13.12.2018, kl 1b
Warto±¢ bezwzgl¦dna, cz¦±¢ caªkowita i uªamkowa liczby rzeczywistej.
De nicje. Warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡ (lub moduªem) liczby rzeczywistej a nazywamy liczb¦ |a| równ¡ a, je±li a 0, oraz równ¡ −a, je±li a < 0. Na przykªad, |2.28| = 2.28, |−7| = 7. Cz¦±ci¡ caªkowit¡ [a] liczby a nazywamy najwi¦ksz¡ liczb¦ caªkowit¡ z przedziaªu (−∞, a], czyli najwi¦ksz¡ liczb¦ caªkowit¡, która jest mniejsza lub równa a. Czasami stosujemy oznaczenia bac = [a] (podªoga z a) i (su t z a), dae = najmniejsza liczba caªkowita wi¦ksza lub równa a. Na przykªad, [−2.28] = −3, d2.28e = 3, [n] = dne = n dla ka»dej liczby caªkowitej n. Cz¦±ci¡
uªamkow¡ liczby a nazywamy liczb¦ {a} = a − [a].
Zadanie 1. Rozwi¡» równania:
(a) |x + 4| = 13, (b) |6 − 7x| = 1,
(c) |3 − x| + |5 − x| = 1, (d) |3 − x| + |5 − x| = 2, (e) |3 − x| + |5 − x| = 4, (f) |1 − |2 − |3 − x||| = 1/2, (g) x + |2 − 3x| = 4,
(h) |||3 − 5x| − 1| + 2| + |x − 3| = 2.
Zadanie 2. Wyka», »e dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi [2a] = [a] + [a +12]. Zadanie 3. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste, dla których:
(a) 0 < |x − 1| < 1, (b) |3x + 2| < 11,
(c) ||x + 2| − 5| > 1,
(d) |x + 1| − |x| + 3|x − 1| − 2|x − 2| = |x + 2|, (e) |x − 2| < 3 < x + 2.
Zadanie 4. Udowodnij, »e dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi [a + b] [a] + [b]
Zadanie 5. Udowodnij, »e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi
|x| + |y| + |z| ¬ |x + y − z| + |x − y + z| + | − x + y + z|.
Zadanie 6. Naszkicuj wykresy funkcji (a) y = |x − 1| + |x| + |x + 1|, (b) y = |x − 1| + |x − 2| − 3x + 1,
(c) y = ||x − 1| − 3x + 1| − 2, (d) y = |||x| − 1| − 3|x| + 1| − 2,
Zadanie 7. Wykaza¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi
{n√
2} 1 2√ 2
1 n.
Zadanie 8. Wykaza¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówno±¢
[√ n +√
n + 1] = [√
4n + 1].
