ćwiczenia 13. – rozwiązania zadań domowych

Algebra liniowa, WNE, 2018/2019

ćwiczenia 13. – rozwiązania zadań domowych

15 listopada 2018

Grupa 8:00

1. Niech A = {(1, 2, 3), (2, 1, 0), (4, 5, 0)}, B = {(2, 1, 2), (3, 1, 2), (2, 1, 3)}. Znaleźć taką macierz C ∈ M3×3(R), że dla każdego wektora α ∈ R³ zachodzi: jeśli a₁, a₂, a₃ są współrzędnymi α w bazie A, zaś b₁, b₂, b₃ są współrzędnymi tego wektora w bazie B, to:

C ·



 a1

a₂ a₃



=



 b1

b₂ b₃



.

Rozwiązanie:

Macierz C to po prostu macierz M (id)^B_A, czyli trzeba znaleźć współrzędne wektorów z bazy A w bazie B:





2 3 2 1 2 4

1 1 1 2 1 5

2 2 3 3 0 0



w₁↔ w₂

−−−−−−→





1 1 1 2 1 5

2 3 2 1 2 4

2 2 3 3 0 0



w₂− 2w₁, w₃− 2w₁

−−−−−−−−−−−−−−→





1 1 1 2 1 5

0 1 0 −3 0 −6

0 0 1 −1 −2 −10



w1− w3

−−−−−→





1 1 0 3 3 15

0 1 0 −3 0 −6

0 0 1 −1 −2 −10



w1− w2

−−−−−→





1 0 0 6 3 21

0 1 0 −3 0 −6

0 0 1 −1 −2 −10





A więc M (id)^B_A= C =





6 3 21

−3 0 −6

−1 −2 −10



.

2. Niech A = {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (0, 0, 1)}, B = {(2, 1), (1, −1)}, C = {(2, 4), (−1, 1)} i niech ϕ : R³→ R²będzie przekształceniem liniowym takim, że M (ϕ)^B_A=

 −1 3 2

5 −3 4



. Znaleźć M (ϕ)^C_A. Rozwiązanie:

Wiadomo, że M (ϕ)^C_A= M (id)^C_B· M (ϕ)^B_A.

Zauważamy, że (1, −1) = −(−1, 1) oraz (2, 1) = ¹₂(2, 4) − (−1, 1), zatem M (id)^C_B=

 ₁

2 0

−1 −1



. Zatem:

M (ϕ)^C_A=

 1

2 0

−1 −1



·

 −1 3 2

5 −3 4



=

 ₋₁

2 3

2 1

−4 0 −6

 .

Grupa 9:45

1. Niech A = {(2, 1, 0), (1, 2, 3), (4, 5, 0)}, B = {(1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Znaleźć taką macierz C ∈ M3×3(R), że dla każdego wektora α ∈ R³ zachodzi: jeśli a1, a2, a3 są współrzędnymi α w bazie A, zaś b1, b2, b3 są współrzędnymi tego wektora w bazie B, to:

C ·



 a1

a2

a3



=



 b1

b2

b3



.

1

Rozwiązanie:

Macierz C to po prostu macierz M (id)^B_A, czyli trzeba znaleźć współrzędne wektorów z bazy A w bazie B:





1 1 1 2 1 4

2 2 3 1 2 5

2 3 2 0 3 0



w₂− 2w₁, w₃− 2w₁

−−−−−−−−−−−−−−→





1 1 1 2 1 4

0 0 1 −3 0 −3

0 1 0 −4 1 −8



w₃↔ w₂

−−−−−−→





1 1 1 2 1 4

0 1 0 −4 1 −8

0 0 1 −3 0 −3



w₁− w3

−−−−−→





1 1 0 5 1 7

0 1 0 −4 1 −8

0 0 1 −3 0 −3



w₁− w2

−−−−−→





1 0 0 9 0 15

0 1 0 −4 1 −8

0 0 1 −3 0 −3





A więc M (id)^B_A= C =





9 0 15

−4 1 −8

−3 0 −3



.

2. Niech A = {(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 0, 0)}, B = {(1, −1), (2, 1)}, C = {(−1, 1), (2, 4)} i niech ϕ : R³→ R²będzie przekształceniem liniowym takim, że M (ϕ)^B_A=

 1 3 2 5 3 4



. Znaleźć M (ϕ)^C_A. Rozwiązanie:

Wiadomo, że M (ϕ)^C_A= M (id)^C_B· M (ϕ)^B_A.

Zauważamy, że (1, −1) = −(−1, 1) oraz (2, 1) = −(−1, 1) +¹₂(2, 4), zatem M (id)^C_B=

 −1 −1 0 ¹₂



. Zatem:

M (ϕ)^C_A=

 −1 −1 0 ¹₂



·

 1 3 2 5 3 4



=

 −6 −6 −6

5 2

3

2 2

 .

2