Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia

Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia

1. Narysuj relacje. Które z nich są funkcjami ?

 

A₁ = (x.y)R : y = x² ; ^A2 = (x.y) R : y = x



 ^{2 2 2}



; ^A3 = (x.y) R : y = x x

 2







;

 

A₄ = (x.y)R : y = x - 1² ; A₅= (x.y) R : y =1

2( x + x

2 2

 





) ; ^{A6 = (x.y)}



R : y + x²  ;1



2. Znaleźć dziedzinę funkcji określonej wzorem:

a f x x

x b f x x

c f x x

). ( )  4  1; ). ( ) arccos(  ); ). ( ) arcsin(log );

2 1

2

2

d f x x ). ( )arcsinx

 1

1 e). f x( )ln arcsin(2x²); f). f x( ) sinxcosx2;

g). f x x h).

x y x x

( ) log( )

sin ; ;

 

 

16 ² ₂

i). y  log log (2 2 x  ); j). y  ln arcsin(  x );

1 2 2

k y x

x h z z

z m p t t t

).  arccos ; l). ( ) ; ). ( ) log ( );

 

    

1 6 ₃ 2 1

n) f(x) 1x  1x

x x f

o 1

1 ) (

)   ^{p) f(x) ln(x2)} r) f(x)5^2x1

3). Podaj okres podstawowy funkcji:

y x y tg x

y x tg x y x x y x x

sin3 ;  ; sin  ; sin sin ; sin sin ;

4 6 4 1

3

1

4 2

4) .Zbadać parzystość funkcji: f x x x g x x x h x x

x k x x

( ) cos ; ( ) ; ( ) log ; ( ) sinx

      ;

 

5 3 3

3

2

5). Z jakich funkcji zbudowane są poniższe funkcje złożone:

f₁ (xsin³x); f₂ (x³ (1x) );² f₃ (xlntgx); f₄ (xsin (³ 2x1));

6). a). f x( ) x³; g x( ) x 1. Wyznacz f g i g f b). f x( ) x1; g x( )tg x² . Wyznacz f g

c). ^f(x)^3x^{1; g(x)} ^x2 ^{3 Wyznacz g(f(x))}^(g ^f)(x)

d) f(x) x² 3; g(x) x2 Wyznacz g(f(x))(g f)(x)

e) ^f(x)^{log(x) g(x)}^{10x Wyznacz g(f(x))}^(g ^f)(x)

f) f(x)⁵ x; g(x) x⁵ Wyznacz g(f(x))(g f)(x)

g). f x( )sin ;x g x( )log ;x h x( ) 1x². Wyznacz g f h oraz g h f  7). Dane są funkcje: ^{f t}

t k u u h x tgx

( )  1 ; ( )  ; ( )

1 ²

. Znaleźć:

a). f f t( ( )); b). f h( ( )); c). h k u( ( )); d). k h x( ( )); e). k k k( ( ( ))); f). f k h x( ( ( ))); g). f k h( ( ( ))).

4 1

 3

8). Dane są funkcje: ^{f y:  x3 x, g y: sin2x.} Obliczyć:

f g( ( )); g f( ( )); g f( ( )); f g x( ( )); f f x( ( )); f f f( ( ( )));

4 1 2 1

9). Dana jest funkcja: f x x ( )  x

 1

1 . Znaleźć: ^{f f x f x f x f}

x f x

( ); ( ); ( ); ( ) ;

( ).

0 1 1 1

    ; 1







10). Obliczyć: 8 1 2 0 4 1 1 3 3

2 4 2

arcsin  arccos  (arctg arctg( ); arccos( )arctg tg( )arcsin(sin);

11a). Znaleźć funkcję odwrotną ^{f 1}, jeżeli funkcja ^f jest określona wzorem:

a y x

y arctg x y y x

y e ^x

). log ; b).  ; c). arcsinln 2x d). ; arcsin ; e).  ^{arcsin(  )};

2 3

3

2

f). y x g). y x h). i). j).

y arctg x y arctg x w u

      u

2 3 

2 2 2 1

2 3

sin ; log( ); ; ; ;

²

4 ) 1 (

) f x  x

k

x x f

l  

1 ) 1 (

) m) f(x)  x² 4x x2 n) f(x) x2 ³16 11b) Zbadać czy poniższe funkcje są różnowartościowe.

x x x f

a) ( ) ² 4 b) f(x)e^x 2 c) f(x)4x³ d) f(x) x³ 3x e) f(x) 53x³

11c) Wyznaczyć sumę, iloczyn, iloraz funkcji.

