2 m1 m CT = 10 T = 10 8888 CT = 10 8888 C 8888

(1)

Metody bezsiatkowe

i inne metody komputerowe na tle MES

Sławomir Milewski slawek@L5.pk.edu.pl

Piotr Pluciński

pplucin@L5.pk.edu.pl

(2)

Wprowadzenie

Metoda Elementów Skończonych MES

Ogólna, najbardziej rozpowszechniona, najbardziej rozwinięta Podstawa większości programów komercyjnych

(Abaqus, Adina, Ansys, Diana, FELT, Feap, Mark, Robot, …)

Stosowana przy większości zadań inżynierskich mechaniki i fizyki

Rozwinięte klasy i typy elementów skończonych, podstawy

matematyczne, opracowanie wyników, metody szacowania

błędów

(3)

Dlaczego mówimy o innych metodach komputerowych?

Względy historyczne (MES nie jest najstarsza…)

Względy dydaktyczne (łatwiej rozwiązać zadanie „ręcznie” za pomocą np.

metody różnic skończonych) Względy praktyczne

Niektóre zastosowania (analiza płyt, ruchomy brzeg, szczelina, …) Dostępne oprogramowanie (własne lub komercyjne)

Kombinacje metod (np. MES + BMRS)

Potrzeba weryfikacji obliczeń MES inną metodą Efektywność i szybkość algorytmu

Potrzeba częstej przebudowy siatki (adaptacja)

Dokładność rozwiązania i jego pochodnych (nadzbieżność)

Końcowe opracowanie wyników (podejście hybrydowe)

Aktualne trendy w nauce (metody bezsiatkowe)

(4)

Kryteria klasyfikacji

metod obliczeniowych

(5)

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

METODY BEZSIATKOWE

BEZSIATKOWA METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

METODY RESIDUÓW WAŻONYCH METODY ENERGETYCZNE

INNE…

Ω ∂Ω

(6)

Aproksymacja rozwiązania

Metody brzegowe

Metody elementowe

Metody bezsiatkowe

(7)

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

NAZWA METODY

SFOR- -MUŁOWANIE

PODSTAWA DYSKRETYZACJI

SPOSÓB DYSKRETYZACJI

SPOSÓB APROKSYMACJI

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

OPRACOWANIE WYNIKÓW

SŁABE (WARIACYJNE / FUNKCJONAŁ)

OBSZAR

INTERPOLACJA F.KSZTAŁTU W ELEMENCIE

W ELEMENCIE MES + INNE

OBSZAR WĘZŁY

+ ELEMENTY

METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH

RÓWNANIE

CAŁKOWE OBSZAR

INTERPOLACJA BRZEGOWA

NA BRZEGU (CAŁKI WŁAŚCIWE

I NIEWŁAŚCIWE)

MEB + INNE

BRZEG ELEMENTY

METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

MOCNE

(LOKALNE) OBSZAR

WZORY RÓŻNICOWE

NIE JEST

POTRZEBNE APROKSYMACJA OBSZAR

WĘZŁY + ELEMENTY

WĘZŁY

WARIACYJNA MRS

SŁABE

(WARIACYJNE) OBSZAR

WZORY RÓŻNICOWE

DOOKOŁA LUB POMIĘDZY

WĘZŁAMI

APROKSYMACJA

OBSZAR WĘZŁY

METODY BEZSIATKOWE

(BEZSIATKOWA MRS)

MOCNE / SŁABE

(WARIACYJNE) OBSZAR

METODA MWLS

RÓŻNE

SPOSOBY MWLS

OBSZAR WĘZŁY

METODY RESIDUALNE

(GALERKIN, NK, KOL.)

SŁABE

(WARIACYJNE) BRAK

KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH

ANALITYCZNIE INTERPOLACJA BRAK

METODY ENERGETYCZNE

(RITZ)

SŁABE

(FUNKCJONAŁ) BRAK

KOMBINACJA LINIOWA F.BAZOWYCH

ANALITYCZNIE INTERPOLACJA BRAK

(8)

Metoda różnic skończonych

- wersja lokalna

(9)

MRS (lokalna) na tle MES

MRS lokalna MES

Sformułowanie problemu brzegowego

Lokalne - Wariacyjne

- Funkcjonał

Generacja siatki Typ (prostokątna, trójkątna) + moduł h

Specjalne programy - generatory

Aproksymacja Generacja wzorów różnicowych dla pochodnych z równania

Interpolacja rozwiązania w elemencie za pomocą funkcji kształtu

Generacja równań dyskretnych

Kolokacja Spełnienie równania wariacyjnego

w elemencie

Całkowanie Brak Kwadratury Gaussa w elemencie

Warunki brzegowe Dodatkowe wzory różnicowe brzegowe

Modyfikacja układu równań

Macierz

Układu równań

Na ogół

niesymetryczna

Symetryczna pasmowa

2

( ) u f

u u P P

u P

u g

α β

n

 ∇ =  ∈ Ω

 =

 + ∂ =  ∈ ∂Ω

 ∂



( )

I( )= , , min I( ) ?

u

u F u u d u

Ω n

∂

 

Ω =

 

∂

 

∫

u vd uvd f v d

Ω ∂Ω n Ω

− ∇ ∇ Ω + ∂ ∂Ω = Ω

∫ ∫

∂

∫

(10)

Etapy MRS – generacja siatki

Źródło: Orkisz J., „Finite Difference Method”, part III in Handbook of Computational Mechanics, ed: Kleiber, Springer, 1998

(11)

Etapy MRS – generacja wzorów różnicowych

1D:

h h

2D:

h

h h

1

i− i i+1 i−1, j i+1,j

, 1 i j+

, 1 i j−

, i j

Sposoby generacji wzorów różnicowych:

- Składanie wzorów złożonych ze wzorów prostych:

- Wymuszenie zgodności dla jednomianów - Interpolacja i różniczkowanie

- Metoda współczynników nieoznaczonych („metoda Taylora”) gwiazda trójwęzłowa standardowa

gwiazda pięcowęzłowa

1

ui₋ uⁱ

1

ui₊

2h 2h

1

i− i i+1

1

ui₋ uⁱ

1

ui₊

gwiazda pięciowęzłowa

2 i−

2

ui₋

h

2 i+

2

ui₊

h

h gwiazda

dziewięcio-

węzłowa

(12)

Generacja wzorów różnicowych – przykłady obliczeń 1D

( ) ( )

1 1 1 1

2

' '' ' ' 2 ''' '' ' ...

2

i i i i i

u u u u u

h h

+

−

− −

− +

+

≈ → ≈ = → ≈

1 1

''

_i _i _i _i

u ≈ au

₋

+ bu + cu

₊

2 1

' 0.5 '' ...

i i i i

i i

i i i i

u u hu h u

u u

u u hu h u

−

+

 = − + +

 =

 

= + + +



( )

² ²

0 1

0

''

_i _i

' (

_i

) '' (0.5

_i

0.5 )

u ≈ u a b c + + + u − + ah ch + u h a + h c

2

1 2 1 a h

b h

c h

 =

 

−

 =

 

 =

  - metoda współczynników nieoznaczonych – operator: h h

1

i− i i+1

1

ui₋ uⁱ

1

ui₊

''

_i _i

'

_i _i 1

u ≈ au + bu + cu

₊

2 1

' '

' 0.5 '' ...

i i

i i i i

u u

u

₊

u hu h u

 =

 =

 

= + + +



( )

²

0 1 0

''

_i _i

' (

_i

) '' 0.5

_i

u ≈ u a c + + u b ch + + u h c

2

2 2 2

a h

b h

c h

 = −

 

−

 =

 

 =

  - metoda współczynników nieoznaczonych – operator: h

i i+1

i, 'i

u u u_i₊₁

- składanie operatorów

(13)

Generacja wzorów różnicowych – przykłady obliczeń 2D

- metoda współczynników nieoznaczonych – operator:

h

h h

1,

i− j i+1,j

, 1 i j+

, 1 i j−

, i j

( ) ( )

2

,

''

,

''

, 1, , 1 1, , 1 ,

i j xx i j yy i j i j i j i j i j i j

u u u au

₋

bu

₋

cu

₊

du

₊

eu

∇ = + ≈ + + + +

( ) ( )

2

1, , , ,

2

, 1 ,

, ,

2

1, , , ,

2

, 1 , , ,

, ,

' 0.5 '' ...

i j i j x i j xx i j

i j i j y yy

i j i j

i j i j x i j xx i j

i j i j y i j yy i j

i j i j

u u h u h u

u u

−

− +

+

 = − + +

  = − + +

 

= + + +

 

= + + +

 

 =

( ) ( ) ( ) ( ) ⁽ ⁾

( ) ( ) ( ) ( )

2

, , , ,

0 0 0 2

2 2 2 2

, ,

2

1 1

' ' ... 1

... '' 0.5 0.5 '' 0.5 0.5 4

i j i j x i j y i j

xx i j yy i j

u u a b c d e u ha hc u hb hd

a b c d h

u h a h c u h b h d e

h

∇ = + + + + + − + + − + + 

= = = =

→  

+ + + +   = −

- składanie operatorów

( ) ( )

1, , 1, , 1 , , 1

2 2

, ,

1, , 1 1, , 1 ,

2

, , , 2

2 2

'' , ''

'' '' 4

i j i j i j i j i j i j

xx i j yy i j

i j i j i j i j i j

i j xx i j yy i j

u u u u u u

u u

h h

u u u u u

u u u

h

− + − +

− − + +

− + − +

≈ ≈ →

+ + + −

→ ∇ = + ≈

(14)

Etapy MRS – generacja równań różnicowych

( )

u f P

u u P

u g P

= ∈ Ω

 

=

 

=  ∈ ∂Ω

 L G

i i

j j

i i

L u f P G u g P

=  ∈ Ω

 

 

=  ∈ ∂Ω

 

Uwzględnienie warunków brzegowych

Operator budowany tylko na węzłach wewnętrznych

Operator budowany na węzłach wewnętrznych

- z wykorzystaniem uogólnionych stopni swobody

Operator budowany na węzłach wewnętrznych

i zewnętrznych

„fikcyjnych” węzłach Kolokacja

we węzłach

(15)

Zginana belka – równanie II rzędu

q(x)

L EI

y

x

2 2

( ) ( ) , (0) 0 , ( ) 0

d y M x

f x y y L

dx = = − EI = =

( )

1 1

2

1 ( ) 2 2 2

M x = qLx − qx = qx L − x

sformułowanie matematyczne – równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu

dla q = const.

(16)

Problemy brzegowe II rzędu

- zamiana pochodnych ścisłych na numeryczne

h h

1 i − i i + 1

1 1

' 2

i i

i

y y

y h

+ − −

≈

1 1

2 '' _i y ⁱ 2 y ⁱ y ⁱ

y h

− − + +

≈

(17)

EJ L y

x

Przykład: siatka 5-cio węzłowa

1 2 3 4

5

2 2

( ) ( )

(0) 0 , ( ) 0

d y M x

dx f x EI

y y L

= = −

= =

( ) ( ) ( )

0

1 2 3

2 2

2 3 4

3 2, 3 4

2 0

3 4 5

2 4

2 2 ,

2 y y y

h f x

y y y

f x y y y

h

y y y

h f x

 − +

 =

 

− +

 = →

 

 − +

 =

 

q(x)

zapis tradycyjny – do obliczeń ręcznych

4 h = L

zapis macierzowy – do obliczeń komputerowych

( ) ( ) ( )

1 1

2 2 2

1

3 3 3

2 2 2

4 4 4

2 2 2 5 5

1 0 0 0 0

1 2 1 0

0 0

1 2 1

0 0

1 2 1

0 0

0 0 0 0 0 1

y y

h h h y f x y

y f x y

h h h

y f x y

y y

h h h

−

 

 

 

   

 −       

       

 

  = →   =

−

 

   

       

 

−    

       

 

 

^B

A

A B

(18)

Zginany wspornik – równanie II rzędu

q

L EI

y

x

2 2

( ) ( ) , '(0) 0 , (0) 0

d y M x

f x y y

dx = = − EI = =

( ) ( )

M x = − q L − x

sformułowanie matematyczne – równanie różniczkowe zwyczajne II rzędu

(19)

Zginany wspornik – równanie II rzędu

- model obliczeniowy MRS – wariant I – węzeł fikcyjny

1 2 3 … n-1 n

1

h L const

=n =

0

−

2 0

0 2

1

2 0

0 y y

y y h

y

−

 = → =

 

 =



x

n

= L

( )

0 1 2

1 2 1

: y 2 y y

x f x

h

− + =

( ) ( ) ( ) ( )

1

2 2

2

1

2 2 2 3

2 4

2

2 2 2 1

1

2 2 2

1 0 0 0 ... 0

2 2

0 0 ... 0 0

1 2 1

0 ... 0

... ... ... ... ... ... ...

1 2 1 ...

0 0 0

1 2 1

0 0 0

n n

y

h h y

f x

y f x

h h h

y y f x

h h h f x

y

h h h

− −

−

 

 

 

 −     

     

 −     

     

  ⋅   =  

     

 −     

       

   

 − 

 

(20)

Zginany wspornik – równanie II rzędu

- model obliczeniowy MRS – wariant II – ulepszony operator brzegowy

1 2 3 … n-1 n

1

h L const

=n =

−

( )

1 1 2 1

2 2

1

2 2 2

' 0

y y y f x

h h h

y

 − − + =

 

 =



x

n

= L

( ) ( ) ( ) ( )

1

2 2

2

1

2 2 2 3

2 4

2

2 2 2 1

1

2 2 2

1 0 0 0 ... 0

2 2

0 0 ... 0 0

1 2 1

0 ... 0

... ... ... ... ... ... ...

