Zadania z prawdopodobieństwa geometrycznego i niezależności zdarzeń
1. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrany w sposób przypadkowy punkt kwadratu |x| < 4,
|y| < 4 jest punktem leżącym na zewnątrz okręgu o równaniu x² + y² = 1.
2. Pani X i pani Y , idąc z domu do biura, maja do przebycia pewien wspólny odcinek drogi AB z tym, że przebywają go w przeciwnych kierunkach. Pani X przybywa do punktu A, zaś pani Y przybywa do punktu B w przypadkowym momencie pomiędzy godz. 7:30 a 7:45 i idą ze stałą prędkością.
Każda z pań przechodzi odcinek AB w ciągu 5 minut. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkania pań X i Y .
3. Wybrano losowo dwie liczby dodatnie, takie ze każda z nich jest nie większa niż jeden.
Znaleźć prawdopodobieństwo tego, ze suma tych liczb będzie nie większa niż 1, a ich iloczyn
Będzie nie mniejszy niż 0.09.
4. Z przedziału [0, 1] wybrano dwie liczby x i y. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wyrażenie
ln (x² + y² − 1) jest dobrze określone, jeśli wiadomo, że punkt (x, y) leży w zewnętrzu koła o środku
(0, 0) i promieniu 1.
5. Wybrano losowo punkt (x, y) z kwadratu o wierzchołkach (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Znaleźć
prawdopodobieństwo tego, że a) (x − ½)² + (x − ½)² ≥ ¼,
b) ½ < x + y < 1 ½, c) y ≤ 1 - x².
6. Rzucamy trzy razy kostką. Przez A oznaczamy zdarzenie, że w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek, przez B, że w drugim rzucie wypadła nieparzysta liczba oczek, a przez C, że w każdym z trzech rzutów otrzymaliśmy inny wynik. Zbadać niezależność zdarzeń: A i B; A i C oraz A,B i C.
7. W przedziale [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na 3 odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, że z tych odcinków da się zbudować trójkąt?
8. W sesji student zdaje dwa egzaminy, z analizy i algebry. Szansa, ze student zda egzamin z analizy wynosi 0,8, że zda algebrę 0,7. Przyjmując, że zdarzenia te są od siebie niezależne, znajdź prawdopodobieństwo, że student:
a) zda analizę, a obleje algebrę, b) zda oba egzaminy,
c) zda tylko jeden egzamin, d) nie zda żadnego egzaminu.
9. Rzucamy 4 razy moneta. Czy zdarzenie A, ze w pierwszym rzucie wypadł orzeł i zdarzenie B, że orzeł wypadł dokładnie 2 razy, są niezależne?
10. Z talii 52 kart wyciągamy dwie karty. Niech A oznacza zdarzenie, ze obie karty to kiery, B będzie zdarzeniem, że wyciągnęliśmy króla i damę, a C, że nie wyciągnęliśmy żadnej blotki (blotki to karty o wartościach pomiędzy 2 i 9).
a) Czy zdarzenia A i B są niezależne?
b) Czy zdarzenia A, B i C są niezależne?
11. Każdy spośród 100 pracowników Wydziału Matematyki i Informatyki przychodzi do pracy w losowym momencie miedzy godziną 8:00 a 9:00. Jakie jest prawdopodobieństwo, że o godzinie 8:15 w pracy jest dokładnie 25 pracowników?