2 )

( 2 )

(

) f x  x²  x g x  x

a ^{b) f(x) x1 g(x) 3x3 2} 11d) Narysować wykresy funkcji

9 )

(

) f x  x² 

a ^{b) f(x) x( 1)2 c) f(x)4 x2 d) f(x) x2 4x3 d) f(x) x3 2} x

x f

e) ( )2cos ^{f) f(x)cos(2x)} g) f(x)e^x 2 g) f(x)e^x1

12). Wyznacz x z równania: a y x

x y e ^x

).  arcsin 1; b).  ln arccos ^ ;

3 ⁵

13). Rozłożyć funkcje wymierne na ułamki proste:

f x x

x f x x

x x x f x x

x x f x x

x x

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ;

  

   

  

 

3 1 5 3 2 3 2 2

2

3 2

2 2

4

5 6

14). Obliczyć granice:

^{a n}

n

n

n n n

n n n

n n

). ; ... ( )

... ; ;

lim

^b).

lim

^c).

lim

^d);

lim

n

   

 



    

     





  







3 1

3 1

1 3 5 2 1

1 2 3 1 5

1 4

2

2

e arctgx

x

tgx x

t

x t

x x

x

t

). ; ; ;

sin ;

lim

` ^{f). g). h).}

lim

i).

x 1⁺ x t

lim lim lim









  











 

1 

1 1

1 1

2 1

2 2

2

3

 2

1

1 2

1 k).

sin ;

).

lim lim









 



 

  ^x

x

x x x

j x

^l ). lim ⁿ

²

2 ^{n n} ;

n









3

n 4 3

2 3

).

lim

_ ^_^{ nn }_ ^_^

m

15). Obliczyć pochodne na podstawie definicji:

^{a y} _x ^y

x y x y xⁿ

).  ; b). ; c). sin ; d). .

   

1 2

1 3

16). Obliczyć pochodne funkcji:

a y x x x

y b y x x

x tgx

). ( ) ln( ) arcsin ^,( ) ?; ). n ln ; c). y = 1 ln ;

2sin₂

 1    

2 1

d). yln sin^{5 7} x² e; ^{e y x}

x r t e t

a ). arcsin ; f). ( ) a cos ;

 

2

1

1 g). y arctg x h). i).

x y x

e_x y x^sixx

 2  

1 ² ; ; j) y f(x) x² x³2

17). Zbadać różniczkowalność funkcji:

a). f x( ) ³ (x1) ;² b). f x( ) ³ 1xsinx

18). Sprawdzić, że funkcja:

a). ^y ^exsin^x spełnia równanie: ^y,, 2^y,2^y0^.

b). C t ( ) kt

 1

1 spełnia równanie: ^dC

dt  kC².

c). ^{y  exp( )kt} spełnia równanie: ^y,  ^ky.

19) Obliczyć pochodną trzeciego rzędu funkcji:

a). y  2x³ 4x² 3x2; b). y sin2x; c). y e^x2. 20) Dana jest krzywa y f x

x x e ^x

 ( ) 1(  ) ^

2 1 oraz punkt A(1,2+e^-1), Znaleźć styczną i normalną do danej krzywej w punkcie A.

21). Znaleźć równania stycznych i normalnych do krzywych o danych równaniach

a). ^{f x( ) 3tg x} w punkcie O(0,0) b). g t t

( )  arcsin  1

2 w punkcie przecięcia się ^{g t( )} z osią Ot c). p u a

a u ( ) 

 8 4

3

2 2 w punkcie o odciętej u  2a d). f(x) x²e^x w punkcie (1, f(1))

22). Obliczyć długość podstycznej i podnormalnej linii y

 x

 2

1 ² w punkcie x = 1.

23). Znaleźć kąt przecięcia się krzywych: a). ^{y  lnx} z osią Ox; b). _{y  e}¹2^x i prostej y = 2.

24). Wykazać. że f x arctgx x ( ) arcsin x

2 2

1 ² jest stała w przedziale (1 , + ).

25). Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji określonych wzorami:

a). f x( )  xln ;x b). f t( )t²ln ;t c). h u( ) 2u² ln ;u

d). g x( ) x e^{2 x2}; e). f x( )  x 1x²; f). y ln(x 1x²); g)

x y x² 4

h)

^{y2x312x2 18x2}

i) ^{y x2e2x}

j) ^yxex

2 3

1 ) 2 (

). x

x x f y

k 

 

 26). Wykazać nierówności:

a x

x x x x

x x

). ; ln ( )

2 3 1 dla b). dla

1 2 1

1 1

    

 

27). Wyznaczyć ekstrema funkcji:

a f x x x x y x

x y x arcctg x

). ( ) ³ 6 ² 9 4; b).   ; c).   2

2 2 d) y³ 3x²x³

e). f(x) xln(1x); f). f(x) x² x² 2

g) f(x)³ x² ³ (x8)² (ekstrema w 0 i 8 gdzie pochodna nie istnieje i w 4 gdzie f^'(4)0) 28). Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru wartości funkcji:

a f x x x f x x x

). ( ) ( ) x

  w przedziale 0 , 4 ; b).      ` w przedziale -2 , 2

  

2 2

2 1

29). Parkanem o długości 120 m. należy ogrodzić przylegający do domu prostokątny teren o największym polu. Wyznaczyć rozmiary parkanu.

30). W półkole o promieniu R wpisano prostokąt o największym polu. Wyznaczyć rozmiary.

31a). Jaki powinien być stosunek wymiarów puszki do konserw o kształcie walca, aby przy danej objętości V zużyć jak najmniej blachy.

31b) Piechur znajduje się w punkcie A oddalonym od prostej drogi o 6 km i do punktu docelowego B na drodze oddalonego o 10 km . Piechur ma przebyć drogę z punktu A do punktu B ruchem

jednostajnym po odcinkach AC i CB.. Na odcinku AC porusza się z prędkością 2 km/h a na odcinku CB z prędkością 4 km/h. Wyznaczyć punkt .C na drodze aby piechur przebył drogę w najkrótszym czasie.

Odp. 4,598

2 4 3 3

46 , 3 3

2    

 t

x

32). Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości wykresów funkcji:

a f x x x g t t

t h u u e ^u

). ( )   ; b). ( ) ; c). ( ) ;

  ^

3 2

2

3 2 2

1 33). Wykorzystując regułę de L’Hospitala obliczyć:

x x

x x x

e x

x x

x

x x tg x

   

   

0 1 0 2

1 2

1 1

lim

_sin ^;

lim

_ln ^;

lim

^{cos ;}

lim

^{( )} 2^;





  ^{ }

x

x x

x

tgx

x x x e x x x x

    x

 

 

 

0 2

2

1

0 0

1 1

lim

_sin ^{; ;}

lim

^{sin ;}

lim

^{ln cos ;}

lim

x 0

x

x

x

tgx

x

x

x x x x x e





  



 





  

 



2

2 1 1

1 2

lim

^{; ln ;}

lim

^;

lim

1

x 0⁺

lim

1 lim ₃2

0 

 x

x e

x

x x

x

2 lim ln



 _{cos4 1}

lim 3

0 

 x

x

x

34). Wyznaczyć asymptoty krzywych:

4 5 4

) 1 1

).

; 1

b).

; ) 1 ( 2

). ₂

2 3 3





 

 







 x

x y x

e d y c xe

y x

x y

a ^x _x e) 



 







 

6 3 arccos 6

x y x

35). Zbadać przebieg i naszkicować wykres funkcji:

x x y f arctgx x

y e

x y y x

arcctgx y x

x x y

a ; d). ^x ; e). 2 ; ) ln

1 c). 2 2 ;

b).

; 1 4

). ² ₂  ²   

 







 ^

36). Wyznaczyć różniczki: ^{d d}

t d a

x arctgx

(2 sin2 ); ( 1 ; a

   2

 

  

 



37). Oszacować za pomocą różniczki błąd bezwzględny i względny przy obliczaniu objętości kuli , gdy promień R = 100,1 cm.

38). Napisać wzór Taylora ( przy n = 4 ) dla funkcji f x( )e^x w punkcie x₀   .1

39). Napisać wzór Maclaurina dla funkcji: f x( )sin ;x f x( )cos ;x f x( )(1x) .^s

40). Oszacować błędy bezwzględne wzorów przybliżonych:

a e x x x x

x x x x

x x

).   1 !  !  ! dla   ; b).     dla   .

