Równania i nierówności trygonometryczne
Zad. 1
Rozwiąż równania dla x ∈ h0, 2πi:
a) sin x = 1
2 b) sin x =
√3
2 c) sin x = 1 d) sin x = 3
e) sin x = 0 f ) sin x = −
√2
2 g) sin x = −1 h) sin x = −0,8
i) cos x = 1
2 j) cos x =
√2
2 k) cos x = 1 l) cos x = 0,4
m) cos x = 0 n) cos x = −
√3
2 o) cos x = −1 p) cos x = −2
r) tg x =
√3
3 s) tg x = 1 t) tg x =√
3 u) tg x = 0
w) tg x = −√
3 y) tg x = −2 z) ctg x =
√3
3 a) ctg x = 1
b) ctg x = 3 c) ctg x = 0 d) ctg x = −
√3
3 e) ctg x = −1
f ) sin x = −1 2
Zad. 2
Rozwiąż równania:
a) sin x = 1
2 b) sin x = −
√3
2 c) sin x = 0 d) sin x = 1
e) cos x = 1
2 f ) cos x = −
√2
2 g) cos x = 0 h) cos x = −1
i) tg x =√
3 j) tg x = −√
3 k) tg x = 0 l) tg x = −1
m) ctg x =√
3 n) ctg x = −√
3 o) ctg x = 0 p) ctg x = −1
r) sin 3x = 0 s) cos 7x = −1 t) tg 2x =√
3 u) ctg14x = −
√3 3
w) sin(2x − π) = 12 y) cos(π − x) = 1 z) tg 12x + 3π = −√33 a) ctg x−2π3 = 0 b) 2 sin x =√
2 c) √
2 cos 3x = −1 d) 4 tg(π − 2x) = 0 e) √
3 ctg 12x − π = 3 Zad. 3
Rozwiąż równania:
a) 2 sin2x + sin x − 1 = 0 b) sin x + cos2x + 1 = 0 c) 4 sin2x + sin22x = 3 d) 2 cos2x + 9 cos x + 4 = 0 e) cos x − cos 2x = 1 f ) tg x + ctg x = 4 sin 2x
Rozwiąż nierówności:
a) sin x > 1
2 b) sin x −
√3
2 c) sin x ¬ 0
d) sin x < 1 e) cos x ¬ 1
2 f ) cos x ¬ −
√2
2
g) cos x > 0 h) cos x −1 i) tg x >√
3 j) tg x −√
3 k) tg x < 0 l) tg x ¬ −1
m) ctg x ¬√
3 n) ctg x −√
3 o) ctg x > 0
p) ctg x ¬ −1
Zad. 5
Rozwiąż nierówności: a) sin2x < 1
2 b) sin2x − sin x 0 c) cos2x < 1 Zad. 6
Rozwiąż równania i nierówności: a) | sin x| = 1
2 b) | cos x| = 1 c) | tg x| <√
3 d) | cos x|
√3
2 Zad. 7
Rozwiąż równanie 2 sin 2x + ctg x = 4 cos x dla x ∈ h0, 2πi. Ze zbioru rozwiązań tego losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielkrotnością liczby π2.
Zad. 8
Dane jest równanie sin x = a2+ 1, z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których dane równanie nie ma rozwiązań.
Zad. 9
Rozwiąż równania i nierówności w przedziale h0, 2πi:
a) −2 sin 3x 1 b) √
3 · cos x = 1 + sin x c) sin22x − 4 sin2x + 1 = 0 d) cos 2x + cos x + 1 = 0
e) 2 sin2x − 2 sin2x cos x = 1 − cos x f ) 2 tg x · cos x + 1 = 2 cos x + tg x
Zad. 10
Rozwiąż równanie cos x + cos 2x = 0 dla x ∈ h−π, πi.
Zad. 11
Rozwiąż równanie cos 2x + 2 = 3 cos x.
Zad. 12
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin 5x − sin x = 0.
Zad. 13
Rozwiąż równanie: 1
sin x + ctg x + cosπ 2 + x
= 0
– 2 –
matematykaszkolna.pl
Zad. 14
Dane jest równanie postaci (cos x − 1) · (cos x + p + 1) = 0, gdzie p ∈ R jest parametrem.
a) Dla p = −1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału h0; 5i.
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie ma w przedziale h−π, πi trzy różne rozwiązania.
Zad. 15
Rozwiąż równanie 2 cos2x + 5 sin x − 4 = 0.
