10.2.2018, kl 1b Zadania powtórzeniowe.
Zadanie 1. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność a + b + c
3 ¬
ra2+ b2+ c2
3 .
Zadanie 2. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b zachodzi ra2+ b2
2 ¬ 3
ra3+ b3 2 . Zadanie 3. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1
n
2 < 1 +1 2+1
3 + . . . + 1
2n− 1 < n.
Zadanie 4. Liczby b0, b1, . . . spełniają warunki b0 = 2, b1 = 3, bn+1 = 3bn− 2bn−1 dla n 1. Znajdź i udowodnij jawny wzór opisujący te liczby.
Zadanie 5. Niech pn oznacza n-tą liczbę pierwszą (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . .). Wykaż, że dla n > 11 zachodzi nierówność pn> 3n.
