Wykªad 11. Caªki potrójne - wspóªrz¦dne sferyczne i walcowe.
Wspóªrz¦dne walcowe w caªkach potrójnych.
Poªo»enie punktu P w przestrzeni mo»na opisa¢ trójk¡ liczb (ϕ, %, h), gdzie:
1. ϕ oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy rzutem promienia wodz¡cego punktu P na pªaszczyzn¦ xOy, a dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox, gdzie przyjmujemy 0 ≤ ϕ ≤ 2π lub −π ≤ ϕ ≤ π,
2. % oznacza odlegªo±¢ rzutu punktu P na pªaszczyzn¦ xOy od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, 0 ≤ % < ∞,
3. h oznacza odlegªo±¢ (dodatni¡ dla z > 0 i ujemn¡ dla z < 0) punktu P od pªaszczyzny xOy,
−∞ < h < ∞.
Trójk¦ liczb (ϕ, %, h) nazywamy wspóªrz¦dnymi walcowymi punktu przestrzeni.
Zale»no±¢ mi¦dzy wspóªrz¦dnymi walcowymi i kartezja«skimi:
W :
x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, z = h.
Przeksztaªcenie W, które ka»demu punktowi (ϕ, %, h) przyporz¡dkowuje punkt (x, y, z) okre±lony powy»szymi wzorami, nazywamy przeksztaªceniem walcowym.
Jakobian przeksztaªcenia walcowego JW = %.
Twierdzenie Niech obszar Ω we wspóªrz¦dnych walcowych b¦dzie obszarem normalnym. Niech funkcja f b¦dzie ci¡gªa na obszarze U, który jest obrazem obszaru Ω przy przeksztaªceniu walco- wym, tzn. U = W(Ω). Wtedy
Z Z Z
U
f (x, y, z)dxdydz = Z Z Z
Ω
f (% cos ϕ, % sin ϕ, h)% dh d% dϕ.
Przykªady
1. Niech U b¦dzie obszarem ograniczonym paraboloid¡ z = 9 − x2− y2 i pªaszczyzn¡ z = 0.
Oblicz
Z Z Z
U
x2dxdydz.
1
2. Niech U b¦dzie obszarem ograniczonym powierzchni¡ sto»ka z = 2px2+ y2 i pªaszczyzn¡
z = 8. Oblicz
Z Z Z
U
(x2+ y2) dxdydz.
3. Niech U b¦dzie obszarem okre±lonym nierówno±ci¡ U : px2+ y2 ≤ z ≤ p
1 − x2− y2.
Oblicz Z Z Z
U
xyz dxdydz.
Wspóªrz¦dne sferyczne w caªkach potrójnych.
Poªo»enie punktu P w przestrzeni mo»na opisa¢ trójk¡ liczb (ϕ, ψ, %), gdzie:
1. ϕ oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy rzutem promienia wodz¡cego punktu P na pªaszczyzn¦ xOy, a dodatni¡ cz¦±ci¡ osi 0x, gdzie przyjmujemy 0 ≤ ϕ ≤ 2π lub −π ≤ ϕ ≤ π,
2. ψ oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy promieniem wodz¡cym punktu P , a pªaszczyzn¡ xOy, gdzie
−π2 ≤ ψ ≤π2,
3. % oznacza odlegªo±¢ punktu P od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, 0 ≤ % < ∞.
Trójk¦ liczb (ϕ, ψ, %) nazywamy wspóªrz¦dnymi sferycznymi punktu przestrzeni.
Zale»no±¢ mi¦dzy wspóªrz¦dnymi sferycznymi i kartezja«skimi:
S :
x = % cos ϕ cos ψ, y = % sin ϕ cos ψ, z = % sin ψ.
Przeksztaªcenie S, które ka»demu punktowi (ϕ, ψ, %) przyporz¡dkowuje punkt (x, y, z) okre±lony powy»szymi wzorami, nazywamy przeksztaªceniem sferycznym.
Jakobian przeksztaªcenia sferycznego JS = %2cos ψ.
