Analiza matematyczna
Zadania wstępne GRANICE 1. Oblicz granice
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2. Oblicz granice jednostronne a.
b.
c.
3. Oblicz granice niewłaściwe a.
b.
c.
4. Oblicz granice.
a.
b.
c.
d.
Zastosowanie granic
5. Znajdź równania asymptot pionowych funkcji , gdy
a.
b.
6. Znajdź równania asymptot poziomych funkcji , gdy a.
b.
7. Znajdź równania asymptot ukośnych funkcji , gdy
a.
b.
8. Znajdź równania asymptot funkcji , gdy
a.
Zadania wstępne POCHODNE 1. Oblicz pochodną funkcji , gdy
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Zastosowanie pochodnej
2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie , gdy a.
b.
3. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:
a.
b.
c.
4. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji a.
5. Wyznacz ekstrema funkcji:
a.
b.
c.
Zadania
1. Który z trapezów równoramiennych opisanych na okręgu o promieniu r ma najmniejsze pole?
Odp. Kwadrat
2. Dla jakich wartości parametru m równanie ma pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek ?
Odp.
3. Wyznaczyć dwie liczby takie, aby ich suma, iloczyn i różnica kwadratów były równe między sobą.
Odp.
4. Rozwiązać równanie
. Odp.
5. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o ramionach równych i o kącie między nimi . Ściany boczne ostrosłupa nachylone są do podstawy pod kątem . Obliczyć objętość tego ostrosłupa.
Odp.
6. Rozwiązać nierówność
Odp.
7. Rozwiązać nierówność:
Odp. .
8. Napisać równania stycznych do krzywej poprowadzonych w punktach przecięcia się tej krzywej z osią OX i znaleźć punkt przecięcia się tych stycznych.
Odp.
9. W nieskończonym ciągu geometrycznym, którego sumą jest , pierwszy wyraz wynosi , a trzeci jest odwrotnością pierwszego. Obliczyć x.
Odp.
10. W urnie znajduje się n kul, z których 5 jest białych. Jakie powinno być n, żeby przy losowaniu dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania białej kuli było większe od ?
Odp.
11. Jakie wymiary powinien mieć otwarty prostopadłościenny zbiornik o objętości 32 i głębokości 2m, aby pole powierzchni całkowitej tego zbiornika było minimalne?
Odp.4m, 4m, 2m
12. Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu . Wyznaczyć współrzędne dwóch pozostałych wierzchołków.
Odp. .
13. Rozwiązać równanie
. Odp.
14. W pewnym zakładzie zależność między kosztem całkowitym produkcji a jej wielkością , wyraża się wzorem
Odp.
Przy jakiej wielkości produkcji koszt przypadający na jednostkę wytworzonego produktu jest najmniejszy?
Odp.
15. Rozwiązać nierówność Odp.
16. Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu 8-godzinnego dnia pracy i po godzinach osiąga wartość
Odp.
O której godzinie jego wydajność jest największa, jeżeli pracę rozpoczyna o godzinie siódmej?
Odp. O godzinie dziesiątej.
