3 m 2 m 2 m 20 kNm 10 kN 3 m 10 kNm

10kN

20kNm 10 kN m

20 C

^

0, 01 20 C

^

40 C

^

3m 3m

2m 2m

0, 01m 40 C

^

60^

B E

F G

C

A D

20 C

^

20 C

^

y

250 K kN

 m

E  205GPa α_t 1.2 10 ^5 1

K



Przekrój:

I

200 h  0.2m I_x  2140cm⁴ E I_x4387 kN m  ²

 

Układ podstawowy metody sił (UPMS)

Stan "p"

10kN

20kNm 10 kN m

3m 3m

2m 2m

60^

Reakcje w stanie "p"

3m 3m

2m 2m

34, 234kN 24, 426kN

5kN

 

Stan X

₁

=1

 

Reakcje w stanie X

₁

=1

 

 

 

 

Stan X

₂

=1

Reakcje w stanie X

₂

=1

 

 

Stan X

₃

=1  

 

Reakcje w stanie X

₃

=1

 

 

 

Wyznaczenie współczynników układu równań

11

1

E Ix

 



 

 

 

 

 

 

 

7m    1    1    +   +

δ₁₁ 1 E I_x

1

2 71 m 2

 13

   

 δ₁₁ 5.31910^4 1

kN m



 E I δ_{x 11} 2.333 m

22

1

E Ix



  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 2m  2m  + 2m  2m  +

3m   +   +

3m 3m  +

+

3m  3m 3m

3m   –   –  3m 

3m   –    –   3m 

2m 

 2m 

 2m 

  +

  +

δ₂₂ 1 E I_x

1

2 m3 3 m 2

 33 m 2 3 m 3 m 3 m 1

2 m2 2 m 2

 2m 23 

  2m 3 m 2 m

  







δ₂₂ 1.42110^2 m

kN

 E I δ_{x 22} 62.333 m ³

33

1

E Ix

   



 

 

 

 

 

 

 

3m   +

  + 3m 5m

3m 

3m   –    –   3m 

3m

3m  –

–

3m

δ₃₃ 1 E I_x

1

2 m3 3 m 2

 33 m 2 3 m 5 m 3 m

  





 δ₃₃ 1.43610^2 m

kN

 E I δ_{x 33} 63 m ³

12

1

E Ix

 



 

 

 

 

 

 

 

5m

 0,714    2m   + 

  +   –    3m 

δ₁₂ 1 E I_x

1

20.714 m5 2

3( m2 ) 1 3 m3





 





  







δ₁₂ 1.35610^4 1

kN

 E I δ_{x 12} 0.595m²

δ₂₁  δ₁₂

13

1

E Ix

 



 

 

 

 

 

 

 

 0,714    +    +  3m  5m 

δ₁₃ 1 E I_x

1

2 m5 0.714  m3

  







δ₁₃ 1.22110^3 1

kN

 E I δ_{x 13} 5.355 m ²

δ₃₁  δ₁₃

23

1

E Ix

   



 

 

 

 

 

 

 3m   

3m    –    –   3m 

  +  –  2m   3m 

 + 3m

5m

3m

3m  –  +

2m

δ₂₃ 1

E I_x 1

2 m3 ( m3 )( m3 ) 5m 3 m 1

2[3m ( m2 )]

 2m 3 m 1

2( m3 )





 







δ₂₃ 2.73510^3 m

kN

 E I δ_{x 23} 12 m ³

δ₃₂  δ₂₃

Wyznaczenie wyrazów wolnych układu równań

1

1

p

E Ix

   



 

 

 

 

 

 ^3m  

 0,428    +  45    +

kNm 

57,703 

kNm  2m

 + 48,852 kNm  0,428  + 0,714 57,703

kNm  2m 

  +  1 48,852    + 

kNm  0,714 

Δ_1p 1 E I_x

1

2 m 0.4283  1

345kN m 2

357.703kN m





  

 1

20.428 m2 2

357.703kN m 1

348.852kN m





  



 1

20.714 m2 1

357.703kN m 2

348.852kN m





  

 1

2 m 48.8522  kN m 2

30.714 1 31





  











 

 

 

 