Zad. 1
a) π6,5π6 b) π3,2π3 c) π2 d) 1 e) 0, π, 2π f ) 5π4 ,7π4 g) 3π2 h) 4,07 rad; 5,35 rad i) π3,5π3 j) π4,7π4 k) 0, 2π l) 1,15 rad; 5,13 rad m) π2,3π2 n) 5π6 ,7π6 o) π p) −1 r) π3,4π3 s) π4,5π4 t) π3,4π3 u) 0, π, 2π w) 2π3 ,5π3 y) 2,03 rad; 5,17 rad z) π3,4π3 a) π4,5π4 b) 0,32 rad; 3,46 rad c) π2,3π2 d) 2π3,5π3 e) 3π4,7π4 f ) 7π6,11π6
Zad. 2
a) π6 + 2kπ,5π6 + 2kπ, k ∈ C b) −π3 + 2kπ, −2π3 + 2kπ, k ∈ C c) kπ, k ∈ C d) π2 + 2kπ, k ∈ C e) −π3 + 2kπ,π3 + 2kπ, k ∈ C f ) 3π4 + 2kπ,5π4 + 2kπ, k ∈ C g) π2 + kπ, k ∈ C h) π + 2kπ, k ∈ C i) π3+ kπ, k ∈ C j) −π3+ kπ, k ∈ C k) kπ, k ∈ C l) −π4+ kπ, k ∈ C m) π6+ kπ, k ∈ C n) 5π6 + kπ, k ∈ C o) 5π2 + kπ, k ∈ C p) 3π4 + kπ, k ∈ C r) 13kπ, k ∈ C s) π7 + 27kπ, k ∈ C t) π6 + 12kπ, k ∈ C u) 8π3 + 4kπ, k ∈ C w) 7π12 + kπ,11π12 + kπ, k ∈ C y) π − 2kπ, k ∈ C z) −613π + 2kπ, k ∈ C a) 312π + 3kπ, k ∈ C b) π4+ 2kπ,3π4 + 2kπ, k ∈ C c) −π4 +23kπ,π4+23kπ, k ∈ C d) 12π −12kπ, k ∈ C e) 213π + 2kπ, k ∈ C
Zad. 3
a) −π2+ 2kπ,π6+ 2kπ,5π6 + 2kπ, k ∈ C b) −π2+ 2kπ, k ∈ C c) π4+ kπ,3π4 + kπ, k ∈ C d) 2π3 + 2kπ,4π3 + 2kπ, k ∈ C e) π2 + kπ, −π3 + 2kπ,π3 + 2kπ, k ∈ C f ) −3π8 + kπ, −π8+ kπ,π8 + kπ,3π8 + kπ, k ∈ C
Zad. 4
a) (π6 + 2kπ,5π6 + 2kπ), k ∈ C b) π + 2kπ, −2π3 + 2kπ
∪ −π3 + 2kπ, π + 2kπ , k ∈ C c) h−π + 2kπ, 2kπi , k ∈ C d) R \ π
2 + 2kπ , k ∈ C e) −π2 + 2kπ, −π3 + 2kπ
∪ π
3 + 2kπ,3π2 + 2kπ , k ∈ C f ) 3π
4 + 2kπ,5π4 + 2kπ , k ∈ C g) −π2 + 2kπ,π2 + 2kπ , k ∈ C h) R i) (π3 + kπ,π2 + kπ), k ∈ C j) −π3 + kπ,π2 + kπ , k ∈ C k) (−π2 + kπ, kπ), k ∈ C l) −π2 + kπ, −π4 + kπ , k ∈ C m) π
6 + kπ, π + kπ , k ∈ C n) kπ,5π6 + kπ , k ∈ C o) (kπ,π2 + kπ), k ∈ C p)3π
4 + kπ, π + kπ , k ∈ C Zad. 5
a) (−π4 + kπ,π4 + kπ), k ∈ C b) h−π + 2kπ, 2kπi ∪π
6 + 2kπ,5π6 + 2kπ , k ∈ C c) R \ {kπ}
Zad. 6
a) π6 + kπ,5π6 + kπ, k ∈ C b) kπ, k ∈ C c) −π3 + kπ,π3 + kπ , k ∈ C d) −π6 + kπ,π6+ kπ , k ∈ C
Zad. 7
5 6
Zad. 8 a ∈ R \ {0}
Zad. 9 a) 7π
18,11π18 , 19π18 ,23π18 , 31π18 ,35π18
b) π6, 112π c) π4,34π, 114π, 134π d) π2,3π2 ,2π3 ,4π3 e) 0, 2π,π4,3π4 ,5π4 ,7π4 f ) π4,π3,5π4,5π3
– 1 –
matematykaszkolna.pl
Zad. 10
−π, π, −π3,π3
Zad. 11
−π3 + 2kπ,π3 + 2k, 2kπ, k ∈ C
Zad. 12
kπ
2 ,π6 + kπ3 , k ∈ C
Zad. 13
π
2 + kπ, k ∈ C
Zad. 14
a) 0,π2, 1,5π b) p ∈ (−2, 0i
Zad. 15
π
6 + 2kπ,56π + 2kπ, k ∈ C