2
Twierdzenie Niech obszar Ω we wspóªrz¦dnych sferycznych b¦dzie obszarem normalnym. Niech funkcja f b¦dzie ci¡gªa na obszarze U, który jest obrazem obszaru Ω przy przeksztaªceniu sferycz- nym, tzn. U = S(Ω). Wtedy
Z Z Z
U
f (x, y, z)dxdydz = Z Z Z
Ω
f (% cos ϕ cos ψ, % sin ϕ cos ψ, % sin ψ)%2cos ψ d% dψ dϕ.
Przykªady
1. Niech U b¦dzie obszarem okre±lonym nierówno±ci¡ U : 4 ≤ x2+ y2+ z2≤ 9. Oblicz Z Z Z
U
dxdydz px2+ y2+ z2.
2. Niech U b¦dzie obszarem ograniczonym póªsfer¡ z = p4 − x2− y2 i pªaszczyzn¡ z = 0.
Oblicz Z Z Z
U
z2p
x2+ y2+ z2dxdydz.
3. Niech U b¦dzie obszarem okre±lonym nierówno±ci¡ U : px2+ y2 ≤ z ≤ p
1 − x2− y2. Oblicz
Z Z Z
U
(x2+ y2) dxdydz.
Zastosowania caªek potrójnych w geometrii i zyce
Obj¦tos¢ obszaru (obj¦to±¢ bryªy) U ⊂ R3wyra»a si¦ wzorem
|U | = Z Z Z
U
dxdydz.
Masa obszaru U ⊂ R3 o g¦sto±ci (obj¦to±ciowej) masy γ wyra»a si¦ wzorem
M = Z Z Z
U
γ(x, y, z) dxdydz.
3
Momenty statyczne wzgl¦dem pªaszczyzn xOy, xOz i yOz ukªadu wspóªrz¦dnych obszaru U ⊂ R3 o g¦sto±ci masy γ wyra»aj¡ si¦ wzorami
M Sxy = Z Z Z
U
z γ(x, y, z) dxdydz, M Syz= Z Z Z
D
x γ(x, y, z) dxdydz.
M Sxz= Z Z Z
U
y γ(x, y, z) dxdydz.
Wspóªrz¦dne ±rodka masy obszaru U ⊂ R3o g¦sto±ci powierzchniowej masy γ wyra»aj¡ si¦ wzorami xC =M Syz
M , yC=M Sxz
M , zC=Mxy
M .
Momenty bezwªadno±ci wzgl¦dem osi Ox, Oy i Oz obszaru U ⊂ R3o g¦sto±ci masy γ wyra»aj¡ si¦
wzorami Ix=
Z Z Z
D
(y2+ z2) γ(x, y, z) dxdydz, Iy= Z Z Z
D
(x2+ z2) γ(x, y, z) dxdydz,
Iz= Z Z Z
D
(x2+ y2) γ(x, y, z) dxdydz
Moment bezwªadno±ci wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych O(0, 0, 0) obszaru U ⊂ R3 o g¦sto±ci masy γ wyra»a si¦ wzorem
IO= Z Z Z
D
(x2+ y2+ z2) γ(x, y, z) dxdydz.
Uwagi
1. Gdy bryªa w przestrzeni ma ±rodek symetrii i g¦sto±¢ masy jest funkcj¡ symetryczn¡ wzgl¦- dem tego ±rodka (np. jest staªa), to ±rodek masy bryªy pokrywa si¦ ze ±rodkiem symetrii.
2. Gdy bryªa ma o± symetrii i g¦sto±¢ masy jest funkcj¡ symetryczn¡ wzgl¦dem tej osi, to ±rodek masy obszaru le»y na tej osi.
3. Gdy bryªa ma pªaszczyzn¦ symetrii i g¦sto±¢ masy jest funkcj¡ symetryczn¡ wzgl¦dem tej pªaszczyzny, to ±rodek masy obszaru le»y na tej pªaszczy¹nie.
Przykªady
1. Obliczy¢ poªo»enie ±rodka masy jednorodnego obszaru
U = {(x, y, z) ∈ R3: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x}.
2. Obliczy¢ obj¦to±¢ obszaru U ograniczonego powierzchniami x = −1, x = 2, z = 4 − x2, z = 2 + y2. 3. Obliczy¢ obj¦to±¢ obszaru U ograniczonego powierzchniami
x2+ y2= 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5.
4