Δ_1p  3.06110^2 E I Δ_{x 1p} 134.285 kN m  ²

2

1

p

E Ix

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3m  

  –    –   3m  45  kNm 

3m   –   – 3m

45  kNm 

3m  +  + 45 kNm

3m

57,703 kNm 

  +  48,852  kNm  57,703 

kNm 

2m 

  2m 

  +  2m

 –  + 3m 20

kNm 2m

 –  + 2m

20 kNm 

Δ_2p 1 E I_x

1

3( kN m45  ) 3 m 3

4( m3 ) ( kN m45  ) 3 m 3( m) 1

2 m 33  m 2

345kN m 1

357.703kN m





  



 1

2 m 22 ( m) 2

348.852kN m 1

357.703kN m





  

  ( kN m20  ) 2 m 3 m 1

3( kN m20  ) m2 3

 24 m









 

 

 

 





Δ_2p  1.10410^1m E I Δ_{x 2p} 484.2 kN m  ³

3

1

p

E Ix

 

  



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3m 

3m   –   –  45 kNm 

 + 3m

3m 45   +

kNm 

57,703 kNm 

 +  3m  2m 

 +  48,852  kNm  57,703 

kNm  3m

3m  –  –

20 kNm

Δ_3p 1

E I_x (45kNm) 3 m 1

2( m3 ) 3 m 3 m 1

2(45 kN m 57.703 kN m)

 3 m 2 m 1

2(48.852 kN m57.703 kN m) 3 m (20kNm) 1

2( m3 )









 

 

 

 







Δ_3p  2.44910^1m E I Δ_{x 3p} 1.074 10³kN m ³

Δ_1Δ  [0.143(0.01)] Δ_1Δ 1.43 10^3 Δ_2Δ  0

Δ_3Δ  0

Δ_1t0  0

Δ_2t0  α_t K10 (1) m3 Δ_2t0  3.6 10^4m Δ_3t0  α_t K20 (1) m5 Δ_3t0  1.2 10^3m

Δ_1Δt α_t h K20 1

 52 m 0.714

 Δ_1Δt 2.142 10^3

Δ_1Δt  2.14210^3 Δ_2Δt α_t

h K20 1

2 m 33  m 1

2 m 22 ( m)





 





