MATEMATYKA MATEMATYKA

MATEMATYKA MATEMATYKA

Trygonometria

TRYGONOMETRIA TRYGONOMETRIA

 SinusSinus

 CosinusCosinus

 TangensTangens

 CotangensCotangens

 Wykres funkcji y=sinx

 Dziedzina

 Zbiór wartości

 Miejsca zerowe

 Monotoniczność

 Znak wartości funkcji

 Wartość największa i najmniejsza

 Przykładowe równania i nierówności

SINUS SINUS

 Wykres funkcji y=cosx

 Dziedzina

 Zbiór wartości

 Miejsca zerowe

 Monotoniczność

 Znak wartości funkcji

 Wartość największa i najmniejsza

 Przykładowe równania i nierówności

COSINUS COSINUS

 Wykres funkcji y=tgx

 Dziedzina

 Zbiór wartości

 Miejsca zerowe

 Monotoniczność

 Znak wartości funkcji

 Wartość największa i najmniejsza

 Elementarne równania i nierówności

TANGENS TANGENS

 Wykres funkcji y=ctgx

 Dziedzina

 Zbiór wartości

 Miejsca zerowe

 Monotoniczność

 Znak wartości funkcji

 Wartość największa i najmniejsza

 Przykładowe równania i nierówności

COTANGENS COTANGENS

Wykres funkcji

Wykres funkcji y=sinxy=sinx

Dziedzina Dziedzina

xxRR

Zbiór

Zbiór wartościwartości



Miejsca zerowe Miejsca zerowe

C k

k x

y  0   0   

Monotoniczność Monotoniczność

Funkcja rosnąca Funkcja rosnąca





Monotoniczność Monotoniczność

Funkcja malejąca Funkcja malejąca

C k

k k

x

y  



 



   



 



 2

2 , 3 2 2

Znak wartości funkcji Znak wartości funkcji

Funkcja stale dodatnia Funkcja stale dodatnia











Znak wartości funkcji Znak wartości funkcji

Funkcja stale ujemna Funkcja stale ujemna





x

y  0     2 ,0  2  

Wartość największa Wartość największa



Wartość najmniejsza Wartość najmniejsza

C k

k x

Y    









 2

1 2 min

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin



















x x x x x x x

sin 2

2 sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin





















x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

C k

k

x  0   

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin



















x x x x x x x

C k

k

x    2  

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

sin 2

2 sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin





















x x x x x x x x

C k

k

x    



 2

2

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin



















x x x x x x x

C k

k x

k

x      5  2   2

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

sin 2

2 sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin





















x x x x x x x x

C k

k x

k

x         2   2 3

3 2

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin



















x x x x x x x

C k

k x

k

x      3 2   2

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

sin 2

2 sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin





















x x x x x x x x

C k

k k

x  



 



      

 2

4 , 3 6 2

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

sin 1

2 sin 2

2 sin 3

2 sin 1

1 sin

1 sin

0 sin



















x x x x x x x

C k

k k

x 5 2 ,   2  

Wykres funkcji

Wykres funkcji y=cosxy=cosx

Dziedzina Dziedzina



Zbiór

Zbiór wartościwartości

yy<-1,1><-1,1>

Miejsca zerowe Miejsca zerowe



Monotoniczność Monotoniczność

Funkcja rosnąca Funkcja rosnąca





x

y     2 ,0  2  

Monotoniczność Monotoniczność

Funkcja malejąca Funkcja malejąca

 

Znak wartości funkcji Znak wartości funkcji

Funkcja stale dodatnia Funkcja stale dodatnia

C k

k k

x

y  



 



   



 







 2

, 2 2 2

0

Znak wartości funkcji Znak wartości funkcji

Funkcja stale ujemna Funkcja stale ujemna



  3

Wartość największa Wartość największa

C k

k x

Y max  1   0  2  

Wartość najmniejsza Wartość najmniejsza



Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

3 2 cos 1

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos









 

 













x x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

C k

k

x     

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos







 

 













x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności



 







 

  k x k

x 2

2 3 3

3 2 cos 1

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos









 

 













x x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności







1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos







 

 













x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności



 







 

  k x k

x 2

2 6 6

3 2 cos 1

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos









 

 













x x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności



 







 



 k x k

x 2 2

2 2

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos







 

 













x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności



















 k x k

x 2

4 2 3

4 3

3 2 cos 1

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos









 

 













x x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności















 

 k x k

x 5 2

5 2

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos







 

 













x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności





 k

x 0 2

3 2 cos 1

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos









 

 













x x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności









 k

x 2

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos







 

 













x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

C k k

k

x  



 



  







 2

, 3 3 2

3 2 cos 1

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos









 

 













x x x x x x x x x x

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

1 cos

1 cos

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

2 cos 3

2 cos 2

2 cos 1

0 cos







 

 













x x x x x x x x x

Wykres funkcji

Wykres funkcji y=tgxy=tgx

Dziedzina Dziedzina





Zbiór

Zbiór wartościwartości

yyRR

Miejsca zerowe Miejsca zerowe









 0

Monotoniczność Monotoniczność

Funkcja rosnąca Funkcja rosnąca

D x

y  

Monotoniczność Monotoniczność

Funkcja malejąca Funkcja malejąca





 x

y

Znak wartości funkcji Znak wartości funkcji

Funkcja stale dodatnia Funkcja stale dodatnia

C k

k k

x

y  



 



     





 0 0 , 2

Znak wartości funkcji Znak wartości funkcji

Funkcja stale ujemna Funkcja stale ujemna



 

Wartość najmniejsza Wartość najmniejsza

YYminmin - nie istnieje - nie istnieje

Wartość największa Wartość największa

YYmaxmax - nie istnieje - nie istnieje

3 3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności

C k

k

x  0   

3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności

C k

k

x     

3 4

3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności

C k

k

x     

3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności

C k

k

x     

3 3

3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności





 





3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności

C k

k

x      

3 4

3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności





 

 

3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności

C k k

k

x  



 



     

 , 2

3 4

3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Elementarne równania i nierówności Elementarne równania i nierówności

  

3 1

3 1

3 3 3 3

3 1

0













 









tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx tgx

Wykres funkcji

Wykres funkcji y=ctgxy=ctgx

Dziedzina Dziedzina

 

Zbiór

Zbiór wartościwartości

yyRR

Miejsca zerowe Miejsca zerowe



Monotoniczność Monotoniczność

Funkcja rosnąca Funkcja rosnąca





 x

y

Monotoniczność Monotoniczność

Funkcja malejąca Funkcja malejąca

Znak wartości funkcji Znak wartości funkcji

Funkcja stale dodatnia Funkcja stale dodatnia

C k

k k

x

y  



 



     





 0 0 , 2

Znak wartości funkcji Znak wartości funkcji

Funkcja stale ujemna Funkcja stale ujemna



 

Wartość najmniejsza Wartość najmniejsza

YYminmin - nie istnieje - nie istnieje

Wartość największa Wartość największa

YYmaxmax - nie istnieje - nie istnieje

3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności





 



3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

C k

k

x     

3

3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności





 



3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

C k

k

x     

6

3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności



3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

C k

k

x    



 4

3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności





 





3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności

C k k

k

x  



 



   





 0 , 4

3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx

Przykładowe równania i nierówności Przykładowe równania i nierówności





3 1

3 1

3 3 3 1

3 3 0

























ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx ctgx