Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. De nicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 8. Zamiana zmiennych w caªkach podwójnych. Wspóª- rz¦dne biegunowe.
Jakobian. Zamiana zmiennych
Je±li obszar nie jest normalny, to cz¦sto mo»na sprowadzi¢ go do normalnego odpowiednim pod- stawieniem. Podstawienie jest postaci x = x(u, v), y = y(u, v) i zachodzi
Z Z
D
f (x, y) dxdy = Z Z
D0
f (x(u, v), y(u, v)) |J (u, v)| dudv,
gdzie D0 jest obszarem w nowych zmiennych u, v, za± |J(u, v)| jest moduªem jakobianu, czyli wyznacznika macierzy pochodnych cz¡stkowych:
J (u, v) =
∂x
∂u(u, v) ∂x
∂v(u, v)
∂y
∂u(u, v) ∂y
∂v(u, v) Twierdzenie Je±li
• odwzorowanie (x, y) 7→ (x(u, v), y(u, v)) przeksztaªca wzajemnie jednoznacznie wn¦trze ob- szaru regularnego D0 na wn¦trze obszaru regularnego D
• pochodne cz¡stkowe ∂x
∂u, ∂x
∂v, ∂y
∂u, ∂y
∂v s¡ ci¡gªe na pewnym zbiorze otwartym zawieraj¡cym obszar D0,
• f jest ci¡gªa na D,
• jakobian J(u, v) jest ró»ny od zera wewn¡trz obszaru D0,
to Z Z
D
f (x, y) dxdy = Z Z
D0
f (x(u, v), y(u, v)) · |J (u, v)|du dv.
Przykªad Obliczy¢ caªk¦Z Z
D
(x + y) dxdypo obszarze
D : 2 ≤ 2x + y ≤ 3, −1 ≤ x − y ≤ 1.
Narzucaj¡cym si¦ podstawieniem jest 2x+y = u, x−y = v. Wówczas bowiem w nowych zmiennych ui v obszar b¦dzie normalny, a nawet b¦dzie prostok¡tem
D0: 2 ≤ u ≤ 3, −1 ≤ v ≤ 1.
1
Musimy jeszcze obliczy¢ jakobian. W tym celu ªatwo wyznaczamy, »e x =u + v
3 oraz y = u − 2v 3 , a st¡d
∂x
∂u =1 3, ∂x
∂v = 1 3, ∂y
∂u =1 3, ∂y
∂v =−2 3 , zatem jakobian wynosi
J (u, v) =
1 3
1 3 1 3
−2 3
= −1 3
Nasza caªka jest wi¦c równa
Z Z
D
(x+y) dxdy = Z Z
D0
u + v
3 +u − 2v 3
|J (u, v)| dudv = Z Z
D0
2u − v 3 ·1
3dudv = 1 9
3
Z
2
1
Z
−1
(2u − v) dv
du.
Wspóªrz¦dne biegunowe w caªkach podwójnych.
Jedn¡ z najbardziej typowych zmian zmiennych jest przej±cie do wspóªrz¦dnych biegunowych.
De nicja
Poªo»enie punktu P na pªaszczy¹nie mo»na opisa¢ par¡ liczb (ϕ, %), gdzie:
• ϕ oznacza miar¦ k¡ta mi¦dzy dodatni¡ cz¦±ci¡ osi 0x a promieniem wodz¡cym punktu P (mo»na przyj¡¢ 0 ≤ ϕ < 2π lub −π ≤ ϕ < π),
• %oznacza odlegªo±¢ punktu P od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych (0 ≤ % < ∞).
Par¦ liczb (ϕ, %) nazywamy wspóªrz¦dnymi biegunowymi punktu pªaszczyzny.
Fakt
Wspóªrz¦dne kartezja«skie (x, y) punktu pªaszczyzny danego we wspóªrz¦dnych biegunowych (ϕ, %) okre±lone s¡ wzorami
B :
(x = % cos ϕ, y = % sin ϕ.
Przeksztaªcenie B, które ka»demu punktowi (ϕ, %) przyporz¡dkowuje punkt (x, y) okre±lony powy»- szymi wzorami, nazywamy przeksztaªceniem biegunowym a jakobian przeksztaªcenia biegunowego JB(ϕ, %) = %.
2
Uwaga Wspóªrz¦dne biegunowe stosujemy wtedy, gdy obszar po którym caªkujemy jest w jaki±
sposób okr¡gªy (koªo, pier±cie«, wycinek koªa itp.) Twierdzenie (wspóªrz¦dne biegunowe w caªce podwójnej).
Niech obszar D0 we wspóªrz¦dnych biegunowych b¦dzie obszarem regularnym i niech funkcja f b¦dzie ci¡gªa na obszarze D, który jest obrazem obszaru D0 przy przeksztaªceniu biegunowym, tzn. D = B(D0). Wtedy
Z Z
D
f (x, y) dxdy = Z Z
D0
f (% cos ϕ, % sin ϕ)% d%dϕ.
Przykªady Obliczy¢ caªki, wprowadzaj¡c wspóªrz¦dne biegunowe:
Z Z
D
e−(x2+y2)dx dy, D : x2+ y2= 2,
Z Z
D
y dx dy, D : x2+ y2= 4, x2+ y2= 1, y = x, y = 0 Z Z
D
x dx dy, D : x2+ (y − 1)2= 1, x ≥ y.
3