 Δ_2Δt 310^3m

Δ_3Δt α_t

h K 320  m 5 m

 Δ_3Δt 0.018 m

Δ₁₀ ^ Δ_1p ^



Δ_1ΔΔ_1t0 Δ_1Δt



^Δ10  0.034 Δ₂₀ ^ Δ_2p ^



Δ_2ΔΔ_2t0 Δ_2Δt



^Δ20  0.113 m Δ₃₀ ^ Δ_3p ^



Δ_3ΔΔ_3t0 Δ_3Δt



^Δ30  0.262 m

Z podporą sprężystą

V_Ap  24.426kN V_A1 0.143 1

m

 V_A2  0 V_A3  0 K_y 250kN

 m δ₁₁ 5.31910^4 1

kN m



 V_A1V_A1

K_y 8.1810^5 1 kN m



 δ₁₁ δ₁₁ V_A1V_A1

K_y

 6.137 10^4 1 kN m







δ₂₂ 1.42110^2 m

kN

 V_A2V_A2

K_y  0 δ₂₂ δ₂₂ V_A2V_A2 K_y

 1.421 10^2 m

kN





δ₃₃ 1.43610^2 m

kN

 V_A3V_A3

K_y  0 δ₃₃ δ₃₃ V_A3V_A3 K_y

 1.436 10^2 m

kN





δ₁₂ 1.35610^4 1

kN

 V_A1V_A2

K_y  0 δ₁₂ δ₁₂ V_A1V_A2 K_y

 1.35610^4 1

kN



 δ₂₁  δ₁₂

δ₁₃ 1.22110^3 1 m

m

kN

 V_A1V_A3

K_y  0 δ₁₃ δ₁₃ V_A1V_A3 K_y

 1.221 10^3 1 m

m

kN



 δ₃₁  δ₁₃

δ₂₃ 2.73510^3 m

kN

 V_A2V_A3

K_y  0 δ₂₃ δ₂₃ V_A2V_A3 K_y

 2.735 10^3 m

kN



 δ₃₂  δ₂₃

Δ₁₀  3.41810^2 V_A1V_Ap

K_y  1.39710^2 Δ₁₀ Δ₁₀ V_A1V_Ap K_y

 2.02110^2



Δ₂₀  1.1310^1m V_A2V_Ap

K_y  010⁰ Δ₂₀ Δ₂₀ V_A2V_Ap K_y

 1.1310^1m



Δ₃₀  2.61710^1m V_A3V_Ap

K_y  010⁰ Δ₃₀ Δ₃₀ V_A3V_Ap K_y

 2.61710^1m



Rozwiązanie układu równań

δ₁₁X₁ δ₁₂X₂δ₁₃X₃ Δ₁₀ 0.01

δ₂₁X₁ δ₂₂X₂δ₂₃X₃ Δ₂₀ 0

δ₃₁X₁ δ₃₂X₂δ₃₃X₃ Δ₃₀ 0

X₁ 20.668 kN m  X₂ 4.059kN X₃ 19.206kN

X1 20,668 X2 -4,059 X3 -19,206

Mp M1 M2 M3 Most

AD 0 1 0 0 20,668

DA 48,852 0,714 0 0 63,609

DC 48,852 0,714 -2 3 14,109

DG -20 0 2 -3 29,500

CD 57,703 0,428 0 3 8,931

CB 57,703 0,428 0 3 8,931

BC 45 0 3 3 -24,795

BE -45 0 -3 -3 24,795

EB -45 0 -3 0 -32,823

EF -45 0 -3 0 -32,823

FE 0 0 0 0 0,000

FG 0 0 0 0 0,000

GF -20 0 2 0 -28,118

GD -20 0 2 0 -28,118

Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach

 

M_EB M_EF 0 kN m 

 

M_BE M_BC 0 kN m 

 

M_GF M_GD 0 kN m 

 

^{MDC MDGMDA}

20kN m

 0 kN m 

Wyznaczenie sił tnących Pręt DA

 

M_A=0

T_DA m M2  _DA M_AD 0

Y=0 T_ADT_DA

T_DA21.471kN T_AD21.471kN

Pręt BD

M_C=0

 

T_BC m M5  _BC M_DC 10kN sin 60deg ( ) m2 0

Y=0

T_BCT_DC 10kN sin 60deg ( ) 0

T_DC2.585 kN T_BC11.245 kN

Pręt BE

 

M_E=0

T_BE m M3  _BE M_EB0

Y=0 T_EBT_BE

T_BE19.206kN T_EB19.206kN

Pręt EG

 

M_G=0

T_EF m M5  _EF M_GF 10kN m m5 5m

 2

  0

Y=0

T_EFT_GF 10kN m m5

  0

T_GF24.059kN T_EF25.941 kN

Wyznaczenie maksymalnego momentu

24, 059 25,941

+

0 ‐

x

T_EF x₀

T_GF

 5mx₀



x₀2.594 m M_max M_EF T_EFx₀ 10kN

mx₀ x₀

2



 M_max0.824 kN m 

Pręt GD

 

M_D=0

T_GD m M3  _GDM_DG0

Y=0 T_DGT_GD

T_GD19.206 kN T_DG19.206 kN

Równowaga węzłów - siły normalne i reakcje Węzeł E

 

X=0 N_EF T_EB 0 N_EF 19.206kN

Y=0 N_EBT_EF 0 N_EB25.941kN

N_GF  N_EF N_BE  N_EB (z warunków równowagi prętów EG i BE)

Węzeł B

 

X=0 N_BC T_BE 0 N_BC 19.206 kN

Y=0 N_BER_BT_BC 0 R_B 37.186 kN

Węzeł G

 

X=0 T_GDN_GF0 kN (sprawdzenie)

Y=0 N_GD T_GF 0 N_GD 24.059kN N_DG  N_GD (z warunku równowagi pręta DG)

Pręt BD

 

X=0

N_DC 10kN cos 60deg ( ) N_BC 0 N_DC 14.206 kN

Węzeł D

 

Y=0

N_DG T_DCT_DA 3.85210^3kN (sprawdzenie)

X=0

N_DA T_DGN_DC 0 N_DA  kN5

N_AD  N_DA (z warunku równowagi pręta DA)

Węzeł A

 

M_A=0 M_A  M_AD M_A 20.668 kN m 

X=0 H_A N_AD0 H_A 5 kN

Y=0 V_A T_AD 0 V_A 21.471 kN

 