2 3 4 0 1 1 1

2 8 0 1

2 3 4 2

\

Funkcje wielu zmiennych:

41). Wyznaczyć dziedzinę funkcji, zaznaczyć na płaszczyźnie:

a z x a

y

b z x y x y z xy z x y

).  1  ; b).     ; c). ln( ); d).  3arccos ;x

2 2

2 2

2

e z y

x x y z x x y x y z x x y

).   ln( ); f). ln( - ²) + ln( - 1); g). arcsin( )

         

2

2 2 2

1

1 4 2 3 9

42). Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji z powyższego zadania oraz funkcji:

z u

v z u arctg x y z arctgx y

xy u x y z

x

   y





      

; 1 ; ( ) ; ; cos( ).

3

2 2

43). Znaleźć wskazane pochodne cząstkowe:

a). R u t( , ) ln(u²  Autt²) R_u^, , ; b). R_t^, D x t( , ) Rb kx² Rt² D_x^, , D_tt^,, .

^c). p t v( , )me^kt2tv p_tv^,, , p_vv^,, ; d). w R T( , )AR ^a24AT2 w_TT^'' .

44). Znaleźć ^df jeżeli: ^{a f x y x f r t r}

t f x x x x

y

n i

i n

). ( , ) ; b). ( , )arcsin ; c). ( , ,..., ) ;





 



 1 2

2 1

45). Znaleźć błąd bezwzględny _T dla ^{T l}

 2 g i ^{l 2 5 0 1,  , g1000 2,}

46). Długość wysokości stożka h = 30 cm promień podstawy r = 10 cm . O ile zmieni się objętość stożka, jeżeli powiększyć długość wysokości o 3 cm . i zmniejszyć promień o 1 cm .

47). Znaleźć ekstrema funkcji:

a). z3x6yx² xyy²; b). zy xy² x 6y; c). zx³y³3axy;

48). Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji:

^{a). z}2^x22^y2 w kole ^x2^y2 4 ; b). ^z  4^x2 ^y2 w kole ^x2 ^y2 4

49). Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji ^{f x y( , )} przy danym warunku ^{g x y( , )}= 0 :

a). f x y( , )x² y² ; g x y( , )xy1; b). f x y( , ) x y ; g x y( , )e^{x y} xy1; c). f x y( , )x³y³ ; g x y( , )  x y 2 , x0 , y0

50). Wyznaczyć pochodną ^dy

dx funkcji uwikłanej z równania:

a). x² y² 10y w punkcie x = 3; b). _{y x e}^yx w punkcie x = 1;

c) ^{xcosycos2y cosy}. dla y  

2 ; d). ^{y2  x}_x^_^y_y dla ^y2

Całki

1. Obliczyć całki nieoznaczone:

a x dx x x

x dx x xdx dx

x a

x dx dx

x x ) ⁵ b) ( ² ) c) ² d) e) ( x ) f)

3

3 2  1

 

4  1



  

g a adx x

x xdx tg x

x dx x x x dx dx

) xln cos

sin cos sin

h) i) j) k) x

1+ x

2 2

2 2 1

2 2

2 2



 







2. Posługując się całkowaniem przez części obliczyć całki:

a) xcosxdx b) x²lnxdx c) lnxdx d) xe ^xdx e) xlnxdx f) x e dx^{2 x} g) xⁿlnxdx h) x²sinxdx i) e^xcosxdx j) a^xcosxdx k) arcsinxdx l) arccosxdx m) (x^{2 1 3}) ^xdx n) ln (^{2 4}x dx)

3. Posługując się całkowaniem przez podstawianie obliczyć całki:

a axdx x

adx e dx xdx x dx

x

)



cos b) sin



c)



^2 d)



^{2 4} e)



(^{2 3} )⁴

f dx

x e dx a dx

x x xdx xe dx

ax b x

) ( ) g) h) cos (8 ) i) cos sin j)

4 ₂ 0 ₂ ^{2 2}

 

 

^

  

xdx dx x

x dx x

x dx x

e x xdx

e

k⁾



^{sinx cos l)}



^{2 x3 m)}



^{ln n)}



_cos^{tg32 o)}



_cos^sin4

p e

xdx e

x dx

tgx x

)



cos₂ r)



4. Posługując się wzorem na całkowanie



^{f x}_{f x}^{'( )}_{( )} ^{dx ln ( )f x C} obliczyć całki:

a ctgxdx tgxdx x

xdx dx

x x

e e dx

x

) sin x

sin ln



b)



c)



_1 ²² d)



e)



_1