Temat: Ćwiczenia w rozwiązywaniu układów równań.
Zadanie 1
Rozwiąż poniższe układy równań metodą podstawiania.
a)
W metodzie podstawiania super byłoby, żeby jedna z niewiadomych „x” lub „y” miały przed sobą jedynkę. Jeśli nigdzie tak nie ma sprawdź, czy któreś z równań nie da się podzielić przez taką liczbę, przez którą dzielą się wszystkie współczynniki w tym równaniu. Zobacz:
{ 4 x +2 y=6 /:2 9 x−7 y=25
{ 9 x −7 y=25 2 x+1 y=3
w pierwszym równaniu przed „y” stoi jedynka, więc z pierwszego równania wyprowadzamy „y”{ 9 x −7 y=25 y=3−2 x
podkładamy teraz do drugiego równania zamiast „y” wyrażenie 3-2x{ 9 x −7(3−2 x )=25 y =3−2 x
{ 9 x −21+14 x=25 y=3−2 x
{ 9 x +14 x=25+21 y =3−2 x
{ 23 x=46/:23 y=3−2 x
{ y=3−2 x x=2
podkładamy teraz do pierwszego równania zamiast „x” liczbę 2{ y=3−2∙ 2 x =2
{ y=3−4 x=2
{ y=−1 x=2
Odp.: Rozwiązaniem układu jest x=2 oraz y= -1.
b)
Upraszczamy równania w układzie równań:
{ 2 x −2 y −10=4 x =−3 y+3 y +3
{ 2 x−2 y=4+10 x=3
{ 2 x−2 y=14 x=3
Po uproszczeniu drugiego równania mamy, że x=3;podkładamy ten wynik do pierwszego równania{ 2 ∙ 3−2 y=14 x =3
{ 6−2 y=14 x=3
{ −2 y =14−6 x=3
{ −2 y =8/:(−2)
x=3
{ y=−4 x=3
Odp.: Rozwiązaniem układu jest x=3 oraz y= -4.
Zadanie 2
Rozwiąż poniższe układy równań metodą przeciwnych współczynników.
a)
W tej metodzie przy „x” lub przy „y” (to nasza decyzja) w obu równaniach musimy mieć przeciwne współczynniki. Ja decyduję się uzyskać przeciwne współczynniki przy „y” . Teraz przy „y” stoi: 2 oraz 3.
Ponieważ 2∙3=6, będę dążyć do tego, żeby przy „y” stały:6 oraz -6 (nieważne, czy 6 w górnym równaniu a -6 w dolnym, czy odwrotnie)
{ 5 x +2 y=13/∙(−3) 7 x+3 y=17/∙ 2
{ −15 x−6 y=−39
14 x +6 y =34
jak mamy już przeciwne liczby przy „y” podkreślamy układ i sumujemy stronami-15x-6y+14x+6y= -39+34 -1x=-5 /: (-1)
x=5 wybieram teraz jedno z równań układu, np.:5x+2y=13 i podstawiam do niego za x wartość 5
5x+2y=13 5∙5+2y=13 25+2y=13 2y=13-25 2y=-12 /:2 y= -6
Odp.: Rozwiązaniem układu jest x=5 oraz y= -6.
b)
Uprośćmy równanie pierwsze w naszym układzie
{ 2 x+8 4 5 x−2 y =−9 − x +8 3 = y+ x 4
Aby pozbyć się mianowników w pierwszym równaniu, mnożymy go przez 12
{ 12 ∙ 2 x+8 4 −12∙ x+8 3 =12∙ y +12∙ x 4 5 x−2 y=−9
{ 3 (2 x+8)−4 ( x +8)=12 y +3 x 5 x−2 y=−9
{ 6 x +24−4 x−32=12 y +3 x 5 x−2 y=−9
{ 6 x −4 x−3 x−12 y=−24+32 5 x−2 y=−9
{ −1 x−12 y=8
5 x−2 y=−9
Wystarczy pierwsze równanie pomnożyć przez 5, wtedy przy „x” będą przeciwne współczynniki{ −1 x−12 y=8 /∙ 5 5 x−2 y =−9
{ −5 x−60 y =40 5 x −2 y =−9
-5x -60y +5x -2y = 40 -9 -62y = 31 /: (-62) y= -0,5Wybieramy teraz jedno z równań układu, np.: 5x-2y= -9 i podstawiam w nie za y wartość (-0,5) 5x-2y= -9
5x-2∙(-0,5)= -9 5x+1= -9 5x= -9-1 5x= -10 / :5 x= -2
Odp.: Rozwiązaniem układu jest x= -2 oraz y= -0,5.
