18.3.2019, kl 1b Wielomiany

18.3.2019, kl 1b Wielomiany

W matematyce, przez wielomian rozumiemy wyrażenie, w którym występują zmienne (ang.

indeterminates) i współczynniki, przy czym zmienne występują w całkowitych nieujemnych potęgach, a dozwolonymi operacjami są działania dodawania, odejmowania i mnożenia. Na przykład, 2x²y − yz + 3x²yz jest wielomianem zmiennych x, y, z; x²y, yz, x²yz są jednomianami, przy których stoją współczynniki 2, −1, 3, odpowiednio.

Skupimy uwagę na wielomianach jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych (Przez R[x] oznaczamy zbiór takich wielomianów.) Ogólna postać wielomianu stopnia n to

f (x) = a_nxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+ . . . + a₁x + a₀,

gdzie a_n 6= 0. Piszemy wówczas deg f = n; za stopień wielomianu zerowego przyjmujemy −∞.

Wielomian jak wyżej wyznacza funkcję R 3 u 7→ anuⁿ + a_n−1uⁿ⁻¹ + . . . + a₁u + a₀ ∈ R.

Funkcję powyższej postaci nazywamy funkcją wielomianową lub po prostu wielomianem. Dwa wielomiany uznajemy za te same, jeśli mają odpowienio takie same współczynniki. Miejsca zerowe wielomianu f nazywamy pierwiastkami.

Twierdzenie (Dzielenie wielomianów z resztą). Dla dowolnych wielomianów f, g, gdzie g 6= 0 istnieje dokładnie jedna para wielomianów q, r taka, że

f = qg + r i deg r < deg g.

(Wielomian q nazywamy ilorazem, a r–resztą. Jeśli r = 0, to mówimy, że g dzieli f i piszemy g|f .)

Wniosek. (Twierdzenie Bézout.) Jeśli a ∈ R jest pierwiastkiem wielomianu f , to wielomian x − a dzieli f .

Zadanie 1. Wykonaj dzielenie z resztą wielomianu f przez g, jeśli (a) f (x) = x⁴− 6x³+ 5x²− 1, g(x) = x²+ 2x − 1, (b) f (x) = x⁴+ 5x³− 6x + 1, g(x) = x²− 3x + 1,

(c) f (x) = 2x⁵− 6x⁴+ 3x³− 2, g(x) = x²− x − 2,

(d) f (x) = x⁴⁴+ x³³+ x²²+ x¹¹+ 1, g(x) = x⁴+ x³+ x²+ x + 1.

Zadanie 2. Czy wielomian x¹⁰⁰− 3x⁴²+ 2 dzieli się przez x²− 1?

Zadanie 3. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu x¹⁰⁰+ x + 1 przez x²− 1?

Zadanie 4. Pewien wielomian przy dzieleniu przez x + 1, x − 2 i x − 3 daje odpowienio reszty 3, 1 i

−1. Jaką resztę daje przy dzieleniu przez (x + 1)(x − 2)(x − 3)?

Zadanie 5. Dla jakich n wielomian 1 + x²+ x⁴+ x⁶+ . . . + x²ⁿ⁻² dzieli się przez 1 + x + x²+ . . . + xⁿ⁻¹? Zadanie 6. Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba√³

2 +

1

√3

2.

Zadanie 7. Wartości w(0) i w(1) wielomianu w stopnia 3 o współczynnikach całkowitych są niepa- rzyste. Udowodnij, że w nie ma pierwiastków całkowitych.

Zadanie 8. Czy istnieje wielomian stopnia 5 o współczynnikach całkowitych taki, że w(5) = 2 i w(−5) = 3?

Zadanie 9. Wielomian f ma wsólczynniki całkowite i a, b ∈ Z. Pokaż, że a − b|f (a) − f (b).

Zadanie 10. Niech n > 1, n ∈ N. Udowodnij, że wielomian

w(x) = x²ⁿ− x²ⁿ⁻¹+ x²ⁿ⁻²− x²ⁿ⁻³+ . . . + x²− x +n 4 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Zadanie 11. Udowodnij, że wielomian w(x) = x³ − 2x nie jest różnowartościowy na zbiorze liczb rzeczywistych, ale jest różnowartościowy na zbiorze liczb wymiernych.

Zadanie 12. f , g są wielomianami. Uzasadnij, że

(a) deg(f + g) ¬ max(deg f, deg g), przy czym jeśli deg f > deg g, to deg(f + g) = deg f ; (b) deg f · g = deg f + deg g;

(c) deg f ◦ g = deg f ◦ deg g.

Zadanie 13. Niech f (x) = anxⁿ+ an−1xⁿ⁻¹+ . . . + a₁x + a₀, an 6= 0. Wykaż, że istnieje liczba M taka, że dla |x| > M zachodzi nierówność

|a_nxⁿ| > |f (x) − a_nxⁿ|.

Twierdzenie (O równości wielomianów.). Załóżmy, że wielomiany f (x) = a_nxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+ . . . + a₁x + a₀ i g(x) = bmx^m+ bm−1x^m−1+ . . . + b₁x + b₀, gdzie an· bm 6= 0, spełniają f (x) = g(x) dla dowolnej liczby x ∈ R. Wówczas f = g, czyli m = n i

a₀ = b₀, a₁ = b₁, . . . , a_n= b_n. Zadanie 14. Niech f (x) = x³ + bx²+ cx + d.

(a) Pokaż, że istnieje α ∈ R taka, że f (x − α) = x³+ px + q dla pewnych p, q ∈ R.

(b) Pokaż, że x³+ px + q jest ściśle rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy p ­ 0.

Zadanie 15. Pokaż, że wielomian x³+3ax−2b, gdzie a > 0, ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty równy

q3

b +√

b²+ a³+ ³

q

b −√

b²+ a³. Zadanie 16. Czy funkcja x 7→ |x| jest funkcją wielomianową?

2