Wstęp do statystycznej analizy danych 7. Zmienne losowe

Wstęp do statystycznej analizy danych 7. Zmienne losowe

Ćw. 7.1 Podaj rozkład zmiennej losowej opisującej rzut uczciwą kością do gry. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję oraz dystrybuantę (wykres).

Ćw. 7.2 Dwaj gracze K i L rzucają kością. Jeżeli wypadną co najwyżej 4 oczka, to gracz K płaci graczowi L 1 zł. Jeżeli wypadną więcej niż 4 oczka, to gracz L płaci gra- czowi K 2 zł. Podaj rozkład zmiennych losowych opisujących wygrane obu graczy.

Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję oraz dystrybuantę (wykres).

Ćw. 7.3 Podaj rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek w rzucie dwoma kostkami. Oblicz jej wartość oczekiwaną, a ponadto wyznacz P (5 ¬ X < 8) oraz narysuj wykres dystrubuanty.

Ćw. 7.4 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać

FX(t) =











0, t < −1,

1/3, −1 ¬ t < −1/2, 3/5, −1/2 ¬ t < 3, 1, t ­ 3.

Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.

Ćw. 7.5 Rozpatrzmy następującą grę: losujemy jedną kartę z talii 52 kart i:

— jeżeli jest to as, to wygrywamy 5 zł,

— jeżeli jest to król lub walet, to wygrywamy 2 zł,

— w pozostałych przypadkach przegrywamy 1 zł.

Czy gra jest sprawiedliwa?

Ćw. 7.6 Zmienna losowa X ma rozład

x_i −1 0 1

p_i p − p² p² 1 − p .

Znajdź p, dla których EX < 1/4.

Ćw. 7.7 Zmienna losowa X ma rozkład

x_i 0 1 2

p_i p s 1 − p − s.

Wiedząc, że EX = 1 oraz V arX = 1/2 wyznaczyć p oraz s.

Ćw. 7.8 W n rzutach kostką wariancja parzystych liczb oczek jest o 3 większa od wa- riancji szóstek. Oblicz n.

Ćw. 7.9 Zmienna losowa X przyjmuje wartości 0,1,2,. . . z prawdopodobieństwami male- jącymi z postępem geometrycznym. Znaleźć zależność pomiędzy EX oraz V arX.

1

Ćw. 7.10 Liczba bakterii pewnego szczepu w polu widzenia pod mikroskopem podle- ga rozkładowi Poissona z parametrem λ = 0, 7. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w polu widzenia znajdują się:

a) co najwyżej dwie bakterie,

b) nie mniej niż pięć i nie więcej niż osiem bakterii.

Ćw. 7.11 Udowodnij, że funkcja

f (x) =

( 0, x < 0, 2e^−2x, x ­ 0

jest gęstością prawdopodobieństwa. Znajdź dystrybuantę F i wartość oczekiwaną E X. Oblicz P (X < ¹₂) i P (1 < X < 2). Zinterpretuj te prawdopodobieństwa na wykresie gęstości i dystrybuanty.

Ćw. 7.12 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać F_X(t) =

( 0, t < 0, 1 − e^−3t, t ­ 0.

Wyznacz gęstość zmiennej X.

Ćw. 7.13 Z pewnego przystanku autobusy odjeżdżają co 10 minut. Zakładając, że roz- kład czasu przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny, obliczyć prawdopo- dobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 4 minuty.

Ćw. 7.14 Przyjmijmy, że przeciętny czas rozmowy (w min.) z publicznego aparatu tele- fonicznego jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = ¹₇ . Załóżmy, że ktoś ubiegł nas w dojściu do wolnego aparatu. Jakie jest prawdopodo- bieństwo, że na zwolnienie aparatu będziemy czekali nie dłużej niż 5 minut?

Ćw. 7.15 Sporządź na tym samym układzie współrzędnych wykresy gęstości zmiennych losowych o rozkładach normalnych N (0, 1), N (0, 2) i N (0, 3). Ponadto oblicz:

a) P (|X| > 3), jeśli X ∼ N (1, 2), b) P (0 < X < 6), jeśli X ∼ N (4, 2).

Ćw. 7.16 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (1, 2). Oblicz: P (X < 0), P (X < 1) oraz P (X > −1).

Ćw. 7.17 Średni czas świecenia żarówki wynosi 1 rok, a odchylenie standardowe 3 mie- siące. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana losowo żarówka będzie mogła służyć przynajmniej 18 miesięcy? Zakładamy, że czas świecenia żarówki ma rozkład normalny.

Ćw. 7.18 Jeżeli średni czas sprawności akumulatora wynosi 30 miesięcy z odchyleniem standardowym 5 miesięcy, to jaki procent akumulatorów będzie mieć czas sprawności od 24 do 36 miesięcy? Zakładamy, że czas sprawności akumulatora ma rozkład normalny.

Ćw. 7.19 Zmienna losowa X ma następujący rozkład:

P (X = −1) = 1

4, P (X = 1) = 3 4. Znajdź rozkłady zmiennych: (a) Y = X + 1, (b) Z = X².

2

Ćw. 7.20 Zmienna losowa X ma rozkład

x_i −1 0 1 2 4 8

p_i 0,15 0,2 0,2 0,3 0,1 0,05

Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = X².

Ćw. 7.21 Zmienna losowa ma rozkład geometryczny z parametrem p. Podaj rozkład zmiennej Y = (−1)^X.

Ćw. 7.22 Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Podaj rozkład zmiennej Y = 3X − 5.

3