Wtedy 0 ≤ cn≤ g − 1 i [gnx] gn = [x

Arytmetyka teoretyczna

LISTA 9. Rozwini¸ecia liczb rzeczywistych

Niech g ∈ N \ {0} i x ∈ R. U lamek [gⁿx]

gⁿ

nazywa si¸e n-ym reduktem liczby x przy podstawie (lub zasadzie) g.

Lemat 1. lim_n→∞^[g_gⁿn^x] = x.

Lemat 2. Niech c_n= [gⁿx] − g[gⁿ⁻¹x]. Wtedy 0 ≤ c_n≤ g − 1 i [gⁿx]

gⁿ = [x] + c₁ g + c₂

g² + ... + c_n gⁿ.

Zapisujemy powy˙zsze wyra˙zenie jako ([x], c₁c₂...c_n)_g (rozwini¸ecie na u lamek przy zasadzie g ).

Lemat 3. Rozwini¸ecie x = ([x], c₁c₂...c_n...)_g jest normalne, tzn. niesko´nczenie wiele cyfr c_n jest r´o˙znych od g − 1.

Zad.1. Rozwin¸a´c liczb¸e ⁷²₃₅ przy nast¸epuj¸acych podstawach: 2, 4, 5, 7.

Zad.2. Napisa´c w systemie dziesi¸etnym nast¸epuj¸ace liczby: (1011, 10101)₂, (213, 101)₄. Zad.3. Wykona´c nast¸epuj¸ace dzia lania: (1100, 001)₂+(0, 111)₂, (123, 1)₄−(10, 22)₄, (13, 2)₅· (14, 3)₅.

Zad.4. W jakim systemie prawdziwe s¸a nast¸epuj¸ace r´owno´sci:

(a) (300)g− (233)g = (1)g, (b) (5)g · (4)g = (24)g.

Definicja. Rozwini¸ecie

(∗) (b_Nb_{N −1}. . . b₀, a₁a₂. . . a_n. . .)_g

nazywamy okresowym, gdy istniej¸a takie liczby m, d ∈ N, ˙ze a_n+d = a_n dla ka˙zdego n > m. Rozwini¸ecie (∗) nazywamy czysto okresowym, gdy m = 0.

1

Twierdzenie 1. Dla dowolnej naturalnej podstawy g, liczby wymierne i tylko one maj¸a okresowe rozwini¸ecia przy podstawie g. Gdy liczba wymierna _mⁿ jest zapisana w postaci nieskracalnej, jej okres ma mniej ni˙z m wyraz´ow.

Twierdzenie 2. Niech g > 1 b¸edzie dowoln¸a liczb¸a naturaln¸a. Liczba wymierna

n

k taka, ˙ze n < k oraz N W D(n, k) = 1 i N W D(g, k) = 1 ma czysto okresowe rozwini¸ecie przy podstawie g o okresie d lugo´sci d = min{l : k|g^l− 1}.

Zad.5. Znale´z´c d lugo´s´c okresu w rozwini¸eciu liczby (a) ¹₂ przy podstawie c = 3, (b) ⁷₅ przy podstawie c = 2.

Twierdzenie 3. Niech liczba wymierna _m^l jest zapisana w postaci nieskracalnej.

Rozwini¸ecie liczby _m^l przy podstawie g jest sko´nczone wtedy i tylko wtedy, gdy m|g^q dla pewnej naturalnej liczby q.

2