3.1.2019, kl 1b Powtórka:

3.1.2019, kl 1b Powtórka: | · |, log, {·}.

Zadanie 1. Naszkicuj zbiór tych par (x, y) ∈ R × R, dla których speªniony jest warunek:

(a) |x| + |y| = 2,

(b) |x + 1| + |x − 1| = |y + 1| + |y − 1|, (c) |x − y| − |2x + y| = |x − 1|,

(d) |x − |x + y|| = 6 + y − x, (e) |x| − |y| ­ 2,

(f) |x + y + 1| + |x − 2y| ¬ 4.

Zadanie 2. Rozwi¡» równanie |x − a + 1| + |x − 2a| = x w zale»no±ci od warto±ci parametru a ∈ R.

Zadanie 3. Rozwi¡» nierówno±¢ |3x − a| + |2x + a| ¬ 5 w zale»no±ci od warto±ci parametru a ∈ R.

Zadanie 4. Znajd¹ te warto±ci parametru a ∈ R, dla których najwi¦ksza warto±¢ funkcji 2|x + a + 1| − |2x − a|

jest mniejsza od 2.

Zadanie 5. Upro±¢

(a) log23 · log₃4 · log₄5 · . . . · log₁₅16,

(b) log(tg 1^◦) + log(tg 2^◦) + log(tg 3^◦) + . . . + log(tg 89^◦). Zadanie 6. Rozwi¡» ukªady równa«:

(a)

( 2^x· 3^y = 648, 3^x· 2^y = 432.

(b)

( 9 · 5^x+ 7 · 2^x+y = 457, 6 · 5^x− 14 · 2^x+y = −890.

(c)

( log_yx − log_xy = ⁸₃, xy = 16.

Zadanie 7. Czy istnieje liczba niewymierna α, »e

(a) dla ka»dej liczby naturalnej 1 ¬ n ¬ 10⁶ zachodzi {n · α} < 0.95, (b) dla ka»dej liczby naturalnej 1 ¬ n ¬ 10⁶ zachodzi {n · α} > 0.95,

(c) s¡ dokªadnie 333334 takie liczby naturalne 1 ¬ n ¬ 10⁶, »e {n · α} > 0.95, (d) s¡ dokªadnie 3 takie liczby naturalne 1 ¬ n ¬ 10⁶, »e {n · α} > 0.95.

Zadanie 8. Udowodni¢: Twierdzenie. Niech α b¦dzie liczb¡ niewymierna i niech 0 ¬ a < b < 1.

Wówczas dla niesko«czenie wielu liczb naturalnych n zachdzodzi a < {nα} < b.