Temat: Powtórzenie wiadomości.
Zadanie 1
Napisz wzór funkcji liniowej, do wykresu której należą punkty A(-4, 13), B(20, -5)
Teraz pokażę wam drugi sposób tworzenia wzoru funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty. Pierwszy omówiliśmy w dziale poprzednim (liczyliśmy z odpowiedniego wzoru współczynnik a; podstawialiśmy go do wzoru y= ax +b ; Później podkładaliśmy w ten wzór dane jednego z punktów)
Wzór funkcji liniowej to y=ax+b. Tworzymy układ równań. W pierwszym równaniu do wzoru funkcji liniowej podstawiamy dane punktu A, a w drugim równaniu dane punkty B. Podpiszcie nad każdym z punktów: x,y.
{ 13=a ∙ (−4 )+b
−5=a ∙20+b
{ 13=−4 a+b −5=20 a+b
Jedno z równań, np. pierwsze mnożę przez (-1);uzyskam przeciwne współczynniki przy „b”{ 13=−4 a+b /∙(−1)
−5=20 a+b
{ −13=4 a−b −5=20 a+b
-13-5= 4a –b +20a +b -18 = 24a24a=-18 /: 24 a=
−18
24
a=− 3 4
Wybieram jedno z równań np.: -13= 4a – b w które podstawiam wyliczoną wartość „a”
-13= 4a – b -13= 4∙(
− 3
4
) – b skracamy mianownik 4 ze stojącą przy nim 4-13= -3 –b b= -3+13 b=10
Uzupełniamy teraz wzór funkcji liniowej o wyliczone współczynniki a oraz b y=
− 3
4
x+10Zadanie 2
Zmieszano dwa roztwory soli kuchennej, jeden o stężeniu 10% i drugi o stężeniu 40%. Ile było kilogramów każdego rodzaju roztworu, skoro otrzymano 12kg roztworu 25%?
x- ilość kilogramów I roztworu y- ilość kilogramów II roztworu 12kg- ilość kilogramów mieszaniny
Stężenie procentowe w zadaniu oznacza, ile procent całego roztworu stanowi sól 10%x – ilość soli w I roztworze
40%y – ilość soli w II roztworze
25%∙12 – ilość soli w powstałej mieszaninie Układamy układ równań:
{ 10 %x+40%y=25 %∙ 12 x+ y =12
{ 0,10 x +0,40 y=0,25∙ 12 x + y=12
{ 0,10 x +0,40 y=3 x + y =12
Pomnóżmy drugie równanie prze 10 aby pozbyć się ułamków dziesiętnych{ 1 x +4 y =3 0 x+ y=12
Ja rozwiążę układ metodą przeciwnych współczynników. Jeśli pomnożę pierwsze równanie przez (-1) to uzyskam przeciwne współczynniki przy „x” w obu równaniach
{ x + y =12/∙ (−1) 1 x+4 y=30
{ −1 x−1 y=−12 1 x+4 y=30
-1x -1y +1x +4y= -12 +30 3y=18 /: 3y=6 Wybieram jedno z równań układy, np.: x+y=12 do którego za y podstawiam 6
x+y=12 x+6=12 x=12-6 x=6
Odp.: Pierwszego roztworu było 6kg oraz drugiego 6kg.
Zadanie 3
Sprawdź, czy podana para (2,5) jest rozwiązaniem układu
{ 3 x+2 y =16 4 x−2 y=−2
Rozwiązanie: Do obu równań w układzie podkładamy x=2 oraz y=5.
{ 3 ∙2+2 ∙ 5=16 4 ∙ 2−2 ∙5=−2
{ 8−10=−2 6+10=16
{ −2=−2 16=16
W obydwu równaniach lewa strona jest równa prawej. Wniosek: podana para jest rozwiązaniem układu równań.
***Uwaga! Gdyby choć w jednym z równań lewa strona wyszła inna niż prawa, to odpowiedzieli byśmy, że wskazana para nie jest rozwiązaniem układu równań.
Na następnej lekcji będzie krótki sprawdzian (informacja na stronie szkoły). Powtarzacie:
-rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania, przeciwnych współczynników, graficzną -zadania z treścią
-zadanie na tworzenie wzoru funkcji liniowej przechodzącej przez dwa punkty -kiedy układ jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny
