Zestaw 03: Dynamika
Maciej J. Mrowi ´nski 1 stycznia 2019
Zestaw do samodzielnego rozwi ˛azania po wykładzie z dynamiki. Nie jest obowi ˛azkowy i nie oddajecie mi tych rozwi ˛aza ´n. Je ˙zeli kto´s ma problemy/pytania, to oczywi´scie zapraszam na konsultacje.
Pytania
• Jak brzmi pierwsza zasada dynamiki Newtona?
• Jak brzmi druga zasada dynamiki Newtona?
• Jak brzmi trzecia zasada dynamiki Newtona?
• Jak definiujemy układ inercjalny?
• Czy istnieje tylko jeden układ inercjalny?
• Czy układ zwi ˛azany z dowolnym punktem na powierzchni Ziemi jest inercjalny?
Problemy obliczeniowe
• Na ciało, któremu nadano pocz ˛atkow ˛a pr ˛edko´s´c v0działa siła opo- ru o warto´sci bv (gdzie b >0 to pewna stała). Wyznacz zale ˙zno´s´c pr ˛edko´sci i poło ˙zenia tego ciała od czasu. Czy ciało kiedy´s si ˛e zatrzyma?
• Poło ˙zenie ciała zmienia si ˛e w nast ˛epuj ˛acy sposób w czasie:
x(t) =Ae−βtsin(ω0t), (1) gdzie A, β i ω0to stałe. Wyznacz sił ˛e wypadkow ˛a działaj ˛ac ˛a na to ciało.
Problemy numeryczne
• W pierwszym zestawie wprowadzili´smy bardzo prost ˛a i zarazem najpewniej najgorsz ˛a metod ˛e numerycznego całkowania równa ´n
ruchu - tak zwany schemat Eulera1. Eksperymenty numeryczne 1nie nazwali´smy wtedy tego, co robi- li´smy po imieniu, ale taka jest wła´snie nazwa tamtej metody
zawarte w tym zestawie przeprowadzimy przy pomocy innego, lepszego algorytmu - velocity Verlet. Algorytm ten pozwala na rozwi ˛azanie równa ´n ruchu
dx(t)
dt =v(t), (2)
z e s taw 0 3: dynamika 2
dv(t)
dt =a(t, x), (3)
je ˙zeli tylko znane jest przyspieszenie a(t, x)i warunki pocz ˛atkowe:
x(t=0) =x0oraz v(t=0) =v0.
Przy pomocy velocity Verlet wyznaczamy iteracyjnie warto´sci
poło ˙zenia2xi+1oraz pr ˛edko´sci vi+1w kolejnym, i+1 kroku, 2s ˛a to standardowe oznaczenia i b ˛e- dziemy ich od tej pory konsekwentnie u ˙zywa´c - zapis wioznacza warto´s´c pewnej zmiennej w po upływie czasu ti=i∆t
na podstawie warto´sci poło ˙zenia xioraz pr ˛edko´sci viw kroku poprzedzaj ˛acym3. Robimy to korzystaj ˛ac z nast ˛epuj ˛acych równa ´n4:
3startujemy oczywi´scie z warunków pocz ˛atkowych: na podstawie v0i x0wyznaczamy v1i x1, potem na podstawie v1i x1wyznaczamy v2i x2, itd.
4intuicyjnie rzecz ujmuj ˛ac: na pocz ˛atku przeskakujemy z pr ˛edko´sci ˛a nie o cały krok, ale o połow˛e (równanie4), potem korzystaj ˛ac z tej połowicznej warto´sci pr ˛edko´sci wyznaczamy warto´s´c poło ˙ze- nia po upływie całego kroku (równanie 5), a nast ˛epnie doskakujemy z pr ˛ed- ko´sci ˛a do całego kroku, ale u ˙zywamy przy tym ju ˙z nowej warto´sci poło ˙zenia do wyznaczenia przyspieszenia/siły (równanie6)
vi+1/2=vi+1
2∆t a(ti, xi), (4) xi+1=xi+∆t vi+1/2, (5)
vi+1=vi+1/2+1
2∆t a(ti+1, xi+1), (6) gdzie∆t =ti+1−ti to krok czasowy5. Algorytm zatrzymujemy w
5czyli czas, jaki upływa pomi ˛edzy kolejnymi krokami (wywołaniami) algorytmu; zakładamy, ˙ze krok czasowy jest stały
momencie, kiedy np. upłynie okre´slony czas6.
6czytaj: po wykonaniu odpowiedniej liczby kroków; mamy tu na my´sli nie czas realny, ale czas w symulacji mierzony poprzez zmienn ˛a ti
• Dla rozgrzewki spróbujmy rozwi ˛aza´c prosty problem jednowy- miarowy. Załó ˙zmy, ˙ze siła działaj ˛aca na ciało o masie m ma posta´c
F(t) =A0eβt, (7)
co oczywi´scie prowadzi do przyspieszenia
a(t) =a0eβt, (8)
gdzie A0, a0 = A0/m i β to stałe. Wyznacz analitycznie zale ˙zno´s´c poło ˙zenia x(t)od czasu. Wyznacz t ˛e sam ˛a zale ˙zno´s´c numerycznie, przy pomocy algorytmu velocity Verlet, przyjmuj ˛ac np. a0 = 1 m/s2, β = −1 s−1oraz β = 1 s−1,∆t = 0.1 s i czas wykonania algorytmu tmax = 2 s. Porównaj wyniki analityczne i numeryczne
na wykresie7. 7czy jeste´s w stanie przewidzie´c
asymptotyczne zachowanie x(t)dla tych dwóch warto´sci parametru β?
• Po tej rozgrzewce mo ˙zemy przej´s´c do głównej cz ˛e´sci programu, czyli do sił centralnych w dwu wymiarach. B ˛edzie to jednak wy- magało najpierw pewnej inwestycji intelektualnej w uogólnienie algorytmu velocity Verlet na przypadek dwuwymiarowy, co pozo- stawiam jako ´cwiczenie do samodzielnego rozwi ˛azania czytelniko-
wi8. 8hint: na ka ˙zdy kierunek, w tym
przypadku X i Y, przypadaj ˛a po dwa równania do rozwi ˛azania (równania2 oraz3); nale ˙zy tylko uwa ˙za´c na to, ˙ze w ogólno´sci składowe przyspieszenia w kierunkach X i Y zale ˙z ˛a zarówno od poło ˙zenia na osi X, jak i od poło ˙zenia na osi Y
Sił ˛a centraln ˛a nazywamy dowoln ˛a sił ˛e, któr ˛a mo ˙zna przedstawi´c jako9
9tłumacz ˛ac łopatologicznie: jest to siła, której warto´s´c zale ˙zy jedynie od odle- gło´sci od ´srodka układu współrz ˛ednych natomiast kierunek pokrywa si ˛e z kierunkiem wektora wodz ˛acego
~F(~r) = f(r) ˆr, (9) gdzie r= |~r|, a ˆr= ~r/r.
z e s taw 0 3: dynamika 3
Przykładem siły centralnej jest chocia ˙zby siła przyci ˛agania mi ˛edzy dwoma ciałami10o masach m1i m2, równa co do warto´sci
10je ˙zeli zało ˙zymy, ˙ze układ odniesienia zwi ˛azany jest z jednym z tych ciał
F(r) =Gm1m2
r2 , (10)
gdzie G to stała grawitacji, a r to odległo´s´c mi ˛edzy ´srodkami ciał.
Podczas naszych eksperymentów numerycznych b ˛edziemy wła-
´snie rozpatrywa´c siły, które maj ˛a posta´c zgodn ˛a z równaniem1011. 11czyli odwrotnie proporcjonaln ˛a do kwadratu odległo´sci; czy znasz inny przykład takiej siły?
Zało ˙zymy wi ˛ec, ˙ze przyspieszenie ciała w polu takiej siły ma po-
sta´c12: 12to oznacza, ˙ze „´zródło” siły znajduje
si ˛e w ´srodku układu współrz ˛ednych i jest nieruchome
~a(~r) = −β
r2 ˆr (11)
gdzie β to pewien uniwersalny parametr13, a~r to wektor wodz ˛acy. 13je ˙zeli przyjmiemy np., ˙ze mamy do czynienia z dwoma ciałami oddziałuj ˛a- cymi grawitacyjnie, przy czym jedno z nich (o masie m1) pozostaje nieruchome w ´srodku układu współrz ˛ednych, a my chcemy opisa´c ruch drugiego ciała (o masie m2), wówczas β=Gm1
Niech pocz ˛atkowe poło ˙zenie ciała wynosi
~r0= [0, ry0], (12) a pocz ˛atkowa pr ˛edko´s´c14
14dzi ˛eki takiej postaci jeste´smy w stanie łatwo okre´sla´c kierunek (si ˛egnijmy pami ˛eci ˛a do informacji zdobytych pod- czas studiowania biegunowego układu współrz ˛ednych - φ0to k ˛at nachylenia mi ˛edzy wektorem pr ˛edko´sci a osi ˛a X) i warto´s´c pr ˛edko´sci pocz ˛atkowej
~v0=v0[cos φ0, sin φ0]. (13) Korzystaj ˛ac z algorytmu velocity Verlet wyznacz trajektori ˛e
ciała dla kilku ró ˙znych warto´sci v0i φ0. Przyjmij przy tym15, ˙ze
15w zale ˙zno´sci od innych parametrów mo ˙ze by´c niezb ˛edna modyfikacja kroku czasowego (zmniejszenie) lub czasu symulacji (wydłu ˙zenie)
β = 1 m3/s2, ry0 = 1 m,∆t = 0.01 s a tmax = 10 s. Narysuj wy- znaczone trajektorie na wykresie. Jaki maj ˛a kształt? Czy mo ˙zliwe jest takie dobranie pr ˛edko´sci pocz ˛atkowej, aby ciało poruszało si ˛e po okr ˛egu?
