Niech p b¸edzie idea lem pierwszym pier´scienia K{x0, x1

ALGEBRAICZNE ASPEKTY KRYPTOGRAFII LISTA 9: Kody i geometria algebraiczna. Przyk lad.

Niech K b¸edzie cia lem algebraicznie domkni¸etym. Przestrze´n rzutowa Pⁿ(K) jest przestrzeni¸a topologiczn¸a wzgl¸edem topologii Zariskiego okre´slon¸a przez rodzin¸e zbior´ow domkni¸etych jako zbior´ow postaci V (I) = {¯a ∈ Pⁿ(K) : ∀f ∈ I(f (¯a) = 0)}

gdzie I jest idea lem pier´scienia wielomian´ow jednorodnych K{x₀, x₁, ..., x_n}.

Niech p b¸edzie idea lem pierwszym pier´scienia K{x₀, x₁, ..., x_n}. Zbi´or X_p = {¯a ∈ Pⁿ(K) : ∀f ∈ p(f (¯a) = 0)} nazywa si¸e rozmaito´sci¸a rzutow¸a w przestrzeni rzutowej Pⁿ(K). Pier´scie´n R(X_p) wszystkich u lamk´ow f /g, gdzie f, g ∈ K{x₀, x₁, ..., x_n}, deg(f ) = deg(g) i g 6∈ p, ma jedyny idea l maksymalny (oznaczany przez M (X_p)), kt´ory sk lada si¸e z u lamk´ow f /g, f ∈ p. Cia lo K(X_p) = R(X_p)/M (X_p) nazywa si¸e cia lem funkcji rozmaito´sci X_p.

Niech P ∈ X_p. Funkcja f /g ∈ K(X_p) nazywa si¸e regularn¸a w p. P , je´sli g(Q) 6=

0 we wszystkich punktach Q pewnego otoczenia punktu P . Przez O_P < K(X_p) oznaczamy pier´scie´n wszystkich funkcji regularnych w p. P (nazywany pier´scieniem lokalnym). Niech m_P < O_P b¸edzie idea lem wszystkich funkcji regularnych, r´ownych 0 w p. P . Wiadomo, ˙ze m_P jest idea lem maksymalnym.

W przypadku, gdy F (x, y) = 0 definiuje krzyw¸a g ladk¸a w przestrzeni afinicznej A²(K) = K × K (tzn. we wszystkich punktach Q ∈ X_F zachodzi (F_x(Q) 6= 0) ∨ (F_y(Q) 6= 0)), rozpatrzmy odpowiedni¸a rozmaito´s´c X^∗ zdefiniowan¸a w P²(K) przez Z^lF (X/Z, Y /Z) = 0. Gdy P = (a, b, 1) ∈ X^∗, idea l m²_P (generowany przez iloczyny element´ow idea lu m_P) tworzy podprzestrze´n tak¸a, ˙ze iloraz (m_P)/(m_P)² ma wymiar 1.

Ustalamy lokalny parameter f ∈ m_P \ m²_P. Wtedy ka˙zdy element v(x, y, z) pier´scienia O_P mo˙zna zapisa´c w postaci u · f^m, gdzie u(P ) 6= 0. Nazywamy liczb¸e m krotno´sci¸a funkcji v w punkcie P krzywej X^∗.

Funkcja f jest parametrem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f_P = f_x(a, b)(x−

a) + f_y(a, b)(y − b) ma punkty niezerowe na przestrzeni stycznej T_P okre´slonej przez r´ownanie F_x(a, b)(x − a) + F_y(a, b)(y − b) = 0.

9.1. Niech X^∗ jest okre´slona przez r´ownanie xz − y² = 0. Niech P = (0, 0, 1).

Pokaza´c, ˙ze funkcja y/z jest parametrem lokalnym w p.P , a funkcja (x³+ y³)/(z³) ma krotno´s´c 3 w p.P .

9.2. W przypadku krzywej zadania 9.1 i punktu Q = (1, 0, 0) opisa´c elementy pier´scienia OQ. Pokaza´c, ˙ze y/x jest parametrem lokalnym, a funkcja (z³+ xyz)/(x³) ma krotno´s´c 3 w p.Q.

Twierdzenie B´ezout. Niech r´ownania F (x, y) = 0 i G(x, y) = 0 (stopnia l i m odpowiednio) definiuj¸a dwie rozmaito´sci X₁^∗ 6= X₂^∗ w P²(K) b¸ed¸ace krzywymi g ladkimi. Wtedy X₁^∗ ∩ X₂^∗ sk lada si¸e z dok ladnie l · m punkt´ow (licz¸ac ich krotno´sci jako krotno´sci funkcji G wzgl¸edem krzywej F (x, y) = 0).

9.3. Znale´z´c punkty wsp´olne krzywych x³+ y³ = 1 i x + y = 0 zdefiniowanych nad F2.

1

Kody Reeda-Solomona. Nich G b¸edzie wielomianem nierozk ladalnym ∈ F_q[x, y]

stopnia m (gdzie q jest pot¸eg¸a liczby pierwszej). Niech P₁, ..., P_n ∈ ¯F_q× ¯F_q s¸a parami r´o˙zne i spe lniaj¸a G(x, y) = 0.

Niech l b¸edzie liczb¸a naturaln¸a z l · m < n i niech C b¸edzie zbiorem s l´ow kodowych {(F (P₁), ..., F (P_n)) : F ∈ F_q[x, y], deg(F ) ≤ l}.

Twierdzenie. Minimalna odleg lo´s´c pomi¸edzy s lowami kodowymi kodu C jest

≥ n − l · m.

2