M ost kNm

32,823

32,823

24, 795

29,5

8,931

28,118

20,668 63,609

‐

‐

‐

‐

+ +

+

0,824

24, 795

28,118

14,109 +

‐

Ostateczne wykresy sił wewnętrznych

ost  

T kN

19, 206

‐

+

11, 245

2,585 +

19, 206 + 24,059 25,941

+

‐

21, 471

‐

ost  

N kN

‐

‐

19, 206

24, 059 25,941

‐

19, 206

+ 14, 206

+

5 ‐

Sprawdzenia statyczne

10kN

20kNm 10 kN m

3m 3m

2m 2m

60^

B E

F G

C D A H

_A

 5 kN

20, 668 M

A

 kNm

21, 471 V

A

 kN 37,186

R

B

 kN

X=0 H_A 10kN cos 60deg ( ) 0 kN

Y=0 R_B V_A10kN sin 60deg( ) 10kN m m5

  3.85210^3kN

M_G=0

R_B m 105 kN m m5 5m

 2

  10kN sin 60deg ( ) m2 10kN cos 60deg ( ) m3 20kN m V_A m2 H_A m3  M_A



 1.091 10^14kN m

Sprawdzenie kinematyczne

24,795



8,931 8,931 14,109 63,609 20,668

0,428

0,714

1



0,428



0,714

3m 2m 2m

φ_1p 1 E I_x

1

2 m 0.4283  1

3M_BC 2 3M_CB





  

 1

2 m M2  _CD 2

30.428 1 30.714





  

 1

2 m M2  _DC 1

30.428 2 30.714





  









1

2 m M2  _DA 2

30.714 1 31





 





1

2 m M2  _AD 1

30.714 2 31





 











 

 

 



 

 

 





φ_1p1.871 10^2

φ_1t  Δ_1Δt φ_1t 2.142 10^3

φ_1Δ  (1 0.01  0.143 0.01 ) φ_1Δ 8.5710^3

φ_1k V_A1V_A K_y

 φ_1k0.012

φ₁  φ_1pφ_1tφ_1Δφ_1k φ₁ 4.69510^6 Δ φ₁

φ_1p

 Δ 0.025 %

24, 795



8,931



8,931 14,109



 

32,823



3

3m 3

32,823 3 



24, 795 3

3m 3m

2m 2 2

28,118 2 

29,5 3m

2



2m

28,118



Δ_2ost 1 E I_x

1

2 m 33 ( m) 2

3(32.823kN m ) 2 3

10kN m(3m)²

 8  m3 1

2( m3 )

 3m( m3 ) 1

2(32.823kN m ) 1

224.795kN m





 





1

2 m 33  m 2

3(24.795kN m ) 1

38.931kN m





 











1

2 m 22 ( m) 1

38.931kN m 2

314.109kN m





  

 2m 3 m 1

229.5kNm 1

2(28.118kN m )





  









1

2 m 22  m 2

3(28.118kN m ) 2 3

10kN m(2m)²

 8  m2 1

 22 m







 

 

 

 

 



 

 

 

 

 





Δ_2ost 2.641 10^3m

Δ_2t  Δ_2Δt Δ_2t0 2.6410^3m Δ_2Δ 0

Δ_2k V_A2V_A K_y  0



Δ₂  Δ_2ost Δ_2t Δ_2ΔΔ_2k 1.327 10^6m

Δ Δ₂ Δ_2ost

 Δ 0.05 %

24, 795



8,931



8, 931 14,109





3

32,823



24, 795 3

3m

3m 2m

28,118



29,5 3m

3 3 3 3

Δ_3ost 1 E I_x

1

2 m 33 ( m) 1

3(32.823kN m ) 2

324.795kN m





  

 3m 3 m 1

2(24.795kN m ) 1

28.931kN m





  



 3m 2 m 1

28.931kN m 1

214.109kN m





 





1

2 m 33 ( m) 2

329.5kNm 1

3(28.118kN m )





 













 

 

 

 





Δ_3ost 1.681 10^2m

Δ_3t  Δ_3Δt Δ_3t0 1.6810^2m Δ_3Δ 0

Δ_3k V_A3V_A K_y  0



Δ₃  Δ_3ost Δ_3t Δ_3ΔΔ_3k 9.095 10^6m

Δ Δ₃ Δ_3ost

 Δ 0.054 %