Matematyka dyskretna
Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT March 9, 2021
6 Kombinatoryka
ZASTOSOWANIE: Analiza zªo»ono±ci algorytmów.
1. ? Pewne do±wiadczenie losowe polega na rzucie monet¡ okre±lon¡ liczb¦ razy. Ile jest mo»liwych wyników do±wiadczenia, je»eli:
(a) rzucamy 1 raz (b) rzucamy 2 razy
(c) rzucamy 5 razy (d) rzucamy n razy
2. ? Pewne do±wiadczenie losowe polega na rzucie kostk¡ okre±lon¡ liczb¦ razy i sprawdzeniu po ka»dym rzucie, czy wypadªa parzysta czy nieparzysta liczba oczek. Ile jest mo»liwych wyników do±wiadczenia, je»eli:
(a) rzucamy 1 raz (b) rzucamy 2 razy
(c) rzucamy 5 razy (d) rzucamy n razy
3. ? Pewne do±wiadczenie losowe polega na rzucie kostk¡ okre±lon¡ liczbe razy. Ile jest mo»liwych wyników do±wiadczenia, je»eli:
(a) rzucamy 1 raz (b) rzucamy 2 razy
(c) rzucamy 5 razy (d) rzucamy n razy
4. ? Na ile sposobów mo»na potasowa¢ tali¦ 52 kart?
5. Na ile sposobów grupa 14 osób (7 kobiet i 7 m¦»czyzn) mo»e ustawi¢ si¦ w kolejce, je±li kobiety i m¦»czy¹ni stoj¡ na przemian?
6. 20 studentów zdaje egzamin z matematyki dyskretnej. Na ile sposobów mog¡ zosta¢ wystawione oceny w tej grupie, je±li wszyscy studenci otrzymaj¡ pozytywn¡ ocen¦?
7. 5 studentów powtarzaj¡cych ¢wiczenia z matematyki dyskretnej ma do wyboru 7 ró»nych grup. Na ile sposobów mog¡ si¦ do nich zapisa¢?
8. Na 10 klockach wyrze¹biono litery: a, a, k, s, s, t, t, t, y, y.
(a) Ile ró»nych sªów 10-literowych mo»na z nich uªo»y¢?
(b) Na ile sposobów mo»na z nich uªo»y¢ sªowo statystyka?
9. Ile bitów potrzeba na zapisanie:
(a) 10 ró»nych liczb (b) 100 ró»nych liczb
1
(c) 1000 ró»nych liczb
10. Na ile sposobów mo»na wylosowa¢ 5 kart (bez zwracania) z talii licz¡cej:
(a) 52 karty (b) 32 karty ?
11. Na ile sposobów mo»na wylosowa¢ 5 kart (ze zwracaniem) z talii licz¡cej:
(a) 52 karty (b) 32 karty ?
12. ? W urnie znajduje si¦ 8 ponumerowanych kul. Na ile sposobów mo»na wylosowa¢ z urny 5 kul, losuj¡c je:
(a) jednocze±nie gar±ci¡?
(b) kolejno bez zwracania?
13. Ile sªów 5-literowych mo»na utworzy¢ z liter a, b, c, d, e, f, g, h (a) w których »adna litera si¦ nie powtarza
(b) w których litery mog¡ si¦ powtarza¢?
14. Pewna grupa studencka skªada si¦ z 12 m¦»czyzn i 16 kobiet. Ile da si¦ z nich utworzy¢ komisji, skªadaj¡cych si¦ z:
(a) siedmiu osób?
(b) trzech m¦»czyzn i czterech kobiet?
(c) siedmiu kobiet lub siedmiu m¦»czyzn?
15. Na ile sposobów wi¦ty Mikoªaj mo»e rozdzieli¢ 10 ró»nych prezentów pomi¦dzy dwie osoby tak, by ka»da otrzymaªa co najmniej jeden?
16. Iloma sposobami mo»na ustawi¢ 12 ksi¡»ek na 3 póªkach tak, aby na pierwszej znajdowaªo si¦ 6 ksi¡»ek, na drugiej 4 ksi¡»ki, a na trzeciej pozostaªe?
17. Pewien portal spoªeczno±ciowy ma 1000000 zarejestrowanych u»ytkowników. Z ilu przynajmniej znaków musi skªada¢ si¦ login ka»dego z uczestników (przy zaªo»eniu 26 liter alfabetu)?
18. Ile ró»nych tablic rejestracyjnych mo»na uzyska¢ w Szczecinie, przy zaªo»eniu, »e numer tablicy ma posta¢ ZSXXXXX, gdzie X to dowolna z 24 liter lub cyfr od 0 do 9?
19. Drukarka drukuje 300 punktów na cal kwadratowy. Ile ró»nych wydruków mo»na uzyska¢ na ob- szarze 3 x 5 cali je»eli drukarka jest czarno-biaªa (punkt zostaje zamalowany lub nie)?
20. Niech S = {a, b, c, d}, T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
(a) Ile jest funkcji ró»nowarto±ciowych z S w T ? (b) Ile jest funkcji ró»nowarto±ciowych z T w S?
