φ∈Γ , wtedy :
A^ ( B^φ ) = B^ (A^φ) = B^Aφ = A(B^φ) tj. A^ (B^φ) = A(B^φ)
Odpowiednio B^φ – jest wektorem własnym operatora A^ należącym do wartości własnej A, tj. B^φ ∈ Γ
Dlatego możemy rozpatrywać operator B^ jako operator działający tylko w przestrzeni Γ. Ponieważ dowolny operator hermitowski w przestrzeni skończenie wymiarowej posiada zupełny w tej przestrzeni zbiór wektorów własnych, to można twierdzić, ze B^ ma w Γ zbiór zupełny wektorów własnych {ψk }.
Zatem dowolny wektor φ ∈ Γ można przedstawić w postaci rozkładu względem tego zbioru : φ = Σ ak ψk
k
gdzie wszystkie ψk są wektorami własnymi B^ i jednocześnie wektorami własnymi A^, należącymi do wartości własnej A. Zatem, dowiedliśmy, że w Γ istnieje ogólny zbiór zupełny wektorów własnych operatorów A^ i B^.
Niech { φk }1∞ - będzie zbiorem zupełnym wektorów własnych A^ w przestrzeni L2 , wtedy dowolny wektor ψ ∈L2 można przedstawić w postaci :
∞ ψ = Σ ak φk
m=0
a dowolny wektor φk można przedstawić – jak to właśnie dowiedliśmy – w postaci kombinacji liniowej wektorów własnych operatorów A^, B^.
Zatem, dowiedliśmy, że dla dwóch komutujących operatorów hermitowskich A^, B^ ∈L2 istnieje zbiór zupełny
*************************************************************************************************
Wykład 2
6. Równanie Schrödingera.
Wyjaśniliśmy już, jak znając funkcje falową stanu ψ(ξ, t) określić rozkład różnych wielkości fizycznych w tym stanie.
Jednakże do tej pory pozostawało otwarte pytanie o to, w jakich stanach ψ∈ L2 może znajdować się dany układ fizyczny. W MQ postuluje się, że może się on znajdować w tych i tylko w tych stanach, których funkcje falowe spełniają warunek :
iħ ∂ψ(ξ, t)/∂t = H^ ψ(ξ, t) (6.1)
gdzie : H^ - hamiltonian danego układu.
Warunek ten przedstawia sobą liniowe, jednorodne rr względem funkcji falowej ψ(ξ, t). Nazywamy je równaniem Schrödingera lub równaniem falowym. Razem z warunkami początkowymi równanie Schrödingera określa jednoznacznie stan układu w dowolnej chwili czasu.
Niech ψ1(ξ, t) i ψ2(ξ, t) – będą dwoma dowolnymi rozwiązaniami równaniami Schrödingera. Na mocy jego liniowości liniowa kombinacja tych funkcji :
ψ(ξ, t) = α ψ1(ξ, t) + βψ2(ξ, t)
jest również jego rozwiązaniem. Zatem, dowolna kombinacja liniowa funkcji falowych dowolnych stanów układu jest funkcją falową pewnego, możliwego stanu tego układu. Stwierdzenie to nazywa się zasadą superpozycji stanów.
Jeśli hamiltonian układu H^ nie zależy od czasu, to formalnie możemy zapisać rozwiązanie równania Schrödingera w postaci :
ψ(ξ, t) = U^(t, t0 ) ψ(ξ, t) (6.2)
gdzie :
∞
U^(t, t0 ) = exp[ - (i /ħ) H^ (t – t0 ) ] ≡ Σ (1/k! ) [ – (i/ k! ) H^ t )k (6.3) k=0
jest operatorem ewolucji układu, a ψ(ξ, t0 ) – funkcja falowa przy t = t0 odgrywająca rolę warunku początkowego.
Jednakże w praktyce obliczenie prawej części wyrażenie (6.2) jest trudniejsze niż rozwiązanie rr (6.1)
7. Równanie Schrödingera dla jednej cząstki. Równanie ciągłości.
Hamiltonian układu składającego się z jednej cząstki o masie µ, która porusza się w pewnym stałym polu potencjalnym V(r ) , ma postać :
H^ = –( ħ2 /2µ)∇2 + V(r ) (7.1)
W tym przypadku równanie Schrödinger’a przedstawia sobą rrc pierwszego rzędu względem czasu i drugiego rzędu względem współrzędnych przestrzennych :
iħ ∂ψ(r, t)/ ∂t = – [ (ħ2 /2µ)∇2 + V(r )] ψ(r, t) (7.2)
Ponieważ równanie to zawiera drugie pochodne względem współrzędnych i powinno być ono spełnione we wszystkich punktach przestrzeni, funkcja falowa ψ(r, t) i jej pierwsze pochodne po współrzędnych czasowo przestrzennych powinny być ciągłe w całej przestrzeni, włączając w to wszystkie powierzchnie nieciągłości potencjału V(r ), jeśli takowe istnieją.
Funkcja falowa ψ(r, t) jest określona jednoznacznie przez równanie Schrödingera, jeśli jest ona zadana w całej przestrzeni przy t = 0 i jest ona całkowalna z kwadratem :
∫ | ψ(r, t) |2 d3r = 1 (7.2a)
Pokażemy teraz, że wszystkie rozwiązania równania (7.2) spełniają pewne inne równanie, które jest analogiczne do równania ciągłości w elektrodynamice lub mechanice ośrodków ciągłych.
Wprowadzając równanie sprzężone zespolenie do równania (7.2) otrzymujemy :
iħ ∂ψ*(r, t)/ ∂t = – [ ( ħ2 /2µ)∇2 + V(r)] ψ*(r, t) (7.3)
Mnożąc równanie (7.2) przez ψ*, a (7.3) przez ψ i odejmując od pierwszego wyniku wynik drugiego działania otrzymamy :
iħ [ ψ* (∂ψ/∂t) + ψ (∂ψ/∂t) ] = – (ħ2 /2µ) (ψ*∇2ψ + ψ∇2ψ* ) = – (ħ2 /2µ) ∇( ψ*∇ψ + ψ∇ψ* ) Wprowadzimy teraz gęstość rozkładu :
ρ(r, t) = | ψ(r, t ) |2 (7.4)
oraz pewien wektor :
j(r , t) = – ( ħ /2µi ) ( ψ*∇ψ + ψ∇ψ* ) (7.5)
