1. Niech A b¦dzie wªa±ciw¡ podgrup¡ Z. Udowodni¢, »e A ∼ = Z.

ALGEBRA 1B, Lista 8

Niech G, H b¦d¡ grupami, A b¦dzie grupa przemienn¡, k ∈ N >0 i p liczb¡

pierwsz¡.

1. Niech A b¦dzie wªa±ciw¡ podgrup¡ Z. Udowodni¢, »e A ∼ = Z.

2. Niech H 1 P H, G ₁ P G . Udowodni¢, »e:

(a) H ₁ × G ₁ P H × G ,

(b) (H × G)/(H ₁ × G ₁ ) ∼ = (H/H ₁ ) × (G/G ₁ ) . 3. Zaªó»my, »e mamy a 1 , b ₁ , . . . , a _k , b _k ∈ N takie, »e

Z ^a _p

× . . . × Z ^a _p

∼ = Z ^b _p

× . . . × Z ^b _p

. Udowodni¢, »e a 1 = b ₁ , . . . , a _k = b _k .

4. Udowodni¢, »e:

(a) Tor(A) P A ,

(b) grupa A/ Tor(A) jest beztorsyjna,

(c) je±li A jest sko«czona, to Tor(Z ^k × A) = A .

5. Znale¹¢ przykªad G i g, h ∈ G takich, »e rz¡d(g) = rz¡d(h) = 2, ale rz¡d(gh) = ∞.

6. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce grupy s¡ izomorczne:

(a) Z ₂₄ × Z ₃₆ i Z 48 × Z ₁₈ , (b) Z ₂₁ × Z ₄₀ i Z 168 × Z ₅ ,

(c) Z ₃ × Z ₃ × Z ₅ × Z ₇ i Z 315 .

1