(c) Ile jest funkcji z S w T ?
21. Niech A i B b¦d¡ zbiorami sko«czonymi |A| = k, |B| = l, k ≥ l. Ile mo»na stworzy¢:
(a) relacji ρ ⊂ A × B (b) funkcji f : A → B
(c) funkcji ró»nowarto±ciowych f : A → B 22. Ile ró»nych dzielników maj¡ liczby
(a) 2 · 3 · 5 · 7?
(b) 2 · 32 · 73?
2
23. Z partii N sztuk towaru, w±ród których M sztuk jest zgodnych z norm¡, losujemy n sztuk bez zwracania. Na ile sposobów mo»na wylosowa¢ k sztuk zgodnych z norm¡?
24. Ile ró»nych liczb pi¦ciocyfrowych mo»na utworzy¢ z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? Ile takich, w których »adna cyfra si¦ nie powtarza?
25. Dany jest alfabet {a, b, c}. Ile sªów o dªugo±ci 10 mo»na utworzy¢, je±li:
(a) Zªo»one s¡ z 4 liter a, 3 liter b i 3 liter c.
(b) Zªo»one s¡ z 5 liter a, 3 liter b i 2 liter c.
(c) Zªo»one s¡ z 5 liter a i 5 liter b.
26. Rozdanie bryd»owe to podziaª uporz¡dkowany talii 52 kart na cztery zbiory, po 13 kart w ka»dym.
Ile jest rozda« bryd»owych?
27. Ile jest permutacji liczb 1, 2, . . . , n, w których 1 i 2 nie s¡siaduj¡ ze sob¡?
28. Napisa¢ algorytm do wypisania wszystkich permutacji zbioru n-elementowego.
29. Informacja kodowa skªada si¦ z siedmiu impulsów: A, B, C, D, E, F, G. Ile informacji b¦dzie posiadaªo:
(a) Na pierwszym miejscu impuls A?
(b) Na pierwszym miejscu impuls A, B lub C?
(c) Na pierwszym miejscu którykolwiek z impulsów oprócz A?
30. W klasie licz¡cej 30 uczniów w bryd»a gra 23 uczniów, w szachy 14 uczniów, w obie gry gra 9 uczniów. Ilu uczniów nie gra w »adn¡ z tych gier?
31. W klasie licz¡cej 30 uczniów w bryd»a gra 19 uczniów, w szachy 14 uczniów. Ilu uczniów gra w obie gry, zakªadaj¡c »e ka»dy gra w co najmniej jedn¡ gr¦?
32. Ile liczb naturalnych ze zbioru S = {1, 2, 3, . . . , 1000} dzieli si¦ przez 3, przez 5 lub przez obie liczby?
33. Ile liczb naturalnych ze zbioru S = {1, 2, 3, . . . , 1000} dzieli si¦ przez 3, przez 5 lub przez 7?
34. Ile liczb naturalnych ze zbioru S = {1, 2, 3, . . . , 1000} dzieli si¦ przez 3 i nie dzieli si¦ przez 5?
35. Ile liczb naturalnych mniejszych lub równych 100 nie jest podzielnych przez »adn¡ z liczb: 2, 3, 5, 7?
36. Na ile sposobów mo»na ustawi¢ w ci¡g cyfry 0, . . . , 9 tak, aby pierwsza z nich byªa wi¦ksza ni» 2, a ostatnia mniejsza od 9?
37. Uzasadni¢, »e w grupie 13 osób musz¡ by¢ co najmniej dwie, które urodziªy si¦ w tym samym miesi¡cu.
38. Worek zawiera 50 szklanych kulek w czterech kolorach.
(a) Wyja±ni¢ dlaczego jest co najmniej 13 kulek tego samego koloru.
(b) Je±li czerwonych kulek jest dokªadnie 8, dlaczego jest co najmniej 14 kulek tego samego koloru?
39. Przypu±¢my, »e 73 kulki zostaªy umieszczone w o±miu pudeªkach.
(a) Pokaza¢, »e jedno z pudeªek zawiera co najmniej 10 kulek.
(b) Pokaza¢, »e je±li 2 pudeªka s¡ puste, to jakie± pudeªko zawiera co najmniej 13 kulek.
40. Ile razy mo»na rzuci¢ par¡ kostek bez otrzymania tej samej sumy oczek?
41. Udowodni¢, »e w±ród wybranych dowolnych 7 ró»nych liczb caªkowitych musz¡ by¢ takie 2, których suma lub ró»nica dzieli si¦ przez 10.
42. Wyznaczy¢ liczb¦ mo»liwych podziaªów zbioru zªo»onego z:
(a) 0, 1 elementów (b) 2, 3 elementów (c) 4, 5 elementów
3
References
[1] Larisa Dobryakova, Matematyka dyskretna. Lulu, 2012.
[2] Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright, Matematyka dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
[3] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek prawdopodobie«stwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz¦±¢ 1. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
[4] http://smurf.mimuw.edu.pl/uczesie/?q=kombinatoryka_3 Dost¦p: 6-04-2019.
4
