b¦dzie nierozkªadalny. Udowodni¢, »e Cl(D

Geometria Algebraiczna 2, Lista 12 Niech k b¦dzie ciaªem i d, n ∈ N.

1. Niech f ∈ k[X

. . . , X

]

b¦dzie nierozkªadalny. Udowodni¢, »e Cl(D

(f )) ∼ = Z/dZ.

2. Niech Q := V

(X

X

− X

X

) ⊆ P

. Udowodni¢, »e:

(a) Q ∼ =

P

×

P

.

(b) Istnieje homomorzm φ : Cl(P

) → Cl(Q) taki, »e dla ka»dego D ∈ Div(P

) je±li Q * supp(D), to istnieje D

∈ Div(Q) taki, »e φ([D]) = [D

] oraz supp(D

) = supp(D) ∩ Q .

(c) φ([V

(X

)]) jest typu (1, 1) w Cl(Q).

3. Niech Y := V

(X

X

− X

) ⊆ P

, L := V

(X

, X

) ⊆ P

i C b¦dzie domkni¦tym podschematem P

pochodz¡cym od homomorzmu

k[X

, X

, X

, X

] → k[Y

, Y

], X

7→ Y

, X

7→ Y

, X

7→ Y

Y

, X

7→ Y

Y

. Udowodni¢, »e (niektóre oznaczenia z zad. 2.):

(a) Y ∩ Q = C ∪ L .

(b) φ([Y ]) jest typu (2, 2) i [C] jest typu (1, 2), je±li C rozwa»amy jako dywizor na Q.

(c) Nie istnieje Y

⊆ P

domkni¦ty podschemat wymiaru 2 taki, »e Y

∩ Q = C .

4. Zaªó»my, »e char(k) 6= 2. Niech f ∈ k[X

, . . . , X

] b¦dzie bezkwadra- towy (tzn. niepodzielny przez kwadrat »adnego wielomianu nierozkªadal- nego), A := k[X

, . . . , X

, Y ]/(Y

− f ) i K = A

. Udowodni¢, »e:

(a) Homomorzm ilorazowy k[X

, . . . , X

] → A daje rozszerzerzenie ciaª k(X

, . . . , X

) ⊆ K stopnia 2.

(b) Powy»sze rozszerzenie jest Galois o grupie Galois generowanej przez y 7→ −y, gdzie y := Y + (Y

− f ) .

(c) Dla ka»dego g, h ∈ k(X

, . . . , X

) minimalnym wielomianem ele- mentu g + hy nad k(X

, . . . , X

) jest X

− 2gX + (g

− h

f ) . (d) Dla g, h jak wy»ej, g + hy jest caªkowity nad k[X

, . . . , X

] wtedy

i tylko wtedy, gdy g, h ∈ k[X

, . . . , X

] .

(e) A jest caªkowitym domkni¦ciem k[X

, . . . , X

] w K (w szczegól- no±ci A jest normalny).

5. Udowodni¢, »e CaCl(Spec(k[X, Y, Z]/(XY − Z

))) = {0} .

1