1 2 1 ...

0 0 0

1 2 1

0 0 0

n n

y

h h y

f x

y f x

h h h

y y f x

h h h f x

y

h h h

− −

−

 

 

 

 −     

     

 −     

     

  ⋅   =  

     

 −     

       

   

 − 

 

ten sam układ równań, co dla wariantu I

(21)

2

''

_xx

''

_yy

T

n q

T T T f w

k

T T na

k T q na

n

 ∇ = + = − Ω

 

= ∂Ω

  ∂

 = − ∂Ω

 ∂

 Ω

Ω T

Ω q

q

n

1 - 4

1 1 1

h

h h

2

1 × h

2

∇ ≈

0

( )

2

0 0 0

1 2 3 4 0 2

'' ''

4 1

xx yy

T T T

T T T T T

h

∇ = + ≈

= + + + −

„1” „0” „2”

„3”

„4”

h h

wartość

operatora

w węźle „0”

(22)

3 m 2 m

2 m 1 m

10 C T =

T = 1 0 8888 C

Ustalony przepływ ciepła 2D – przykład obliczeń MRS

10 C T =

T = 1 0 8888 C T = 1 0 8888 C

Cms k J

k

_x

=

_y

= = 7

_o

Materiał izotropowy

( − + ) _ ^ _ ^

= m s

y J x

y x

f ( , ) 20 30 10

₂

Intensywność generacji ciepła wewnątrz obszaru (na jedn. grubości)

x

y

(23)

3 m 2 m

2 m 1 m

obliczeń MRS – siatka MRS

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21

[ ] ^m

h = 1

moduł siatki (21 węzłów)

Węzły wewnętrzne (5): 8, 9, 10, 11, 14 Węzły brzegowe (16): 1-6, 7, 12, 13, 15-21

( ) ¹ ^, ¹ ( ) ² ^, ¹ ( ) ³ ^, ¹ ( ) ⁴ ^, ¹ ( ) ¹ ^, ²

x

y

(24)

Ustalony przepływ ciepła 2D – przykład obliczeń MRS – układ równań

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T

   

   

  

  ⋅

  

   

 

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

  

  

  

= 

  

   

równanie nr 1 - węzeł nr 1 - brzeg równanie nr 2 - węzeł nr 2 - brzeg równanie nr 3 - węzeł nr 3 - brzeg równanie nr 4 - węzeł nr 4 - brzeg równanie nr 5 - węzeł nr 5 - brzeg równanie nr 6 - węzeł nr 6 - brzeg równanie nr 7 - węzeł nr 7 - brzeg równanie nr 8 - węzeł nr 8 - wnętrze równanie nr 9 - węzeł nr 9 - wnętrze równanie nr 10 - węzeł nr 10 - wnętrze równanie nr 11 - węzeł nr 11 - wnętrze równanie nr 12 - węzeł nr 12 - brzeg równanie nr 13 - węzeł nr 13 - brzeg

równanie nr 15 - węzeł nr 15 - brzeg równanie nr 16 - węzeł nr 16 - brzeg równanie nr 17 - węzeł nr 17 - brzeg równanie nr 18 - węzeł nr 18 - brzeg równanie nr 19 - węzeł nr 19 - brzeg równanie nr 20 - węzeł nr 20 - brzeg równanie nr 21 - węzeł nr 21 - brzeg równanie nr 14 - węzeł nr 14 - wnętrze

początkowa postać układu równań (21 x 21)

algebraicznych

(25)

obliczeń MRS – równania różnicowe

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21

( )

²

2 9 14 7

4

8 8

,

8

h 0

T T T T T f x y

+ + + − = − k =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0

0 0 0 0

−

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

T T T T T T T T T T T T T T T T T T

  

  ⋅

  

   

 

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0

  

= 

  

   

(26)

Ustalony przepływ ciepła 2D – przykład obliczeń MRS – równania różnicowe

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21

( )

²

3 10 15 8 9 9 9

4 , 20

7 T T T T T f x y h

+ + + − = − k = −

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

−

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

T T T T T T T T T T T T T T T T T T T

  

  ⋅

  

   

 

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 20 / 7

0

0 0 0 0 0 0

0

  

 − 

  

= 

  

  

(27)

obliczeń MRS – równania różnicowe

1 2 3 4 5 6

7 8 9 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21

( )

²

4 11 16 9 10 10 10

4 , 40

7 T T T T T f x y h

+ + + − = − k = −

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0

4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

1 0 0 0 1

−

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

−

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

T T T T T T T T T T T T T T T T T T

  

  ⋅

  

   

 

0 20 / 7 40 / 7 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0

0

  

 − 

  

 − 

  

= 

  

  

10