3. Niech (A, +) b¦dzie grup¡ przemienn¡. Udowodni¢, »e poni»szy wzór

ALGEBRA 1B, Lista 4

Niech n ∈ N >0 , G b¦dzie grup¡ i H 6 G.

1. Udowodni¢, »e dla v ∈ R ⁿ \ {0} mamy GL n (R) · v = R ⁿ \ {0} . 2. Dla n > 3, opisa¢ klas¦ sprz¦»ono±ci (123) w S n .

3. Niech (A, +) b¦dzie grup¡ przemienn¡. Udowodni¢, »e poni»szy wzór

∀a ∈ A 0 · a = a, 1 · a = −a

zadaje dziaªanie Z 2 na A poprzez automorzmy. Wskaza¢ odpowiada- j¡cy temu dziaªaniu homomorzm Ψ : Z 2 → Aut(A) . Kiedy Ψ jest monomorzmem?

4. Zaªó»my, »e istnieje g ∈ G taki, »e rz¡d(g) 6= 1, 2. Udowodni¢, »e Aut(G) 6= {id _G } .

5. Udowodni¢, »e:

(a) Dla ka»dego k ∈ Z n funkcja

φ _k : Z _n → Z _n , φ _k (x) = k · _n x jest endomorzmem.

(b) Je±li φ : Z n → Z _n jest endomorzmem, to istnieje k ∈ Z n takie,

»e φ = φ k .

(c) Je±li k, l ∈ Z n , to φ k ◦ φ _l = φ _k·

_l . (d) Je±li k ∈ Z ^∗ n , to φ k ∈ Aut(Z _n ) .

(e) Funkcja

Φ : Z ^∗ _n → Aut(Z _n ), Φ(k) = φ _k jest izomorzmem.

6. Niech H 6 G. Udowodni¢, »e |G/H| = |H\G|.

7. Udowodni¢, »e je±li [G : H] = 2, to H P G.

8. Udowodni¢, »e T n (R) nie jest dzielnikiem normalnym w GL n (R) . 9. Wyznaczy¢ centrum S 3 i centrum D 4 .

1